Corpos celestes

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor vbmaster em Quinta Nov 30, 2006 6:29 pm

Deu pois, thanks.

Código:
Código: Seleccionar Todos
(define (main L v dt ttotal)
  (define (velocidade L v dt ttotal)
    (define (aceleraçao L)
      (/ 1 (expt L 2)))
    (posiçao L (- v (* (- (aceleraçao L)) dt)) dt ttotal))
  (define (posiçao L v dt ttotal)
    (main (- L (* v dt)) v dt (+ ttotal dt)))
  (if (< L 0.0047)
      (/ (* ttotal 365.257) (* 2 (atan 0.0 -1.0)))
      (velocidade L v dt ttotal)))
(define (problema)
  (main 1 0 1e-6 0))


Código com segmentos de 1.6 * 10 ^ -6 unidades de tempo, o que resulta no resultado com melhor relação precisão/tempo de processamento.

Resultado:

> (time (problema))
cpu time: 5450 real time: 5669 gc time: 1240
64.56010469228957

(a última linha é o resultado da função)


Thank you very much professor. ;)
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Mensagempor jap em Quinta Nov 30, 2006 8:03 pm

Obrigado Miguel!

A tua última versão do programa está muito bonita, e mostra como um pequeno programa pode resolver um grande problema!

Agora já só falta mesmo a demonstração analítica de que o tempo de queda é de 64 horas e meia! :D

Alguém tem alguma ideia de como atacar analíticamente este problema? Se não, eu poderei dar uma dica... :wink:

PS - Pelos vistos estás a dar-te bem com o curso de Scheme do MIT! Hoje chegou-me às mãos uma novidade, o livro "Python for nulls", mas acho que ainda não existe a versão portuguesa...Mas o Python é, realmente, uma linguagem muito fácil e expressiva, já o Scheme tem uma curva de aprendizagem bem mais difícil...
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Mensagempor vbmaster em Quinta Nov 30, 2006 10:57 pm

Pois, é verdade, no entanto é engraçado ser a linguagem utilizada por o MIT para ensinar os alunos a programar... (ou era, até há bem pouco tempo)

Acredito que a maior parte dos alunos que a aprendem mal conseguem esperar para a largarem da mão e iniciarem-se noutras, o que pode levar a que não reconheçam muitas das suas vantagens, principalmente ao nível do fitness do músculo cerebral... :P

Mas enfim, para o resto continuo a usar o c++ que alia a boa estrutura do C (que para mim é a melhor), a mais algumas funções específicas bem interessantes...

P.S.: Não sei se já forneci isto, mas se alguém quiser aprender scheme, o livro que eu estou a ler é este:
http://mitpress.mit.edu/sicp/

(atenção que não ensina propriamente scheme, ensina a programar)
última vez editado por vbmaster s Quinta Nov 30, 2006 11:07 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor jap em Quinta Nov 30, 2006 11:06 pm

vbmaster Escreveu:Pois, é verdade, no entanto é engraçado ser a linguagem utilizada por o MIT para ensinar os alunos a programar... (ou era, até à bem pouco tempo)
(...)


Não sei se sabes, mas o Scheme também é a linguagem usada no 1º ano do curso de Engª Informática na Universidade do Porto - consta que há crises existenciais entre os caloiros, choro, gritos de raiva e insultos a quem inventou a recursão, sobretudo dos que chegam lá com a mania que já sabem programar, e que sucumbem às diabólicas :twisted: garras do (((((scheme)))))! :lol:
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Mensagempor vbmaster em Sexta Dez 01, 2006 12:12 am

É por isso mesmo que me interrogo, vale a pena ingressar os cursos tecnológicos do ministério (como o tecnológico de informática), sabendo que ganhamos vícios ao nível da programação, e pior que tudo, aprendemos menos matemática e física?. :x

Digo isto porque estive num vai não vai para ir, e hoje não consigo imaginar a minha vida se lá estivesse... pois estaria em apuros... :P
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Mensagempor jap em Sexta Dez 01, 2006 9:45 pm

Bom, aqui vai uma dica para obterem uma solução analítica para este problema:

o que aconteceria se a Terra tivesse uma pequena velocidade inicial, perpendicular à direcção Terra-Sol, em vez de iniciar o seu movimento em relação ao inferno com velocidade nula :shock: ? Se pensarem nisto, poderão encontrar uma boa pista para a resolução analítica deste problema... :wink:
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Mensagempor Real em Segunda Dez 04, 2006 4:18 pm

Mais uma pista: procurem informação sobre as leis de Kepler! :wink:
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Mensagempor jap em Quinta Dez 07, 2006 10:34 pm

Para avançarem neste problema, obtenham uma relação entre o raio da órbita dos planetas do sistema solar e o período do seu movimento orbital em torno do Sol. Este exercício simples irá permitar avançarmos em direcção à solução... :wink:
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Mensagempor jap em Quarta Dez 13, 2006 6:36 pm

Algum caloiro me consegue mostrar que a razão \frac{R^3}{T^2} é constante no sistema solar? (R é o raio da órbita do planeta e T o período do seu movimento em torno do Sol) :roll:

Este exercício ajuda a resolver o nosso problema de calcular analíticamente quanto tempo a Terra demoraria a cair no Sol, se parasse.... :wink:
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Mensagempor pmp em Quarta Dez 13, 2006 6:51 pm

Ora bem, a aceleração gravítica é uma aceleração centripeta. Logo:

a_g=a_c

\frac{GM_S}{R^2}=\frac{v^2}{R}

Mas,

v^2=\frac{4\pi^2R^2}{T^2}

Sunstituindo:

\frac{T^2}{R^3}=\frac{4\pi^2}{GM_S}
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Mensagempor Joao Guerreiro em Quarta Dez 13, 2006 7:41 pm

Se a Terra tiver uma pequena velocidade inicial perpendicular à direcção Terra-Sol então vai descrever uma elipse com o eixo menor quase nulo, portanto o podemos considerar que o Sol está no centro da elipse, certo?
Se assim for o tempo até à colisão é igual a \frac{T}{4}.

t_{colisão}=\frac{T}{4}=\sqrt{\frac{\pi^2R^3}{4GM_S}}

Será que é isto?
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Mensagempor Real em Quarta Dez 13, 2006 8:05 pm

AH!!! Sim senhor!! É exactamente esse o raciocínio!! :D
O truque é reparar que a equação (lei de Kepler) que nos permite calcular o período apenas depende do eixo maior da elipse e não do menor!
Mas há uma falha... o Sol está no outro extremo da elipse e não no centro!
Basta pensares que quando comprimes uma elipse os focos aproximam-se até coincidirem e tens uma circunferência. Se achatares a elipse os focos separam-se! No limite da elipse degenerada (segmento de recta), o Sol e a Terra estão em extremos opostos. Então a resposta correcta é T/2. :D

Tricky não? :twisted:
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Mensagempor jap em Quarta Dez 13, 2006 9:09 pm

Bom este está resolvido, ou quase! :D

Tomem nota do truque (vejam se compreendem bem a explicação do Diogo) porque ele é muito útil para resolver todos os problemas em que um corpo está sujeito a uma força que varia com o inverso do quadrado da distância. Vão ter oportunidade de usar este truque diabólico :twisted: (ou que não lembra ao diabo?) muitas vezes!

Falta calcular o valor numérico de T/2, dado pela lei de Kepler, e verificar que o resultado é o mesmo que o Miguel previu através da sua simulação por computador (o tal programa incompreensível que faz explodir cérebros! :lol: )

Quem faz as contas e envia uma comparação dos resultados analítico e computacional? :roll:
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Mensagempor Irakian Monkey em Sexta Dez 22, 2006 11:17 pm

Se T=2\pi\sqrt\frac{R^3}{GM_S}, então \frac{T}{2}=\pi\sqrt\frac{R^3}{GM_S}
Acontece que a distancia da Terra ao Sol não é o raio na equação acima, esta distancia é o diâmetro pois, devido ao achatamento da elipse, o Sol e a Terra estão em extremos opostos da elipse tal como disse o Real.
Assim, considerando D, a distacia da Terra ao Sol:
\frac{T}{2}=\pi\sqrt\frac{(\frac{D}{2})^3}{GM_S}
Substituindo na equação os valores:
D=1,49597871*10^{11} m
M_S=1,9897*10^{30}
G=6,673*10^{-11}
O que dá:
\frac{T}{2}=5577487,892s
Que em dias é: 64,55425801
O que não é muito diferente do resultado do Miguel:64.56010469228957
Pedro Carrilho
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Mensagempor jap em Sábado Dez 23, 2006 12:05 pm

É isso mesmo Pedro!

Obrigado por nos teres enviado os teus cálculos! :D
Fica assim encerrado este problema. Tomem nota do truque de usar a lei de Kepler para movimentos cuja acelerçaão varia com o inverso do quadro da distância - vai ser muito útil em vários contextos :wink:
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