O "acelera"

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

O "acelera"

Mensagempor jap em Terça Maio 08, 2007 6:06 pm

Aqui está um problema de enunciado simples e de resolução igualmente simples, mas um pouco "tricky"...

Um motociclista circula numa trajectória circular de raio R. O atrito estático entre as rodas e o solo, horizontal, é constante. O motociclista parte do repouso. Qual é a distância mínima que o motociclista terá de percorrer para atingir a velocidade máxima a que é possível circular na pista sem "derrapar"? :shock:

Nota: não se considera aqui a possibilidade de o ciclista se inclinar para o interior da curva, como fazem os profissionais. :D . Portanto, apenas a força de atrito actua como força centrípeta!
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Mensagempor pmp em Domingo Maio 20, 2007 5:40 pm

Será \frac{\pi}{2}R ? Um quarto de volta? :?
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Mensagempor jap em Domingo Maio 20, 2007 8:35 pm

pmp Escreveu:Será \frac{\pi}{2}R ? Um quarto de volta? :?


A reposta correcta é \frac{\pi}{4}R, ou seja, um oitavo de volta. :?
Haverá um factor de dois perdido nas tuas contas? :roll:
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Mensagempor pmp em Segunda Maio 21, 2007 5:40 pm

Não foram as contas desta vez. :D

Se a força de atrito estático permanece constante posso dizer que:

F^2=\rm cte

F_c^2+F_t^2=\rm cte

(m\frac{v^2}{R})^2+(m\frac{dv}{dt})^2=\rm cte

É válido partir daqui? :?
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Mensagempor jap em Segunda Maio 21, 2007 9:03 pm

pmp Escreveu:Não foram as contas desta vez. :D

Se a força de atrito estático permanece constante posso dizer que:

F^2=\rm cte

F_c^2+F_t^2=\rm cte

(m\frac{v^2}{R})^2+(m\frac{dv}{dt})^2=\rm cte

É válido partir daqui? :?


Até aqui tudo bem, Pedro! :D
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Mensagempor pmp em Terça Maio 22, 2007 10:59 pm

Eu depois livro-me do dt, ao dizer que:

dt=\frac{ds}{v}

Depois derivo ambos os membros em ordem a s.

E termino numa chata equação diferencial que vai dizer-me que a dependência da velocidade sobre a distância percorrida é um seno ou coseno, pelo menos até atingir a velocidade máxima. :?
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Mensagempor jap em Terça Maio 22, 2007 11:31 pm

pmp Escreveu:Eu depois livro-me do dt, ao dizer que:

dt=\frac{ds}{v}

Depois derivo ambos os membros em ordem a s.

E termino numa chata equação diferencial que vai dizer-me que a dependência da velocidade sobre a distância percorrida é um seno ou coseno, pelo menos até atingir a velocidade máxima. :?


Não estou a ver bem qual é a equação diferencial a que chegaste, queres explictar aqui essa equação e como chegaste lá para eu verificar se está certa?

Se estiver, podemos sempre resolver a equação, nem que seja numericamente - o miguel pais dá uma ajudinha a programar isso. 8)

No entanto conheço duas maneiras de obter a resposta:
1) usando um truque e obtém-se a resposta em duas linhas !
2) obtendo e resolvendo uma equação diferencial que a mim me dá (já me livrei do tempo!):

\frac{dv}{ds}= \frac{\sqrt{(\mu g)^2-\left(\frac{v^2}{R}\right)^2}}{v}

Esta equação não é dificil de resolver (é só integrar!), mas talvez tenha de dar uma ajuda... :D
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Mensagempor pmp em Terça Maio 22, 2007 11:47 pm

Ah... é que eu tentei não usar o coeficiente de atrito, como não vinha no enunciado. :) Sendo assim, chego naturalmente a essa equação, que não me parece um integral fácil, pelo menos indo pela intuição. :?
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Mensagempor jap em Terça Maio 22, 2007 11:50 pm

pmp Escreveu:Ah... é que eu tentei não usar o coeficiente de atrito, como não vinha no enunciado. :) Sendo assim, chego naturalmente a essa equação, que não me parece um integral fácil, pelo menos indo pela intuição. :?


Na realidade, o coeficiente de atrito não é necessário, acaba por desaparecer nos cálculos... :P

O resultado é independente do coeficiente de atrito e, portanto, basta assumir que a força de atrito é uma certa F constante, com componentes radial e centípeta, tal como tu fizeste! :D
Na equação diferencial ficaria então em vez de \mu g , F/m...

Se não conseguires resolver o integral eu dou uma ajuda...ou talvez outro quarkiano que gosta de matemática (Diogo?) queira dar uma dica... :P
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Mensagempor pmp em Segunda Maio 28, 2007 12:19 pm

Fui ler o meu livro de cálculo e consegui resolver o integral, pelo menos cheguei ao resultado certo, mas fiz duas substituições, era por aí que se resolvia?
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Mensagempor jap em Segunda Maio 28, 2007 1:06 pm

pmp Escreveu:Fui ler o meu livro de cálculo e consegui resolver o integral, pelo menos cheguei ao resultado certo, mas fiz duas substituições, era por aí que se resolvia?


Pedro,

Indo por essa via, a de calcular o integral, a melhor forma é fazer duas substituições de variáveis, pelo que imagino que terás o problema certo! :D
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Mensagempor jap em Segunda Maio 28, 2007 9:51 pm

Aqui vai a resolução deste problema....


Método I (o mais trabalhoso, foi o que o Pedro seguiu e conseguiu resolver, com êxito :hands: , apesar dos integrais!)

Partindo de

\frac{dv}{ds} = \frac{\sqrt{(\mu g)^2-\left(\frac{v^2}{R}\right)^2}}{v} ,

e rearranjando os termos obtemos


ds = \frac{vdv}{\sqrt{(\mu g)^2-\left(\frac{v^2}{R}\right)^2}}


Façamos uma primeira mudança de variável,z =\frac{v^2}{\mu g R}. A equação anterior toma a forma

ds = \frac{Rdz}{2\sqrt{1-z^2}}


A velocidade máxima atinginda pelo móvel v_{\rm max} pode ser calculada pela equação

\mu m g = m v^2_{\rm max}/ R , ou seja,


v^2_{\rm max} = \sqrt{\mu g R} .


No instante em que se atinge a velocidade máxima a variável z toma o valor 1.

A distância s nesse instante é


s  = \int_0^s{ds} = \int_0^1{ \frac{Rdz}{2\sqrt{1-z^2}}}

Como calcular este integral? :roll:

Há um truque que torna o cálculo trivial. :shock:

Façam uma nova mudança de variável, de z para um ângulo \theta, tal quez = \sin \theta. Assim, quando z = 0,\theta = 0, e quando z = 1 , \theta = \pi/2.


Ora dz = \cos \theta d\theta.

por outro lado

\sqrt{1-z^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos \theta.

Logo

s  = \int_0^1{ds} = \int_0^1{ \frac{Rdz}{2\sqrt{1-z^2}}} = \frac{R}{2}\int_0^{\pi/2}{\frac{\cos \theta}{\cos \theta}d\theta} = \frac{R}{2}\int_0^{\pi/2}{d\theta} = \frac{\pi R}{4}

Voilá! :D
Mais uma vez parabéns ao Pedro por ter levado a bom porto o cálculo dos integrais... :D

Mas há uma outra forma de resolver este problema de forma bem mais simples e sem recorrer a integrais...uma resolução realmente simples e elegante... :P
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Re: O "acelera"

Mensagempor hexphreak em Sexta Jan 23, 2009 12:22 pm

Não sei se será este o segundo método, é um bocadinho mais que duas linhas e tecnicamente usa um integral :P Mas de qualquer maneira, parece-me mais simples e foi o primeiro em que pensei.

Consideremos \theta o ângulo que a partícula, digo, o motociclista percorreu desde a posição inicial, e \varphi o ângulo que a força de atrito faz com o raio da pista na posição actual. A velocidade máxima será atingida quando toda a força for radial, ou seja \varphi = 0. Por outro lado:

\left\{
\begin{array}{ll}
F \cos \varphi = {mv^2 \over R} \\
F \sin \varphi = m {dv \over dt}
\end{array}
\right.

onde F é a força de atrito. Uma vez que v = \dot \theta R, podemos substituir no sistema e derivar a primeira equação em ordem ao tempo, obtendo:

\left\{
\begin{array}{ll}
-F \dot \varphi \sin \varphi = 2mR \dot \theta \ddot \theta \\
F \sin \varphi = mR \ddot \theta
\end{array}
\right.

Dividindo a primeira equação pela segunda, ficamos com \dot \varphi = -2 \dot \theta. Isto diz-nos que \varphi diminui duas vezes mais rapidamente do que \theta aumenta*. Sabendo então que \varphi(0) = {\pi \over 2} e \theta(0) = 0, temos que quando \varphi = 0 teremos \theta = {\pi \over 4}, pelo que a distância percorrida será um oitavo de volta.


* Sim, isto foi só para não explicitar a integração :P
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Re: O "acelera"

Mensagempor jap em Sexta Jan 23, 2009 6:43 pm

Eu bem tinha dito que havia um método mais simples... :lol:
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