Pêndulo Cicloidal

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Pêndulo Cicloidal

Mensagempor Pedro Melo em Quarta Mar 05, 2008 9:41 pm

Este problema fez parte do trabalho que me foi proposto pelo professor de Análise Matemática I. Considerem um ponto material suspenso de um ponto fixo O, por um fio inextensivel e de massa desprezável.

Sejam os moldes laterais duas metades de um cicloide gerado por uma circunferência de raio R.

Imagem

A trajectória do corpo será, devido aos efeitos do enrolamento do fio nas superfícies laterais dos moldes, um arco de cicloide gerado por uma circunferência, também de raio R (não é preciso demonstrar).

Calculem o periodo de uma oscilação do corpo e verifiquem uma propriedade muito interessante deste pêndulo. Desprezem a resistência do ar.
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Mensagempor jap em Quarta Mar 05, 2008 10:06 pm

Ah, um verdadeiro clássico! :D

Obrigado Pedro! :wink:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Mar 05, 2008 10:07 pm

O período de oscilação, sendo este denominado T, é:

T=2\pi\sqrt{\frac{4R}{g}}?

Se for eu explicarei o raciocínio...
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Mensagempor jap em Quarta Mar 05, 2008 10:18 pm

Bruno Oliveira Escreveu:O período de oscilação, sendo este denominado T, é:

T=2\pi\sqrt{\frac{4R}{g}}?

Se for eu explicarei o raciocínio...


Sim, senhor Bruno Oliveira Huygens, e o mais giro é que o período é rigorosamente independente da amplitude, o que não acontece com um pêndulo "normal". :lol:

Agora vamos lá a ver quem é que consegue a demonstração mais gira, e mais bem explicada, sem grandes digressões matemáticas! :P

Está aberto o desafio! :wink:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Mar 05, 2008 10:22 pm

Bem, se for para ser sem grandes digressões matemáticas direi que não me safo.. aliás tive mesmo que ir várias vezes há wikipédia, pois se neste forum aprendi o que é a derivada, tive de ir ver o que são integrais, o que por ainda não dominar tão bem, me irá levar ás digressões matemáticas e dará muito trabalho a explicar... e sem falar nos esquemas que fiz... :? que não consigo pôr aqui, mas posso tentar amanhã ao fim da tarde, que agora infelizmente tenho de me ir deitar que vou ter teste amanhã e não estudei mesmo nada de nada...enfim, também é de inglês..
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Mensagempor hexphreak em Quarta Mar 05, 2008 10:24 pm

Como é que conseguiste fazer essas coisas todas em 20 minutos? :shock:

Assim de repente, parece-me bastante possível um tratamento simples com as leis de Newton (embora me sinta tentado a experimentar lagrangianos...). Mas pode ser que pense numa solução mais original :D
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Mensagempor Pedro Melo em Quarta Mar 05, 2008 11:14 pm

É isso mesmo. Não te preocupes com as digressões matemáticas... eu só usei as fórmulas do arco duplo, mudanças de variável e equações diferenciais. Alias tinha de o fazer já que era a cadeira de Análise I. Isso e mais uns teoremas... deu uma trabalheira desgraçada. Mas foi giro no integral final ver tudo a cortar e ter de calcular a primitiva de 2 :evil: . Ia atirando o papel ao ar.
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Mensagempor hexphreak em Quinta Mar 06, 2008 6:27 pm

Bem, então aqui vai a minha resolução "clássica" :)

Primeiro, a ciclóide tem equações paramétricas:

x = R(\theta + \sin \theta)
y = R(1 + \cos \theta)

Em que \theta é o ângulo do qual a circunferência geradora foi rodada. Como este ângulo está definido em relação ao centro da circunferência, não é um bom ângulo para usarmos no problema, mas voltarei a isso mais tarde :wink:

Para podermos aplicar a lei fundamental da dinâmica ao pêndulo cicloidal, precisamos de saber o espaço que ele percorre, e é provavelmente esta a razão pela qual o problema aparece em A.M. I. Calculemos então:

\bigg( \frac{ds}{d\theta} \bigg)^2 = \bigg( \frac{dx}{d\theta} \bigg)^2 + \bigg( \frac{dy}{d\theta} \bigg)^2

Temos \frac{dx}{d\theta} = R + R \cos \theta e \frac{dy}{d\theta} = -R \sin \theta, logo (lembrando que 1 + \cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2}):

\frac{ds}{dt} = 2R\cos \frac{\theta}{2}

E assim, encontramos por integração o comprimento da ciclóide:

s = \int 2R \cos \frac{\theta}{2} dt = 4R \sin \frac{\theta}{2}

Bem, em princípio puderíamos partir imediatamente para a Física, mas convém utilizar um ângulo diferente como coordenada preferencial. E se fosse o ângulo que a tangente à curva faz com a horizontal, \phi? Vejamos:

\bigg( \frac{dy}{dx} \bigg)^2 = \frac{2R - y}{y}

Logo:

\tan^2 \phi = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} \Leftrightarrow \phi = \frac{\theta}{2}

O que nos dá bastante jeito; basta agora substituir e temos s = 4R \sin \phi. E finalmente, a Física do problema! A componente radial do peso é equilibrada pela tensão no fio; não precisamos de contar com a reacção normal dos arcos já que está incluída na restrição do movimento, e temos apenas:

m\ddot s = mg \sin \phi \Leftrightarrow \ddot s + \frac{g}{4R}s = 0

Mas conhecemos bem esta equação diferencial: é a equação do MHS! :D Vem então que o período é:

T = 2\pi \sqrt{\frac{4R}{g}}

Admitidamente, esta não é uma explicação das mais compreensíveis, mas de momento não vejo grandes alternativas a calcular o comprimento da ciclóide :?
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Mensagempor Pedro Melo em Quinta Mar 06, 2008 7:44 pm

Obrigado. Nunca me lembrei desta. Consegue-se mesmo através de cálculos chegar ao valor obtido pelo Bruno. Só é pena não saber escrever em Latex senão punha a minha resposta aqui. Alguém tem algum tutorial ou assim?
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Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Mar 06, 2008 8:19 pm

Bem, e como o henrique se adiantou com os cálculos eu colocarei aqui um link para um site onde vou colocar uma simulação de uma ciclóide e posteriormente de um pêndulo cicloidal...
Aviso que estas simulações serão feitas em excel e vou lá colocar também um problema do teste intermédio de matemática A do 11º ano e ainda..QED de Richard P. Feynman..espero que gostem!!
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Mensagempor jap em Quinta Mar 06, 2008 9:40 pm

Agradeço ao Henrique a sua solução detalhada! :wink:

A história da "descoberta" (invenção!) do pêndulo cicloidal por Huygens é muito curiosa. Huygens foi contemporâneo de Newton e por ele apelidado de "Summus Ingenius" - e foi, de facto, um físico genial. :D


Vejam aqui esta *excelente* apresentação de um colega brasileiro sobre o assunto:

Christiaan Huygens e o pêndulo cicloidal.

Valeu a pena a leitura, não é verdade? :wink:
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Mensagempor hexphreak em Quinta Mar 06, 2008 10:02 pm

Muitíssimo interessante :D Já conhecia alguma coisa da vida de Huygens, mas gostei bastante da biografia completa.

A demonstração é mesmo à la séc. XVII :lol: Muita geometria, mas é bonita. A tal conjectura de que "as perpendiculares à curva M são tangentes à curva L" era a outra maneira pela qual estava a pensar resolver (intuitivamente, não demonstrei nada), mas acabei por não ter tempo...
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Mensagempor jap em Quinta Mar 06, 2008 10:46 pm

Pedro Melo Escreveu:Obrigado. Nunca me lembrei desta. Consegue-se mesmo através de cálculos chegar ao valor obtido pelo Bruno. Só é pena não saber escrever em Latex senão punha a minha resposta aqui. Alguém tem algum tutorial ou assim?


Pedro,

Escrever em \LaTeX é muito fácil! :lol:

Basta escreveres a expressão e colocá-la entre Tex-tags (seleccionas a expressão e clicas no ícone Tex em cima, ou escreves tu mesmo os Tex-tags). Exemplo

Código: Seleccionar Todos
[tex]x^2[/tex]



será visualizado como

x^2

e

Código: Seleccionar Todos
[tex]\vec F = m \vec a[/tex]


dará

\vec F = m \vec a

Uma dica: se colocares o cursor sobre qualquer uma das figuras com expressões geradas por \LaTeX irás visualizar o código que gerou a expressão.

Alguém tinha em tempos postado um link para um tutorial de iniciação ao \LaTeX. Sabem onde ele pára? :wink:
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Mensagempor hexphreak em Quinta Mar 06, 2008 10:55 pm

Cá está ele: LaTeX Tutorial [PDF] :)
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Mar 07, 2008 6:06 pm

Como prometido, aqui está o meu novo site com algumas aplicações feitas em excel usando macros. Se tiverem qualquer questão, não hesitem em colocá-la :D
http://olivbruno8.googlepages.com/
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