Problema do Contrabandista

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor Nuno_Monteiro em Quinta Nov 23, 2006 11:13 pm

Neste momento e como o prezo limite é sábado, axo que todas as ideias até as mais disparatadas devem ser postadas.
Por isso aqui vai.
E já agora gostava que os professores analisacem a veracidade do que vou dizer.
se colocar-mos a origem do referencial no ponto de partida da polícia, o vector deslocamento do barco da polícia vai fazer sempre um angulo cuja tangente é = ao deslocamento do barco do contrabandista / a

Não sei se ajuda, ou se estará certo. Amanhã depois das aulas volto me a debruçar sobre o assunto
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Mensagempor jap em Quinta Nov 23, 2006 11:14 pm

jmgb Escreveu:
Mesmo o Feynman dava os volumes I e II antes do III.


Tudo dito.


PS - Também tenho colecções de problemas "tricky" envolvendo o operador momento angular


Acho melhor primeiro ser capaz de resolver convenientemente, e sem erros, os problemas não-tricky. Depois lá passarei aos seguintes :)


Just kidding! :D
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Mensagempor vbmaster em Quinta Nov 23, 2006 11:17 pm

Nuno_Monteiro Escreveu:Neste momento e como o prezo limite é sábado, axo que todas as ideias até as mais disparatadas devem ser postadas.
Por isso aqui vai.
E já agora gostava que os professores analisacem a veracidade do que vou dizer.
se colocar-mos a origem do referencial no ponto de partida da polícia, o vector deslocamento do barco da polícia vai fazer sempre um angulo cuja tangente é = ao deslocamento do barco do contrabandista / a

Não sei se ajuda, ou se estará certo. Amanhã depois das aulas volto me a debruçar sobre o assunto


Parece-me que sim, visto que o deslocamento em x do barco da policia é a, em y é também a, logo o ângulo é de 45º para o deslocamento. A tan(45) = 1, que será igual ao deslocamento do barco do contrabandista (que é a), sobre a.
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Mensagempor jmgb em Quinta Nov 23, 2006 11:18 pm

Nuno, mas que raio são ideias disparatadas? Não há ideias disparatadas, porque o disparate depende inteiramente do contexto, isto é, tudo o que é disparate num determinado contexto pode ser aproveitado e transformado numa resolução brilhante num outro contexto problemático! (cuidado para não abusar... ter de efectuar com frequência transações do tipo disparate em A--->resolução em B pode tornar-se (demasiado) trabalhoso... :) )

Toca a postar tudo!


Abraço.
João Gama
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Mensagempor Andre França em Quinta Nov 23, 2006 11:26 pm

Tenho uma conjectura que ainda não consegui provar nem dizer que é falsa:

tg(\theta) = \frac{a - x}{x}

(sendo este \theta a recta tangente à trajectória num ponto entre 0 e x, e x o deslocamento do contrabandista.)
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Mensagempor Leonardo em Sexta Nov 24, 2006 5:17 pm

jmgb Escreveu:\overline{\rm r_{contrabandista}}-\overline{\rm r_{policia}}   //   \overline{\rm v_{policia}}


Aqui vai o meu raciocínio. Não cheguei ao resultado certo mas penso que se aproveita alguma coisa. Considerei o referencial no ponto de partida do polícia, rp-vector posiçao do polícia, rc-vector posiçao do contrabandista,vp-velocidade do polícia e vc velocidade do contrabandista. Parti da ideia do Gama que rc-rp paralelo a vp. Assim pode-se dizer b(rc-rp)=vp sendo b uma constante. Pode-se definir rc como (a,vt) e rp como (x,y). Temos então que b(a-x,vt-y)=vp.
Então vpx=b(a-x) ou seja dx/dt=b(a-x). Integrando esta equação obtemos x=a-aexp(-bt). Sabemos também que para x=0, vpx=kv. Daqui obtemos que b=kv/a. Substituindo na equação ficariamos com x=a-aexp((-kv/a)t). Sabe-se também que para t=a/v, x=a. Pensei assim poder calcular k mas obtive exp(-k)=0 que é impossível. Percebi depois que tinha assumido erradamente que b é constante. Como b varia com o tempo (b seria igual a kv a dividir pela norma do vector rc-rp, que varia no tempo) a integração que fiz está errada :( .
Bem... só me resta continuar a tentar. Espero que façam o mesmo. Boa sorte!
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Mensagempor Leonardo em Sexta Nov 24, 2006 5:54 pm

Na minha última abordagem ao problema tinha, para o polícia, dx/dt=b(a-x) e dy/dt=b(vt-y). Fico então com dy/dx=(vt-y)/(a-x). Desapareceu-me o b, o que é bom (acho eu...), mas não sei como por o k nas equações, o que é mau (disso tenho a certeza). De qualquer modo, se integrar (e assumindo que integrei bem), obtenho y(x,t)=(x-a+1)vt. Alguém me diz se isto faz algum sentido? O meu raciocínio está correcto nalgum aspecto? Isto ajuda à resolução do problema?
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Mensagempor jap em Sexta Nov 24, 2006 8:56 pm

Leonardo Escreveu:Na minha última abordagem ao problema tinha, para o polícia, dx/dt=b(a-x) e dy/dt=b(vt-y). Fico então com dy/dx=(vt-y)/(a-x). Desapareceu-me o b, o que é bom (acho eu...), mas não sei como por o k nas equações, o que é mau (disso tenho a certeza). De qualquer modo, se integrar (e assumindo que integrei bem), obtenho y(x,t)=(x-a+1)vt. Alguém me diz se isto faz algum sentido? O meu raciocínio está correcto nalgum aspecto? Isto ajuda à resolução do problema?


Bom, já não posso dar mais dicas sem dizer como se resolve o problema...Há (pelo menos) duas vias para fazê-lo: uma muito fácil e elegante :D, mesmo muito fácil :?, outra bem mais difícil, e muito trabalhosa :cry:. Não sei se estarão a ir pela mais simples,... , mas talvez vocês descubram uma terceira via.... :wink:

Vamos a isso, caros olímpicos, ainda têm 24 horas para este desafio!

PS - Se isto vos conforta, este problema, ou variantes, já puseram a cabeça em água a brilhantes físicos e matemáticos, por isso não se sintam 'burros' :P se não encontrarem a solução facilmente... E podem sempre rogar pragas ao Diogo (Real) por ter proposto este problema tão genuinamente, diabolicamente :twisted:, tricky,...
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Mensagempor fnog em Sexta Nov 24, 2006 9:20 pm

Andam perto da solução PARA A TRAJECTÓRIA... :D (Há um método mais fácil se o que pretendermos for apenas determinar k.) Como o João reparou,

\vec{r}_c(t)-\vec{r}_p(t)=\alpha(t)\dot\vec{r}_p(t)

onde o índice c indica contrabandista, o índice p indica a polícia e o pontinho em cima de \vec{r} indica a sua derivada em ordem ao tempo, isto é, a velocidade. \alpha(t) é uma constante de proporcionalidade entre os dois vectores, que varia no tempo, e indica apenas que os vectores posição relativa dos dois barcos e velocidade do barco da polícia são paralelos.

Se transformarem esta relação vectorial numa relação entre as componentes cartesianas dos dois vectores obtêm algo como

\right\{\begin{array}{l}
x_c(t)-x_p(t)=\alpha(t)\dot x_p(t) \\
y_c(t)-y_p(t)=\alpha(t)\dot y_p(t)
\end{array}\right.

É claro que \alpha(t) é uma chatice :( Mas podemos eliminá-lo! Depois basta pensar um pouco nas expressões para x_c(t) e y_c(t) e ver o que dá... É só fazer umas contitas de algibeira, nada de especial para quem anda a aprender álgebra de momento angular :twisted:
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Mensagempor jap em Sexta Nov 24, 2006 9:25 pm

Bom, vá-lá, hoje estou a sentir-me magnânimo 8), mais uma dica - a última!

Se, com esta, não resolverem o problema, podem considerar-se 'nabos' (de excelente qualidade, é claro :lol: ).

Aqui vai a dica:

http://www.youtube.com/watch?v=hoTXvsLopDE

Bons cálculos! :lol:
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Mensagempor Real em Sábado Nov 25, 2006 2:57 am

Hmmm... Essa última dica... Não percebi :P

Bem acontece que estive a fazer umas contas...
Aqui vai o desenho do costume mais uma vez:

Imagem

Como quem não quer a coisa, peguei na expressão calculada (ver post anterior) para a velocidade tangencial:
\dot{r}=v\cos\theta-kv

Ora, o \cos\theta está ali a chatear, então pegamos em \dot{y}=kv\cos\theta e substituímos:

\dot{r}=\frac{\dot{y}}{k}-kv

Bem, faltam aplicar as condições fronteira! Então, integram-se ambos os membros desde a posição inicial até a posição final!! Vem:

-a=\frac{a}{k} -ka

É fácil de ver que agora k=\phi

Puramente tricky! :shock:
Estupidamente trivial e demorei anos a chegar lá! :?

Quanto à trajectória, consegui algumas coisas... (I suppose) :?

Usando a proposta do Prof. Nogueira vem naturalmente:

\frac{x\dot{y}}{\dot{x}}=vt-y

Que é equivalente a:

y=vt-v\frac{\int{x}dt}{x}
(usar integração por partes e tal)

Usando \dot{x}^2+\dot{y}^2=k^2v^2 vem \dot{x}[1+(\frac{v\int{x}dt}{x^2})^2}}]^{1/2}=kv

Ora bem, alguém tem uma ideia do que por ali no x? :P
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Mensagempor Nuno_Monteiro em Sábado Nov 25, 2006 8:55 am

Diogo,
Podes explicar melhor a parte em que dizes:
"faltam aplicar as condições fronteira! Então, integram-se ambos os membros desde a posição inicial até a posição final!!"
Porque não estou a perceber o salto lógico que fazes.

Porque, aproveitanto das palavras do professor sou um "nabo"(de excelente qualidade) ou de tanto já ter pensado neste tricky já não consigo ver nada.
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Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 12:57 pm

jap Escreveu:
Real Escreveu:(...)
Como quem não quer a coisa, peguei na expressão calculada (ver post anterior) para a velocidade tangencial:
\dot{r}=v\cos\theta-kv

Ora, o \cos\theta está ali a chatear, então pegamos em \dot{y}=kv\cos\theta e substituímos:

\dot{r}=\frac{\dot{y}}{k}-kv

Bem, faltam aplicar as condições fronteira! Então, integram-se ambos os membros desde a posição inicial até a posição final!! Vem:

-a=\frac{a}{k} -ka

É fácil de ver que agora k=\phi

Puramente tricky! :shock:
Estupidamente trivial e demorei anos a chegar lá! :?

(...)




Parabéns, Diogo! :D

É isso mesmo! Na minha notação, seria \sin\alpha em vez de \cos \theta, mas o meu \alpha e o teu \theta são ângulos complementares :
Imagem
Como vês, do ponto de vista do polícia (para este, só lhe interessa o encurtamento da distância ao barco do contrabandista, ou seja, \dot r!) o problema até é trivial, como eu dizia. :P
Agora ainda está em aberto o problema da trajectória...:?

Mais logo (22h00) haverá mais novidades sobre este problema.
E sabem quem o inventou?

Não...não foi o Newton.

Foi o Leonardo (da Vinci)! :shock:

E já agora: qual é a relação deste problema com o video clip do Numb3rs? :roll:

Quem descobre a relação?
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Mensagempor Real em Sábado Nov 25, 2006 3:45 pm

Nuno:

Não sei quais são os teus conhecimentos sobre integração, mas essencialmente integrar implica calcular a anti-derivada. Por exemplo, a anti-derivada de 2x é simplesmente x^2, porque (x^2)' é 2x.
Portanto, se integrares a velocidade aparece-te o deslocamento. Certo?
Da mesma forma que podes derivar ambos os membros de uma equação, também podes integrar. Acontece que o integral que estou a usar é o integral definido. Então tenho de integrar entre uma posição inicial (ambos os barcos na praia) e uma posição final (barcos juntos).
Então:

\int{\dot{r}}dt=r_f - r_i = 0 - a
\int{\dot{y}}dt=y_f - y_i = a - 0
\int{\dot{v}}dt=v_f - v_i = a - 0

Notar que \dot{r} é a velocidade de aproximação dos barcos e \dot{y} é a componente em y da velocidade do barco do polícia.

No caso em que o barco da polícia so apanha o contrabandista a uma distância \beta a da costa, então os dois últimos integrais são iguais a \beta a. Substitituindo na equação do outro post, vem o k generalizado:

\beta k^2 - k - \beta = 0 \Rightarrow k=\frac{1+\sqrt{1+4\beta^2}}{2\beta}

Espero que tenha sido claro... Às vezes não me explico bem, por isso se ainda ficaste da dúvida não exites em fazer perguntas!! :D
última vez editado por Real s Sábado Nov 25, 2006 4:13 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor Nuno_Monteiro em Sábado Nov 25, 2006 3:59 pm

Obrigado pelo esclarecimento da minha dúvida

Na verdade os meus conhecimentos de integração são muito limitados, tal como de derivação.

Agora já percebi os cálculos que fizeste :lol:
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