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Corpos celestes

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 3:26 am
por Real
Visto que a secção tricky está a ficar vazia, aqui vai mais um:

Imaginem dois corpos de massas m_1 e m_2 situados no espaço longínquo e separados de uma distância L. Estes corpos estão inicialmente parados. No entanto, dado que existe uma força gravítica que os atrai mutuamente, eles tenderão a aproximarem-se até chocarem.
Calculem o tempo de viagem dos corpos até chocarem! 8)

Nota: considerem que L é muito maior que as dimensões dos corpos.
Nota2: este problema é para caloiros, porque soube que o problema foi discutido este ano! :roll:

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 1:00 pm
por jap
Este também é tricky, sim senhor... :D

Para os "não caloiros" e que já conhecem o "truque" e sabem programar aqui fica o desafio: simulação computacional do problema para a terra e o sol - que também é um pouco tricky, mas de uma outra forma... :roll:

Se a Terra parasse de girar, e ignorando o efeito dos outros planeta, quanto tempo demorava a "cair" no Sol? :roll:

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 2:40 pm
por Zé Teixeira
Este problema faz-me lembrar de um outro parecido com que andei às voltas durante meses. Queria descobrir a posição em função do tempo para um corpo a cair na Terra de suficientemente alto para que a força gravítica não fosse constante. A diferença é que a massa do corpo é desprezável em comparação com a da Terra, portanto ela fica quietinha no sítio enquanto o corpo vai caindo.

Meses à volta com isto, e no fim descobri que a função é solução de uma equação diferencial não resolúvel... :evil: só mesmo numericamente :(

Nota: isto não quer dizer que não se possa achar o tempo de queda, o que não se pode é determinar uma função que nos dê a posição em cada instante.

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 4:24 pm
por Irakian Monkey
Andei praqui a inventar e achei uma expressao:
t=\sqrt{\frac{2L^3}{G(m_2+m_1)}}

Se só por acaso estiver certa(probabilidade é menor que ganhar o euromilhoes) eu explico como fiz.

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 5:05 pm
por jap
Irakian Monkey Escreveu:Andei praqui a inventar e achei uma expressao:
t=\sqrt{\frac{2L^3}{G(m_2+m_1)}}

Se só por acaso estiver certa(probabilidade é menor que ganhar o euromilhoes) eu explico como fiz.


A resposta está dimensionalmente correcta, pelo que não deves andar longe da verdade...:wink:

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 5:29 pm
por Andre França
jap Escreveu:Este também é tricky, sim senhor... :D

Para os "não caloiros" e que já conhecem o "truque" e sabem programar aqui fica o desafio: simulação computacional do problema para a terra e o sol - que também é um pouco tricky, mas de uma outra forma... :roll:

Se a Terra parasse de girar, e ignorando o efeito dos outros planeta, quanto tempo demorava a "cair" no Sol? :roll:


Ahh, realmente é tricky e interessante :D mas o João Gama, quando confrontado com as dúvidas existenciais do Zé relativamente a este problema, já fez um programa em C que simula o tempo de queda de um corpo...

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 5:56 pm
por Zé Teixeira
Não é assim tão tricky quanto isso, basta considerar a aceleração constante ao longo de um determinado comprimento. O Gama utilizou segmentos de um metro.

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 6:24 pm
por manuelmarque
Irakian Monkey Escreveu:Andei praqui a inventar e achei uma expressao:
t=\sqrt{\frac{2L^3}{G(m_2+m_1)}}

Se só por acaso estiver certa(probabilidade é menor que ganhar o euromilhoes) eu explico como fiz.


Exactamente! Foi mesmo a isso que eu cheguei... agora não consigo chegar a um valor numérico. :( Pensei q fosse possível, mas pelos vistos não é :P

Já agora, relativamente ao problema colocado pelo Prof. Paixão, cheguei a um tempo de 1.947 \times 10^{-17} s. Parece-me tempo a menos... se bem que o Sol é muito maior e com muito mais massa que a Terra... nem dá para dizer sequer "Adeus, Terra..." :)

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 6:34 pm
por pmp
Não queria ser desmancha prazeres, mas esse tempo considera que a aceleração de cada um dos corpos 1 e 2 é constante ao longo do percurso e isso não é verdade.

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 6:40 pm
por manuelmarque
pmp Escreveu:Não queria ser desmancha prazeres, mas esse tempo considera que a aceleração de cada um dos corpos 1 e 2 é constante ao longo do percurso e isso não é verdade.


Hiii tens razão!!! Por isso é que se falava da simulação computacional :P

Bem, vou ter de olhar nisto de outra forma...

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 6:41 pm
por manuelmarque
manuelmarque Escreveu:
Irakian Monkey Escreveu:Andei praqui a inventar e achei uma expressao:
t=\sqrt{\frac{2L^3}{G(m_2+m_1)}}

Se só por acaso estiver certa(probabilidade é menor que ganhar o euromilhoes) eu explico como fiz.


Exactamente! Foi mesmo a isso que eu cheguei... agora não consigo chegar a um valor numérico. :( Pensei q fosse possível, mas pelos vistos não é :P

Já agora, relativamente ao problema colocado pelo Prof. Paixão, cheguei a um tempo de 1.947 \times 10^{-17} s. Parece-me tempo a menos... se bem que o Sol é muito maior e com muito mais massa que a Terra... nem dá para dizer sequer "Adeus, Terra..." :)


Agora entendo! O raio vai diminuindo, pelo que a aceleração é cada vez menor. Este valor não tem razão de ser, dado que foi calculado com base no pressuposto de que a aceleração é constante :(

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 6:51 pm
por pmp
manuelmarque Escreveu:Agora entendo! O raio vai diminuindo, pelo que a aceleração é cada vez menor.


Exacto! :D
Aqui é que está a dificuldade do problema. Eu até agora ainda não cheguei a nada conclusivo.

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 6:54 pm
por manuelmarque
pmp Escreveu:
manuelmarque Escreveu:Agora entendo! O raio vai diminuindo, pelo que a aceleração é cada vez menor.


Exacto! :D
Aqui é que está a dificuldade do problema. Eu até agora ainda não cheguei a nada conclusivo.


Cheguei a qualquer coisa... só que é t a depender de t, r e as duas massas :?
Vou refazer a expressão e já vejo. Se não conseguir, deixo aqui um scan dela para ver o meu raciocínio (pode ser que inspire alguém, quem sabe? :D)

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 6:57 pm
por Zé Teixeira
Lembrem-se, não vale a pena tentarem achar a função que dá a posição em cada instante para depois determinarem o tempo de queda... porque a função não existe.

Tentem outros métodos. Lembrem-se de que o problema é tricky.

MensagemEnviado: Sábado Nov 25, 2006 7:13 pm
por manuelmarque
Zé Teixeira Escreveu:Lembrem-se, não vale a pena tentarem achar a função que dá a posição em cada instante para depois determinarem o tempo de queda... porque a função não existe.

Tentem outros métodos. Lembrem-se de que o problema é tricky.


Então /me screwed up. :roll:

Deu-me um gigantesco resultado final de:

t=\sqrt[4]{\frac{G(M-m)}{\frac{(G^{3}(M^{3}+M^{2}m+Mm^{2}+m^{3})}{64r^{2}}}}