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O pistão de fogo!

MensagemEnviado: Sexta Fev 29, 2008 6:32 pm
por jap
Eis aqui uma experiência com efeito dramático: :lol:

coloca-se um pedacito de papel num tubo de plástico que contem ar e um pistão que desliza no tubo (mas sem "folga"). Com uma compressão rápida do ar num movimento brusco do pistão o papel arde!

Ora vejam aqui: :D


Fogo!

Detalhe em câmara lenta

Peço-vos que analisem o processo, do ponto de vista termodinâmico sabendo que:

a) a altura do tubo é 17,9 cm e o seu diâmetro 1,0 cm
b) a temperatura inicial do ar é 300 K e a pressão é 1 atm
c) a força média que o experimentador exerce sobre o pistão é de 5 kgf
d) a temperatura a que arde o papel é 233 º C

Peço-vos que calculem a temperatura do ar no final da compressão rápida do pistão e verifiquem que o os cálculos não deixam margem para dúvidas: o papel vai *mesmo* arder! :lol:

Nota: o processo de compressão é muito rápido pelo que pode ser considerado adiabático (em boa aproximação) e, claro, irreversível!

MensagemEnviado: Sexta Fev 29, 2008 6:40 pm
por hexphreak
Consideramos que o pistão vai até ao fundo do cilindro? No vídeo (que é impressionante) parece ser uma boa aproximação :roll:

MensagemEnviado: Sexta Fev 29, 2008 6:43 pm
por jap
hexphreak Escreveu:Consideramos que o pistão vai até ao fundo do cilindro? No vídeo (que é impressionante) parece ser uma boa aproximação :roll:


Não, vais ter de calcular o volume final.

Mesmo que se exercesse uma pressão infinita sobre o ar, posso demonstrar-te que o volume não tende para zero ( :shock: ) mas sim para 2/7 do volume inicial!

Portanto, é preciso calcular o volume final a partir dos dados - assumindo que se exerce uma pressão constante sobre o pistão. :wink:

MensagemEnviado: Sexta Fev 29, 2008 6:46 pm
por hexphreak
Ah bom, assim está-se a tornar engraçado :D Ok, vou recuperar os apontamentos de Janeiro!

MensagemEnviado: Sexta Fev 29, 2008 9:31 pm
por jap
Ah, esqueci-me de dizer que este problema é dedicado ao nosso amigo de além-mar, Alexandre, que tem trocado comigo umas pms levantando questões muito interessantes sobre processos adiabáticos irreversíveis!

Um abraço, Alexandre! :wink:

MensagemEnviado: Sexta Fev 29, 2008 10:23 pm
por hexphreak
Obtive uma temperatura final de ~468ºC, e sendo a temperatura de combustão do papel 233ºC parece-me que não há margem para dúvidas :D

Foi só aplicar os apontamentos da aula da Termodinâmica: o trabalho em termos de pressão, a energia interna em termos da variação de temperatura e a lei dos gases ideais.

MensagemEnviado: Sábado Mar 01, 2008 2:03 pm
por jap
hexphreak Escreveu:Obtive uma temperatura final de ~468ºC, e sendo a temperatura de combustão do papel 233ºC parece-me que não há margem para dúvidas :D

Foi só aplicar os apontamentos da aula da Termodinâmica: o trabalho em termos de pressão, a energia interna em termos do gradiente de temperatura e a lei dos gases ideais.



Obtive um T_f próximo do teu, cerca de 470 º C, presumo portanto que a tua resolução esteja correcta. :hands:

Quando puderes deixa aqui a tua resolução, para a "posteridade". Há alguns detalhes subtis na resolução sobre os quais eu também gostaria de chamar a atenção, vocês irão ver que este problema tem algumas subtilezas... :P

By the way, não sei se conhecem a novela Farenheid 451 (ficção científica) de Ray Bradbury que se passa numa sociedade onde os livros são proibidos, queimados pela polícia. A temperatura a que arde o papel é 451ºF ~ 510 K... :P

PS: no teu post anterior deves corrigir "gradiente de temperatura" para "variação de temperatura" - gradiente significa derivada em ordem à posição, e representa-se por \nabla em vez de \Delta.

MensagemEnviado: Sábado Mar 01, 2008 2:45 pm
por hexphreak
Então aqui vai :)

Como sabemos, a variação de energia interna de um sistema é \Delta U = Q + W. Ora sendo este um processo adiabático, Q = 0. Temos também que \Delta U = nc_V\Delta T, em que c_V é a capacidade térmica molar a volume constante, n é a quantidade de substância (moles) e \Delta T a variação de temperatura.

Posto isto, vemos que \Delta U = W = nc_V\Delta T. Mas também sabemos que o trabalho é:

W = -\int_{V_i}^{V_f} P\,dV

e como a pressão externa é constante, temos simplesmente:

W = P_E(V_i - V_f)

Porquê pressão externa? Porque sendo este um processo irreversível, a pressão interna não está sequer definida! Assim sendo, só podemos trabalhar com a pressão externa. Mas agora é fácil: igualamos as duas expressões para o trabalho e determinamos V_i e V_f a partir da lei dos gases ideais (PV = nRT). Resolvendo em ordem a T_f:

P_E \bigg( \frac{nRT_i}{P_i} - \frac{nRT_f}{P_E} \bigg) = nc_V(T_f - T_i) \\
\Leftrightarrow T_f = T_i \frac{R(P_E / P_i) + c_V}{c_V + R}

Substituindo todos os valores (P_E = F / A e c_V = 20.85\,\mbox{J mol^{-1} K ^{-1}} para ar seco a 23ºC), obtemos T_f \approx 470ºC :D

Já conhecia o Farenheit 451, é um excelente livro sobre a maneira como a televisão destrói o interesse pela leitura, escrito, penso eu, nos dias da Guerra Fria :)

jap Escreveu:PS: no teu post anterior deves corrigir "gradiente de temperatura" para "variação de temperatura" - gradiente significa derivada em ordem à posição, e representa-se por \nabla em vez de \Delta.

Claro, que estupidez, conhecendo o gradiente e tudo :? Já corrigi, obrigado por apontar o erro.

MensagemEnviado: Sábado Mar 01, 2008 6:16 pm
por jap
Muito obrigado, Henrique.

Está óptimo! :hands:
O meu resultado só difere ligeiramente do teu porque o valor que usei para c_v do ar é um pouquinho diferente, mas possivelmente o teu é mais correcto...

Já agora, podes mostrar facilmente, a partir da tua expressão, que quando P_E \to \infty, o volume do ar no final da compressão tende para \frac{2}{7}V_i (e não para zero!), o que é um resultado muito giro e contraintuitivo! :lol:

MensagemEnviado: Sábado Mar 01, 2008 8:24 pm
por hexphreak
jap Escreveu:Já agora, podes mostrar facilmente, a partir da tua expressão, que quando P_E \to \infty, o volume do ar no final da compressão tende para \frac{2}{7}V_i (e não para zero!), o que é um resultado muito giro e contraintuitivo! :lol:

É verdade! :D É que pelo mesmo raciocínio, mas resolvendo em ordem ao volume, obtemos:

V_f = V_i \frac{c_V(P_i/P_E) + R}{c_V + R}

Quando P_E \to \infty, temos V_f \to \frac{RV_i}{c_V + R}. Voltando aos nossos apontamentos, e considerando o ar como um gás diatómico, c_V = \frac{5}{2}R, o que resulta em:

V_f \to \frac{2}{7}V_i

Nada intuitivo realmente!

MensagemEnviado: Domingo Mar 02, 2008 12:43 pm
por jap
Pois é, num processo isotérmico PV = \rm const, pelo que V \to 0 quando P \to \infty. Já num processo adiabático não é assim, porque à medida que comprimes o gás a sua temperatura vai aumentando pelo que "tende" a expandir, "contrariando" a compressão ... e o limte de 2/7 do volume inicial é intransponível, por maior que seja a compressão! :lol: