Corpos celestes

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 7:28 pm

manuelmarque Escreveu:
Zé Teixeira Escreveu:
(...)
Como é que eu ponho a raiz de quarto grau?? Só consigo pôr a quadrada... :()


podes sempre escrever
\sqrt[4]{x}=x^{1/4}
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Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 7:31 pm

Zé Teixeira Escreveu:Lembrem-se, não vale a pena tentarem achar a função que dá a posição em cada instante para depois determinarem o tempo de queda... porque a função não existe.

Tentem outros métodos. Lembrem-se de que o problema é tricky.


Matematicamente a função existe!
Uma função d(t) é uma aplicação unívoca que a cada instante t faz corresponder a distância d entre os planetas. Se existe essa aplicação unívoca, a função existe, e é o caso. Pode é não ser possível exprimir essa função à custa de funções elementares, e por isso poderá não ser possível dar dessa função uma representação analítica...
:wink:
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Mensagempor Zé Teixeira em Sábado Nov 25, 2006 7:51 pm

Pois, o meu professor de programação explicou-me isso... mas, para efeitos práticos, é como se a função não existe.

Faz-me lembrar a piada dos dois homens que estavam perdidos num balão de ar quente e, ao passarem por um vale, decidiram gritar "Olá! Está aí alguém? Onde estamos?".

Passado cerca de meia hora, recebem a resposta: "Olá! Estão num balão de ar quente!".

Um dos homens vira-se para o outro e diz:

-"Foi um matemático que nos respondeu."
- "Como é que sabes?"
- "Demorou montes de tempo e deu uma resposta absolutamente certa e absolutamente inútil"

Resultados de existência e unicidade são bonitos, mas têm uma tendência a não nos dizerem absolutamente nada sobre como calcular o que queremos... :P
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Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 7:57 pm

Zé Teixeira Escreveu:Pois, o meu professor de programação explicou-me isso... mas, para efeitos práticos, é como se a função não existe.

(...)
Resultados de existência e unicidade são bonitos, mas têm uma tendência a não nos dizerem absolutamente nada sobre como calcular o que queremos... :P


Percebo, mas não é bem a mesma coisa, porque, por exemplo, há funções que não podem ser escritas à custa de funções elementares mas das quais se conhecem "expressões analíticas" ou algoritmos para as calcular com precisão arbitrária.. por exemplo, à custa de uma série ou de um integral ou de algo do género. Nesses casos, para todos os efeitos práticos a função existe mesmo...só que é mais difícl manipular essas funções... :roll:
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Mensagempor Zé Teixeira em Sábado Nov 25, 2006 8:03 pm

É verdade. Não fui lá muito correcto, mas queria passar a ideia de que não vale a pena andar às voltas com a função da posição em cada instante neste problema.

Mas tem toda a razão, a função existe. A utilidade da sua existência é que me parece um pouco duvidosa.

A única maneira que conheço de definir a função é através da equação f'' + k/f^2 = 0. Há alguma forma ligeiramente mais simpática, como um integral ou parecido?
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Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 8:09 pm

Zé Teixeira Escreveu:(...)
A única maneira que conheço de definir a função é através da equação f'' + k/f^2 = 0. Há alguma forma ligeiramente mais simpática, como um integral ou parecido?


Suspeito que sim, vou procurar... :roll:
Mas, como bem dizes, o problema é tricky, pelo que é melhor aplicar desde já a regra de ouro nº 1 dos problemas tricky... :P
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Mensagempor pmp em Sábado Nov 25, 2006 9:37 pm

Deve ser um enorme disparate, mas cheguei a essa solução:

t = \sqrt{\frac{2L^3+3L^2+L}{3G(m_1 + m_2)}}

Não está certo, pois não? :?
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Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 9:44 pm

pmp Escreveu:Deve ser um enorme disparate, mas cheguei a essa solução:

t = \sqrt{\frac{2L^3+3L^2+L}{3G(m_1 + m_2)}}

Não está certo, pois não? :?


Só pode estar errado, porque está dimensionalmente incorrecto. :cry:

Nunca se pode somar L^3 comL^2 ou com L!...
Estás a ver porquê?
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Mensagempor pmp em Sábado Nov 25, 2006 9:50 pm

Obrigado, pela prontidão resposta. :)

Porque não posso somar volumes com áreas, por exemplo. Não tem significado. Não é? :?
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Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 10:00 pm

pmp Escreveu:Obrigado, pela prontidão resposta. :)

Porque não posso somar volumes com áreas, por exemplo. Não tem significado. Não é? :?


Exacto, ou como diz o ditado português, não se podem misturar (somar ou subtrair!) alhos com bugalhos... :wink:
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Mensagempor Zé Teixeira em Sábado Nov 25, 2006 10:01 pm

Exacto. Somar unidades diferentes não tem sentido físico, portanto não se pode fazer.

O teste das unidades é bastante útil quando se quer achar uma expressão para uma certa grandeza. Se as unidades da expressão não forem iguais às da grandeza, alguma coisa correu mal (ou se houver inconsistências na expressão, como somar coisas diferentes).
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Mensagempor pmp em Domingo Nov 26, 2006 12:07 am

A expressão que coloquei anteriormente resulta desta que me parece dimensionalmente correcta:


t = \sqrt{\frac{L(L+1\text{m})(2L+1\text{m})}{3G(m_1 + m_2)}}

Para chegar a esse resultado considerei que L, em metros, era um número inteiro e que para segmentos de 1 metro a aceleração era constante aí. Usei também o facto de que a soma dos n primeiros quadrados perfeitos é n(n+1)(2n+1)/6. Não sei se essas informações são suficientes para divisar o meu raciocíonio, que talvez esteja demasiado fantasioso.

NOTA:
O m na expressão significa metros e não é uma massa.
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Mensagempor jap em Domingo Nov 26, 2006 12:14 am

pmp Escreveu:A expressão que coloquei anteriormente resulta desta que me parece dimensionalmente correcta:


t = \sqrt{\frac{L(L+1\text{m})(2L+1\text{m})}{3G(m_1 + m_2)}}

Para chegar a esse resultado considerei que L, em metros, era um número inteiro
(...)
NOTA:[/b] O m na expressão significa metros e não é uma massa.


Pois, mas em física

(L+1m)*L = L^2+ 1m*L

o que é diferente de

(L+1)*L= L+L^2, quando 1 é um número puro.

Aliás deverias então escrever

(L+a)*L=L+aL, sendo a = 1mou algo do género.

Nunca é boa política trabalhar com fórmulas que só são válidas para uma determinada unidade (por exemplo 1 m).

A tua abordagem ao problema é curiosa - vejamos o que os outros olímpicos têm a dizer sobre o assunto... :roll:
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Mensagempor pmp em Domingo Nov 26, 2006 12:20 am

Ah.. já percebi! Obrigado pelo esclarecimento!! E também que a minha não deve ter sido uma abordagem correcta ao problema.

Mas a resposta ao seu desafio do tempo que a Terra levaria a cair para o Sol, seria 4106886 segundos? Se estiver longe disso, posso ter a certeza que é melhor procurar outra abordagem ao problema. :D
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Mensagempor Real em Domingo Nov 26, 2006 12:28 am

Pedro, o resultado que me deu é cerca de 8 vezes superior ao teu.
Tenta explicar o teu raciocínio!
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