Corpos celestes

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor pmp em Domingo Nov 26, 2006 12:36 am

8 vezes ainda é muito :shock: . Deixa-me pensar mais um pouco e ver se detecto algum erro no raciocínio, para não vir com ele errado. :?
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Mensagempor jap em Domingo Nov 26, 2006 12:38 am

Bom ambos estão perto, em ordem de grandeza não está mal, mas...

a resposta correcta é 65 dias ou 5,6\times\rm~10^6 segundos, como preferirem. Bom, mais exactamente 64 dias e 12 horas até morrermos todos assados no inferno.. :wink:
última vez editado por jap s Domingo Nov 26, 2006 1:04 am, editado 2 vezes no total
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Mensagempor jap em Domingo Nov 26, 2006 12:59 am

Relembro o desafio:

os computer-experts de serviço que façam uma simulação computacional (em C, scheme, python, whatever) - desafio-vos a obterem o resultado acima, com boa precisão!

Bastam poucas linhas de código...
:lol:
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Mensagempor Andre França em Domingo Nov 26, 2006 1:02 am

Temos que considerar 1/4 ou 1/2 do período? Considerei 1/4 e deu-me 2,8*10^6, se calhar cometi algum erro algures nas contas..

A expressão que coloquei anteriormente resulta desta que me parece dimensionalmente correcta:


t = \sqrt{\frac{L(L+1\text{m})(2L+1\text{m})}{3G(m_1 + m_2)}}

Para chegar a esse resultado considerei que L, em metros, era um número inteiro e que para segmentos de 1 metro a aceleração era constante aí. Usei também o facto de que a soma dos n primeiros quadrados perfeitos é n(n+1)(2n+1)/6. Não sei se essas informações são suficientes para divisar o meu raciocíonio, que talvez esteja demasiado fantasioso.

por acaso está muito interessante o método, e ficou uma aproximação muito boa [só nos roubaste pouco mais que alguns 2 x 10^6 segundos de vida :P]
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Mensagempor pmp em Domingo Nov 26, 2006 11:40 am

Já que o meu resultado não está tão longe quanto isso vou expor o meu raciocinio.

Seja a a aceleração com que os corpos percorrem em conjunto a distância L. Essa aceleração depende de d a distância entre os corpos, e é:

a(d) = \frac{G(m_1+M_2)}{d^2}

t^2 =\frac{2x}{a}.

Considerando segmentos de 1 metro vem:

t^2 =\frac{2}{a}

t^2= \frac{2}{a_{no primeiro metro}} + \frac{2}{a_{no segundo metro}} + ... +\frac{2}{a_{no último metro}}

Considerando a distância entre os corpos no primeiro metro igual a L, no segundo igual a L-1...

t^2= \frac{2L^2}{G(m_1+m_2)}} + \frac{2(L+1)^2}{G(m_1+m_2)}} + ... +\frac{2(1)^2}{G(m_1+m_2)}}

Somando os numeradores e pondo o 2 em evidência:

t^2= \frac{2(L^2+(L+1)^2+...+1^2)}{G(m_1+m_2)}}

Se o L for inteiro (L^2+(L+1)^2+...+1^2) é a soma dos primeiros L quadrados perfeitos que é igual a (L)(L+1)(2L+1)/6.

Substituindo na expressão anterior:

t^2= \frac{L(L+1)(2L+1)}{3G(m_1+m_2)}}

t= \sqrt{\frac{L(L+1)(2L+1)}{3G(m_1+m_2)}}}

Se L for considerável os 1's a somar na expressão são insignificantes.

t= \sqrt{\frac{2L^3}{3G(m_1+m_2)}}}

EDIT: Acabei de me aperceber de um erro fatal. No segundo metro e seguintes há velocidade inicial. :(
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Mensagempor vbmaster em Domingo Nov 26, 2006 1:03 pm

'Tão mas a fórmula da gravitação universal não é:

Imagem

Vezes, em vez de mais.

E além disso, pela massa da terra, o sol também deverá mover-se em direcção à terra, o que faz com que ambos percorram um pouco menos do que o L inicial, right?
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Mensagempor pmp em Domingo Nov 26, 2006 1:09 pm

Sim e a aceleração de cada corpo é Gm_2/d^2 para o corpo 1 e Gm_1/d^2 para o corpo 2. Somando dá G(m_1+m_2)/d^2. Porque para facilitar as coisas procurei a aceleração com que o espaço é percorrido e não o percurso de cada corpo individualmente. Não sei se fui compreensível... :? De qualquer modo, a velocidade inicial estragou tudo.
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Mensagempor Zé Teixeira em Domingo Nov 26, 2006 2:32 pm

Repara que se fosse assim tão fácil, poderíamos simplesmente definir unidades de comprimento de tamanho arbitrariamente pequeno e teríamos a precisão que quiséssemos.

Lembrem-se, têm de procurar outra aproximação ao problema.
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Mensagempor Andre França em Domingo Nov 26, 2006 4:29 pm

vbmaster Escreveu:'Tão mas a fórmula da gravitação universal não é:

E além disso, pela massa da terra, o sol também deverá mover-se em direcção à terra, o que faz com que ambos percorram um pouco menos do que o L inicial, right?


Nhé, por algum motivo Deus inventou as aproximações :P
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Mensagempor Real em Domingo Nov 26, 2006 4:34 pm

A única aproximação que é necessária é considerar que os planetas são pontuais. Portanto, que toda a massa está concentrada num ponto. Esta aproximação é válida desde que L seja muito maior que as dimensões de cada planeta, como referi no enunciado!
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Mensagempor vbmaster em Domingo Nov 26, 2006 11:47 pm

É impressão minha ou a simulação computacional precisa de um Milipeia para ser calculada com boa precisão?... :P

EDIT: Pedro, não me parece que a velocidade inicial interesse... isso era o mesmo que dizer que para prever o tempo de queda de um objecto lançado do cimo da Torre Eifel, tinhas de somar os segmentos de um metro de toda a sua queda considerando a velocidade que ele já tinha, menos no momento de largada (em que a velocidade é nula).
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Mensagempor Zé Teixeira em Segunda Nov 27, 2006 12:10 am

vbmaster Escreveu:É impressão minha ou a simulação computacional precisa de um Milipeia para ser calculada com boa precisão?... :P

EDIT: Pedro, não me parece que a velocidade inicial interesse... isso era o mesmo que dizer que para prever o tempo de queda de um objecto lançado do cimo da Torre Eifel, tinhas de somar os segmentos de um metro de toda a sua queda considerando a velocidade que ele já tinha, menos no momento de largada (em que a velocidade é nula).


E de facto terias de fazer isso, se a aceleração não fosse constante... Aliás, se a aceleração variasse de forma esquisita, uma vez que se variasse de acordo com uma função conhecida ainda poderias determinar a posição em cada instante.
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Mensagempor jmgb em Segunda Nov 27, 2006 1:08 am

Olá pessoal! Estou de volta, depois de uma verdadeiramente alucinante viagem até ao Norte, com problemas nas estradas e linhas de comboio a tornar a já longa viagem numa autêntica odisseia! [fim de offtopic]


O programa que eu fiz, há já algum tempo, não foi exactamente para resolver este problema, mas sim um (bem) mais simples: o estudo da queda de um objecto na Terra, de uma altura definida pelo utilizador, tendo em conta a variaçao da aceleraçao ao longo do tempo. O output está organizado de modo interessante, e a ideia que serve de base à resoluçao deste problema (a segmentação do percurso) é a mesma que serve de base à resolução do problema aqui postado. No entanto, o programa não tem em conta a variação da posição da Terra (isto é, o objecto não pode ter uma massa muito elevada relativamente à da Terra, para que a previsão ter sentido), nem quaisquer considerações relativistas... Se quiserem (e tiverem tempo), divirtam-se a melhorá-lo!


Aqui está a minha versão, que baptizo de v3.14: http://jmgb.pastebin.com/833580


Abraço.
João Gama
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Mensagempor jap em Segunda Nov 27, 2006 2:45 pm

vbmaster Escreveu:É impressão minha ou a simulação computacional precisa de um Milipeia para ser calculada com boa precisão?... :P
(...)


Nem tanto! :shock:

Um programazito de meia duzia de linhas não demora mais do que 1 segundo a encontrar a resposta com a precisao de 1E-4 no meu portatil... :lol:

Fiz o meu programazito em python; o joão gama fará (adaptará) um programa em C; fazes tu um em scheme? Assim podemos comparar os três calculos...com o resultado analítico, que tambem é possivel calcular..., mas é "tricky"... :roll:
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Mensagempor vbmaster em Segunda Nov 27, 2006 6:10 pm

jap Escreveu:
vbmaster Escreveu:É impressão minha ou a simulação computacional precisa de um Milipeia para ser calculada com boa precisão?... :P
(...)


Nem tanto! :shock:

Um programazito de meia duzia de linhas demora apenas alguns segundos a encontrar a resposta com a precisao de 1E-4 no meu portatil... :lol:

Ja fiz o meu em python; o joao fara (adaptara) um programa em C; fazes um em scheme? Assim podemos comparar os tres calculos...com o resultado analitico, que tambem e possivel calcular... :roll:


Vamos lá ver se consigo fazer algo ainda hoje... com teste de matemática amanhã...
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