Deslize...

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Deslize...

Mensagempor jap em Quarta Ago 22, 2007 5:27 pm

Uma tábua de comprimento l está encostada a uma parede, a uma distância infinitesimal da parede, como mostra a figura. Não existe qualquer atrito entre a tábua, a parede e o solo. Assim, logo que é largada, a tábua começa a deslizar e, a certa alltura, deixa de estar em contacto com a parede.


Imagem

Para que ângulo é que isto acontece? :roll:
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Mensagempor vbmaster em Sexta Ago 24, 2007 12:23 am

Este já tinha visto num fórum, mas não sei se alguém chegou a resolver.

Talvez tente.
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Mensagempor pmp em Segunda Ago 27, 2007 5:16 pm

Eu também já conhecia, não exactamente este, mas um semelhante que se resolvia com um raciocínio muito parecido.
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Mensagempor jap em Segunda Ago 27, 2007 5:25 pm

pmp Escreveu:Eu também já conhecia, não exactamente este, mas um semelhante que se resolvia com um raciocínio muito parecido.



Hum, aviso que em vários sítios (até livros) este problema está mal resolvido! :?
Talvez valha a pena olharem para ele... :wink:
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Mensagempor hexphreak em Quarta Fev 20, 2008 8:32 pm

A solução é \sin \theta = \frac{2}{3}? :roll: Tenho algumas dúvidas, porque foi um bocado fácil... (centro de massa, conservação de energia, encontrar a velocidade constante)
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Mensagempor jap em Quarta Fev 20, 2008 9:30 pm

hexphreak Escreveu:A solução é \sin \theta = \frac{2}{3}? :roll: Tenho algumas dúvidas, porque foi um bocado fácil... (centro de massa, conservação de energia, encontrar a velocidade constante)



Sim, a resposta está correcta se o \theta da tua resposta for o ângulo que a escada faz com o solo no instante em que larga o contacto com a parede. :D
Naturalmente, a resposta correcta para o ângulo com a parede vertical será

\theta = \arccos (\frac{2}{3}) \sim \rm 48,2º.

Parabéns - coloca aqui a tua resolução quando tiveres um tempinho livre. :wink:
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Mensagempor hexphreak em Quarta Fev 20, 2008 9:53 pm

É isso mesmo :D

A solução não é muito difícil. Primeiro temos de identificar o centro de massa da tábua; sendo \theta o ângulo com o solo, temos:

R(x, y) = \frac{l}{2} ( \cos \theta\, , \, \sin \theta )

Agora, precisamos de encontrar a condição em que a tábua deixa de estar em contacto com a parede. Enumerando as forças: temos a força gravitacional, anulada pela força normal do solo, e temos a força normal da parede. Assim, quando a tábua atinge o ângulo procurado, a força da parede anula-se e, portanto, temos aceleração zero.

Precisamos então de encontrar a aceleração em função do ângulo \theta. A maneira que me parece mais simples é indo pela conservação da energia: temos uma componente de energia de translação, outra de energia de rotação em torno do CM e por último a energia potencial gravítica. Como as duas primeiras são inicialmente nulas, temos então:

\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = mg(h_0 - h)

Utilizando agora a relação v = \omega R, e sabendo que o momento de inércia da tábua é \frac{ml^2}{12}...

\frac{1}{2}ml^2 \bigg( \frac{\dot \theta^2}{4} + \frac{\dot \theta^2}{12} \bigg) = mg\frac{l}{2}(1 - \sin \theta) \Leftrightarrow \dot \theta^2 = \frac{3g}{l} (1 - \sin \theta)

Sabemos também que a velocidade horizontal \dot x é proporcional a \dot \theta \sin \theta, e logo:

\dot x \propto \sin \theta \sqrt{1 - \sin \theta}

Dado que os outros factores são constantes, não nos interessam para descobrir o ponto de \ddot x = 0, que facilmente se descobre ser \cos \theta = 0 (a situação em que a tábua está perpendicular ao chão, trivial) ou \sin \theta = \frac{2}{3}, a solução que nos interessa :D

Espero não ter sido muito confuso, tenho tendência a passar por cima dos passos que já interiorizei...
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Mensagempor jap em Quarta Fev 20, 2008 10:03 pm

Obrigado, Henrique!
Pela tua resposta super-rápida! :friends:

Está tudo claro! :wink:

E para quem não perceber, vamos ter uma sessão sobre dinâmica de rotação (corpo rígido) no domingo... :lol:
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Mensagempor manuelmarque em Quarta Fev 20, 2008 10:42 pm

Aiii... que esse problema saiu num exame de outro ano aqui na FCUP, exactamente em Mecânica... e nós resolvemos isso na aula! :lol:

Engraçado que o nosso professor resolveu o problema exactamente pelo mesmo método do Henrique! :)

Foi mesmo um flashback... bem dizia o açoriano que conhecia o problema :).
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Mensagempor hexphreak em Quarta Fev 20, 2008 10:46 pm

Conclusão: o Quark! é de nível universitário! :D A menos que consideremos aquele género de exames em que se pergunta, como era Manuel? Ah, sim:

1.1 Determina a aceleração da partícula nos intervalos de tempo (i) [0s,3s], (ii) [3s,6s] e (iii) [6s,10s].

(dado o gráfico v-t) :lol:
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Mensagempor jap em Quarta Fev 20, 2008 10:48 pm

hexphreak Escreveu:Conclusão: o Quark! é de nível universitário! :D A menos que consideremos aquele género de exames em que se pergunta, como era Manuel? Ah, sim:



O Quark! é de nível olímpico! :lol:
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Mensagempor manuelmarque em Quinta Fev 21, 2008 9:05 am

hexphreak Escreveu:Conclusão: o Quark! é de nível universitário! :D A menos que consideremos aquele género de exames em que se pergunta, como era Manuel? Ah, sim:

1.1 Determina a aceleração da partícula nos intervalos de tempo (i) [0s,3s], (ii) [3s,6s] e (iii) [6s,10s].

(dado o gráfico v-t) :lol:


Aiii, nem me fales do exame. :roll:

Nem sei como houve chumbos, mas o que certo é que houveram... :evil:
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