Problema do Contrabandista

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 7:24 pm

Bom, vou postar a minha resolução do problema do contrabandista que é igual à do Diogo, só que explico mais devagarinho cada passo e vou tentar explicar em que consiste, afinal, a integração de ambos os membros da equação que é o passo que os caloiros terão mais dificuldade em perceber. Mas, repito, é exactamente o mesmo raciocínio do Diogo, pelo que não há aqui qualquer novidade!

Aqui vai o que tinha preparado para postar na quarta-feira passada:

Ora vamos pôr-nos na pele do polícia, a perseguir furiosamente o bandido, apontando sempre a proa do barco na direcção do barco fugitivo! Atentem na figura seguinte:


Imagem


Para a polícia, o que é verdadeiramente relevante é a velocidade relativa de aproximação entre o barco da polício e o fugitivo. Se projectarmos esta velocidade na direcção da perseguição definida, em cada instante, pela linha recta que une o barco da polícia e do contrabandista, obtemos, para esta projecção

kv-v\sin\alpha,

onde \alphaé o ângulo que esta direcção faz com o eixo OX, num dado instante. Ora num pequeno intervalo de tempo \Delta testa velocidade relativa produz uma encurtamento na distância dentre os dois barcos de \Delta d dada pela expressão (defino o encurtamento como número positivo!)

\Delta d = vk\Delta t - v\sin\alpha \Delta t.

Mas por outro lado, da figura conclui-se que

\sin \alpha = \frac{\Delta y}{kv\Delta t}.

Eliminando \sin\alphadestas duas equações, obtemos

\Delta d = kv\Delta t - \frac{\Delta y}{k},

ou ainda, multiplicando por k,

k\Delta d = k^2v\Delta t -\Delta y.

Isto é válido para qualquer pequeno instante de tempo\Delta t. Mas se dividirmos a viagem, desde o início da perseguição, até ao instante da captura, em pequenos intervalos \Delta t e somarmos os pequenos encurtamentos correspondentes \Delta t o que obtemos? No final, a soma de todos os encurtamentos é igual a a ao fim de um tempo t_p que é o tempo que dura a perseguição, ou seja a soma de todos os \Delta t. Por outro lado,

vt_p = a.

Então, concluimos que

ka= k^2vt_p-a = k^2 a-a

ou ainda

k^2 a -a -ka = 0,

ou

k^2-k -1 = 0,

Resolvendo a equação quadrática, obtemos a solução (com significado físico):

k = \frac{1+\sqrt 5}{2} =1.618....


É claro que esta resolução evita o problema do cálculo da trajectória do barco do polícia...que é um desafio que dá alguma luta!
Alguns progressos?

:lol: :lol:
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Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 10:07 pm

Bom, e enquanto esperamos pelo post do fernando com a sua magnífica, fascinante e horrível :twisted: solução analítica para a curva do problema do contrabandista, aqui vão mais algumas informações interessantes sobre este problema.

O problema do contrabandista foi formulado pela primeira vez por Leonardo da Vince, na forma do problema "gato que persegue o rato".
Este problema foi retomado e generalizado para ratos (contrabandistas) que fogem naão apenas em linha recta mas segundo curvas generalizadas...
Entre os matemáticos que se dedicaram a este problema do contrabandista generalizado estão Pierre Bouguer, Francês, e o inglês Boole, o pai da lógica matemática.
A dica do vídeo do NUMB3RS tem a ver com o facto deste problema ser mencionado no episódio "Dark Matter" desta série... :shock:
O matemático-génio Charlie vai utilizar a matemática das "pursuit curves" para apanhar o "verdadeiro" bandido do episódio.

E bastava googelar numb3rs + dark matter + curve, por exemplo, para terem obtido a resposta ao problema...bom fazendo um pouco batota, é claro :wink:

Incrível, né? :lol:
última vez editado por jap s Domingo Nov 26, 2006 12:07 am, editado 1 vez no total
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Mensagempor Zé Teixeira em Sábado Nov 25, 2006 10:11 pm

Ah, então o professor também vê Numb3rs :) Ainda só vi os primeiros 4 episódios, mas já é das minhas séries preferidas. Gosto das inúmeras referências a problemas e conceitos matemáticos e físicos que fazem na série, é raríssimo ver-se disso em séries e filmes.
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Mensagempor manuelmarque em Sábado Nov 25, 2006 10:47 pm

Zé Teixeira Escreveu:Ah, então o professor também vê Numb3rs :) Ainda só vi os primeiros 4 episódios, mas já é das minhas séries preferidas. Gosto das inúmeras referências a problemas e conceitos matemáticos e físicos que fazem na série, é raríssimo ver-se disso em séries e filmes.


A minha profª de Matemática falou-me dessa série, ainda ela não tinha estreado em Portugal :D. Como estava curioso, obtive os dois primeiros episódios por meios que prefiro não revelar :), e por acaso gostei. Quando começou a dar, na TVI, percebi imediatamente que não poderia ver, porque:

a) a TVI é um canal sencionalista, e por tal, tudo o que seja interessante passa fora do horário nobre - o Numb3rs dá muito depois da meia-noite, e eu tenho aulas de manhã cedo no dia a seguir;
b) não vejo a TVI por uma questão de princípio - podem dar imensas séries interessantes (fora do horário nobre) mas enquanto não tirarem aquele tele-lixo, nunca vou contribuir para as audiências "daquilo"!

Peço desculpa por ter divergido tanto, e ter sido tão longo, mas quando me falam destas coisas... eu não me calo :lol:
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Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 11:59 pm

manuelmarque Escreveu:
Zé Teixeira Escreveu:(...)
Quando começou a dar, na TVI, percebi imediatamente que não poderia ver, porque:

a) a TVI é um canal sencionalista, e por tal, tudo o que seja interessante passa fora do horário nobre - o Numb3rs dá muito depois da meia-noite, e eu tenho aulas de manhã cedo no dia a seguir;
b) não vejo a TVI por uma questão de princípio - podem dar imensas séries interessantes (fora do horário nobre) mas enquanto não tirarem aquele tele-lixo, nunca vou contribuir para as audiências "daquilo"!

Peço desculpa por ter divergido tanto, e ter sido tão longo, mas quando me falam destas coisas... eu não me calo :lol:


Vejo que és um homem de princípios :wink:
Boa!
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Mensagempor vbmaster em Domingo Nov 26, 2006 12:06 am

manuelmarque Escreveu:
Zé Teixeira Escreveu:Ah, então o professor também vê Numb3rs :) Ainda só vi os primeiros 4 episódios, mas já é das minhas séries preferidas. Gosto das inúmeras referências a problemas e conceitos matemáticos e físicos que fazem na série, é raríssimo ver-se disso em séries e filmes.


A minha profª de Matemática falou-me dessa série, ainda ela não tinha estreado em Portugal :D. Como estava curioso, obtive os dois primeiros episódios por meios que prefiro não revelar :), e por acaso gostei. Quando começou a dar, na TVI, percebi imediatamente que não poderia ver, porque:

a) a TVI é um canal sencionalista, e por tal, tudo o que seja interessante passa fora do horário nobre - o Numb3rs dá muito depois da meia-noite, e eu tenho aulas de manhã cedo no dia a seguir;
b) não vejo a TVI por uma questão de princípio - podem dar imensas séries interessantes (fora do horário nobre) mas enquanto não tirarem aquele tele-lixo, nunca vou contribuir para as audiências "daquilo"!

Peço desculpa por ter divergido tanto, e ter sido tão longo, mas quando me falam destas coisas... eu não me calo :lol:


Oh homê, e a net serve para quê?! :P

andei aqui a pesquisar, e ui... já vai na terceira série..... mas na net tudo se arranja...
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Mensagempor fnog em Domingo Nov 26, 2006 1:04 am

Como prometi, aqui vai a solução do problema da trajectória do barco do contrabandista:

Se o barco da polí­cia `aponta' sempre para o barco do contrabandista, então o vector velocidade do barco da polícia é paralelo ao vector posição relativa dos dois barcos. Consideremos um sistema de eixos em que o eixo dos xx é paralelo à costa e o semi-eixo positivo dos yy é paralelo ao vector velocidade do barco do contrabandista. Se a posição deste barco for dada neste sistema de eixos por x_1(t) e y_1(t) então:

\left\{\begin{array}{l}
x_1(t)=0 \\
y_1(t)=vt\,.
\end{array}\right.

Para o barco da polícia sabemos apenas que x_2(0)=a, y_2(0)=0 e que

\left\{\begin{array}{l}
\dot x_2(t)=\alpha(t)\left(x_1(t)-x_2(t)\right) \\
\dot y_2(t)=\alpha(t)\left(y_1(t)-y_2(t)\right)\,.
\end{array}\right.

(Nota: \dot x=\frac{dx}{dt}.) Estas condições exprimem apenas o que foi dito acima: o vector velocidade do barco da polí­cia é, em cada instante, paralelo ao vector posição relativa dos dois barcos. A função \alpha(t) é apenas o quociente da norma destes dois vectores, isto é,

\alpha(t)=\frac{kv}{d(t)}

em que d(t)=\sqrt{x_2(t)^2+\left(vt-y_2(t)\right)^2} é a distância entre os dois barcos. Juntando tudo e aproveitando o factor \alpha(t) comum às duas equações, vem

\frac{\dot x_2(t)}{-x_2(t)}=\frac{\dot y_2(t)}{vt-y_2(t)}

ou

\dot x_2(t)\left(vt-y_2(t)\right)+x_2(t)\dot y_2(t)=0\,.

Como kvt é o comprimento do arco percorrido pelo barco da polí­cia temos (desculpem a falta de `rigor matemático' mas assim é mais fácil de perceber por quem ainda não fez Análise Matemática...)

kvt=s=\sum \Delta s=\int \sqrt{(dx_2)^2+(dy_2)^2}=\int\sqrt{1+\left(\frac{dy_2}{dx_2}\right)^2}dx_2

o que permite, após divisão da penúltima equação por \dot x_2(t), ficar com a seguinte equação:

\frac{1}{k}\int\sqrt{1+\left(\frac{dy_2}{dx_2}\right)^2}dx_2-y_2+x_2\frac{\dot y_2}{\dot x_2}=0\,.

Notem que deixei de escrever x_2(t) visto que eliminei a dependência explí­cita em t na equação. Bem, quase eliminei: falta `tratar' de \dot x_2 e \dot y_2 (que, sendo derivadas em ordem ao tempo, contêm explicitamente t). Mas é fácil:

\frac{\dot y_2(t)}{\dot x_2(t)}=\frac{\frac{dy_2}{dt}}{\frac{dx_2}{dt}}=\frac{dy_2}{dx_2}\,.

Finalmente obtemos uma equação simpática:

\int\sqrt{1+\left(\frac{dy_2}{dx_2}\right)^2}dx_2-ky_2+kx_2\frac{dy_2}{dx_2}=0\,.

Para esta equação ficar ainda mais simpática, vamos derivá-la em ordem a x_2 (e `deixar cair' o í­ndice 2):

\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}+kx\frac{d^2y}{dx^2}=0\,.

Esta equação diferencial resolve-se facilmente :wink:, e obtém-se:

y(x)=A-\frac{k x \left(\cosh \left(B-\frac{\log (x)}{k}\right)+k \sinh \left(B-\frac{\log
   (x)}{k}\right)\right)}{k^2-1}\,,

onde A e B são duas constantes cujo valor é determinado pelas condições iniciais do problema.
Estas condições são apenas:

\left\{\begin{array}{l}
y(a)=0 \\
\left.\frac{dy(x)}{dx}\right|_{x=a}=0\,.
\end{array}\right.

Atenção: \frac{dy(x)}{dx} é o declive da tangente à trajectória, não tem nada a ver com a velocidade do barco da polí­cia! Impondo estas condições obtemos finalmente a trajectória do barco da polí­cia:

y(x)=\frac{k \left(a-x \left(\cosh \left(\frac{\log (a)-\log (x)}{k}\right)+k \sinh \left(\frac{\log
   (a)-\log (x)}{k}\right)\right)\right)}{k^2-1}\,.

Com a equação da trajectória, é trivial determinar o ponto onde o barco da polí­cia intercepta o do contrabandista: basta determinar a intersecção das duas trajectórias, isto é, basta calcular
y(0) e resolver a equação y(0)=a. Obviamente,

y(0)=\frac{ka}{k^2-1}\,,

logo

y(0)=a\ \Leftrightarrow k^2-k-1=0\ \ (k\neq\pm 1)\ \Leftrightarrow k=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\,.

É claro que escolhemos a solução positiva que é, para grande surpresa, k=1.6180339887498948482!

Reparem que parece haver um problema para k=\pm 1, com a equação da trajectória a divergir. Mas não há! Calculem o limite quando k\rightarrow\infty e aproveitem para determinar o ponto onde a polí­cia `apanha' o contrabandista se k=1 (o resultado é bastante previsí­vel...)
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Mensagempor jap em Domingo Nov 26, 2006 1:33 am

Bom, quando recuperarem do choque :shock: :shock: :shock: desta solução analítica que deve ter causado uma convulsão nos vossos cérebros, deiam uma vista de olhos a algumas simulações que estão em

http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html

As contas que eles indicam são parecidas às do fernando, mas o problema não é bem igual ao nosso porque no primeiro exemplo que eles mostram, assumem a velocidade dos barcos igual, e o polícia parte de um sítio arbitrário...O contrabandista anda em linha recta, como no nosso problema.

No fim da página há simulações para casos em que o contrabandista anda à roda e o polícia atrás dele! :lol:
:wink:
última vez editado por jap s Terça Nov 28, 2006 1:33 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor Real em Domingo Nov 26, 2006 7:00 pm

Caramba!
De facto, o adjectivo "horrível" é bastante apropriado :shock:

Já agora, como é que o "da Vinci" resolveu o problema? De certeza que não sabia integrar!!
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Mensagempor manuelmarque em Domingo Nov 26, 2006 7:10 pm

Real Escreveu:Caramba!
De facto, o adjectivo "horrível" é bastante apropriado :shock:

Já agora, como é que o "da Vinci" resolveu o problema? De certeza que não sabia integrar!!


Outch! :shock: Concordo. É muita areia para a minha camioneta (ainda não compreendi todos os cálculos :()
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Mensagempor jmgb em Segunda Nov 27, 2006 1:11 am

Manuel, não fiques preocupado com isso! :) Tens muito tempo ainda para aprender...

Adorei ler as páginas da Wolfram sobre o "Pursuit problem". As imagens animadas estão fantásticas.... A dedução do Prof. Nogueira está verdadeiramente diabólica... Mas pronto, faz parte! :)

E antes que me esqueça, há que dar os parabéns ao Diogo, que resolveu o problema! :) FCUP 1 - IST 0 (se vir que a contagem começa a ficar demasiado desnivelada faz-se reset ao jogo, que é o que faço sempre que começo a perder um jogo na Playstation) :lol:


Abraço.
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Mensagempor jap em Segunda Nov 27, 2006 1:19 pm

Real Escreveu:Caramba!
De facto, o adjectivo "horrível" é bastante apropriado :shock:

Já agora, como é que o "da Vinci" resolveu o problema? De certeza que não sabia integrar!!


Prometo mais novidade sobre "pursuit problems" para breve.

Estou de momento em França, no sincrotrão europeu, ESRF, e não tenho muito disponibilidade para postar :cry:, pelo que estou em "serviço mínimo".

Na quarta-feira recomeçarei a actividade normal... :wink:
última vez editado por jap s Terça Nov 28, 2006 1:38 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor jap em Terça Nov 28, 2006 1:36 pm

Real Escreveu:Caramba!
De facto, o adjectivo "horrível" é bastante apropriado :shock:

Já agora, como é que o "da Vinci" resolveu o problema? De certeza que não sabia integrar!!


Pois não, mas o da Vinci apenas provou que k = \phi, como tu fizeste,- bom, acho que ele era obcecado pelo número de ouro, o que deve ter ajudado 8) . O homem não deduziu a forma da trajectória...Mesmo assim é notável! :wink:
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