Pêndulo Cicloidal

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor jap em Sexta Mar 07, 2008 9:28 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Como prometido, aqui está o meu novo site com algumas aplicações feitas em excel usando macros. Se tiverem qualquer questão, não hesitem em colocá-la :D
http://olivbruno8.googlepages.com/


Obrigado, Bruno!

Muito fixe! :D

Vai avisando quando haver novidades no teu site. :wink:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Mar 07, 2008 9:31 pm

Obrigado prof. Irei então avisando quando houver novidades, mas a mais recente agora será a da Ciclóide que é para não fugir ao tópico, embora seja um pouco dificil de fazer em Excel...

Obrigado pelo apoio! :).

PS- Espero que não tenha feito mal divulgar os projectos Quark e Delfos.. :roll:
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Mensagempor jap em Sexta Mar 07, 2008 9:58 pm

Bruno Oliveira Escreveu:(...)
PS- Espero que não tenha feito mal divulgar os projectos Quark e Delfos.. :roll:


Obviamente que não, só temos a agradecer! :D
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Mensagempor Pedro Melo em Sexta Mar 07, 2008 11:13 pm

Vamos lá ver se consigo escrever isto tudo:

Utilizando a conservação da energia, obtemos que
\frac{1}{2}mv_0^2+mgy_0=\frac{1}{2}mv^2+mgy

Como o corpo parte do repouso:
v^2=2g(y_0-y)

As coordenadas que usei não são bem as normais para um cicloide, uma vez que defini a origem dos potenciais gravítivos no ponto mais baixo da trajectória:

y=R(1+\cos\theta) x=R(\theta-\sin\theta). Assim e como v=\frac{ds}{dt}, vem que (\frac{ds}{dt})^2=2gR(\cos\theta_0-\cos\theta)

Considerando o intervalo em que o corpo se move de M para N,\frac{ds}{dt}>0, o que implica que \frac{ds}{dt}=\sqrt{2gR(\cos\theta_0-\cos\theta)}

Assumindo a existência de funções s(\theta(t)) e \vec r(\theta(t)), então \frac{ds}{dt}=\frac{ds}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} e \frac{d\vec r}{dt}=\frac{d\vec r}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}

Como ||\frac{d\vec r}{d\theta}||=\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}=R\sqrt{(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}=\sqrt{2}R\sqrt{1-\cos\theta}

||\frac{d\vec r}{d\theta}||=2R\sin(\frac{\theta}{2})

Como |\frac{ds}{dt}|=||\frac{d\vec r}{dt}|| então, considerando o que foi dito, |\frac{ds}{d\theta}|=||\frac{d\vec r}{d\theta}||, dt=\sqrt{\frac{2R}{g}}\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{\sqrt{\cos\theta_0-\cos\theta}}d\theta

Integrando,

\int_0^\frac{T}{4}dt=\sqrt{\frac{2R}{g}}\int_{\theta_0}^\pi\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{\sqrt{\cos\theta_0-\cos\theta}}d\theta T=4\sqrt{\frac{2R}{g}}\int_{\theta_0}^\pi\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{\sqrt{\cos\theta_0-\cos\theta}}d\theta

Usando a fórmula \cos\theta=2cos^2(\frac{\theta}{2})-1, fazendo a mudança de variável \cos(\frac{\theta}{2})=k\cos\varphi, k=\cos(\frac{\theta_0}{2}), \frac{d\theta}{d\varphi}=\frac{2k\sqrt{1-\cos^2\varphi}}{\sin(\frac{\theta}{2})}

Mudando os limites de integração, {\theta=\theta_0}\Rightarrow{\varphi=0} e {\theta=\frac{\pi}{2}}\Rightarrow{\varphi=\frac{\pi}{2}}

Fica

T=4\sqrt{\frac{R}{g}}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{\sqrt{k^2-k^2\cos\varphi}}\frac{2k\sqrt{1-\cos^2\varphi}}{\sin(\frac{\theta}{2})}d\varphi

T=4\sqrt{\frac{R}{g}}\int_0^\frac{\pi}{2}2d\varphi=4\sqrt{\frac{R}{g}}[2\varphi]_0^\frac{\pi}{2}=4\pi\sqrt{\frac{R}{g}}

No fim disto tudo já estava farto de ver integrais e d's. O melhor foi ter 2,5 dias de férias depois de ter feito isto. :oops:
última vez editado por Pedro Melo s Sábado Jul 19, 2008 3:42 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor jap em Sexta Mar 07, 2008 11:17 pm

Parabéns, Pedro! :D

Pela tua resolução e também pela impecável \TeX\rm agem!

Pelo menos, a tua adesão ao Quark! já te permitiu aprender um bocadinho de \LaTeX- verás que é muito útil, diria mesmo indispensável, para um físico, ser fluente em \TeX. :wink:

PS: E obrigado pela "trabalheira" e pelo tempo que te tomou postar a tua resolução. :friends:
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Mensagempor Pedro Melo em Sexta Mar 07, 2008 11:20 pm

Always learnig :).
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Mensagempor jap em Sexta Mar 07, 2008 11:22 pm

Pedro Melo Escreveu:Always learning :).


É verdade! :D

E já agora, desculpa o offtopic, mas e música? Tocas algum instrumento? Gostas de jazz? :P
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Mensagempor Pedro Melo em Sexta Mar 07, 2008 11:30 pm

Toco faluta transversal numa banda filarmónica. Agora tou um pouco em baixo porque coloquei aparelho nos dentes e tenho de arranjar uma nova posição para os lábios, o que demora tempo (isto nos intervalos de tempo em que os dentes não doem :oops: ). Mas já consegui melhorar um pouco o som . :)
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Mensagempor jap em Sexta Mar 07, 2008 11:36 pm

Pedro Melo Escreveu:Toco flauta transversal numa banda filarmónica. Agora tou um pouco em baixo porque coloquei aparelho nos dentes e tenho de arranjar uma nova posição para os lábios, o que demora tempo (isto nos intervalos de tempo em que os dentes não doem :oops: ). Mas já consegui melhorar um pouco o som . :)



Mais um quarkiano músico! :hurra:

PS: Já conheces o RCQ, o nosso hino, ou melhor a música oficial quarkiana que toca em (raros) momentos especiais? :roll:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Mar 07, 2008 11:59 pm

Uau que rápido hem Pedro? Agora eu sinto-me quase no dever de fazer o meu programa em Excel sobre Ciclóide(um movimento animado) para complementar a tua magnifica resolução, embora isto por estes lados esteja complicado :? mas o excel nunca falha :D .

Stay Tuned :wink:
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Mensagempor Pedro Melo em Sábado Mar 08, 2008 12:03 am

jap Escreveu:
Pedro Melo Escreveu:Toco flauta transversal numa banda filarmónica. Agora tou um pouco em baixo porque coloquei aparelho nos dentes e tenho de arranjar uma nova posição para os lábios, o que demora tempo (isto nos intervalos de tempo em que os dentes não doem :oops: ). Mas já consegui melhorar um pouco o som . :)



Mais um quarkiano músico! :hurra:

PS: Já conheces o RCQ, o nosso hino, ou melhor a música oficial quarkiana que toca em (raros) momentos especiais? :roll:


Não conheço. Mas pelo nome... RC tem algo que ver com os circuitos? :roll:
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Mensagempor jap em Sábado Mar 08, 2008 12:06 am

RCQ = Red Charm Quark! :lol:

Vê aqui:

Música Oficial Quarkiana

E, já agora, vê também o indispensável

Quarkónico para principiantes
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sábado Mar 08, 2008 12:26 am

Bem, vou-me deitar. Amanhã vou atacar de novo a ciclóide em Excel! Muito boa noite prof. jap, Pedro e toda a comunida quarkiana acordada :lol:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sábado Mar 08, 2008 7:40 pm

Olá novamente quarkianos, :) . Prof. é só para avisar que estou cada vez mais perto de concluir a minha simulação em excel da ciclóide. Darei a notícia assim que estiver feita...Espero que fique do agrado de toda a gente :wink:
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Mensagempor jap em Sábado Mar 08, 2008 7:45 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Olá novamente quarkianos, :) . Prof. é só para avisar que estou cada vez mais perto de concluir a minha simulação em excel da ciclóide. Darei a notícia assim que estiver feita...Espero que fique do agrado de toda a gente :wink:


Estamos ansiosos à espera da simulação do nosso Excel-expert! :D
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