Problema do Contrabandista

por **jap** em Sábado Nov 25, 2006 7:24 pm

Bom, vou postar a minha resolução do problema do contrabandista que é igual à do Diogo, só que explico mais devagarinho cada passo e vou tentar explicar em que consiste, afinal, a integração de ambos os membros da equação que é o passo que os caloiros terão mais dificuldade em perceber. Mas, repito, é exactamente o mesmo raciocínio do Diogo, pelo que não há aqui qualquer novidade!

Aqui vai o que tinha preparado para postar na quarta-feira passada:

Ora vamos pôr-nos na pele do polícia, a perseguir furiosamente o bandido, apontando sempre a proa do barco na direcção do barco fugitivo! Atentem na figura seguinte:

Imagem

Para a polícia, o que é verdadeiramente relevante é a velocidade relativa de aproximação entre o barco da polício e o fugitivo. Se projectarmos esta velocidade na direcção da perseguição definida, em cada instante, pela linha recta que une o barco da polícia e do contrabandista, obtemos, para esta projecção

$kv-v\sin\alpha$ ,

onde $\alpha$ é o ângulo que esta direcção faz com o eixo

, num dado instante. Ora num pequeno intervalo de tempo $\Delta t$ esta velocidade relativa produz uma encurtamento na distância

entre os dois barcos de $\Delta d$ dada pela expressão (defino o encurtamento como número positivo!)

$\Delta d = vk\Delta t - v\sin\alpha \Delta t.$

Mas por outro lado, da figura conclui-se que

$\sin \alpha = \frac{\Delta y}{kv\Delta t}$ .

Eliminando $\sin\alpha$ destas duas equações, obtemos

$\Delta d = kv\Delta t - \frac{\Delta y}{k}$ ,

ou ainda, multiplicando por

,

$k\Delta d = k^2v\Delta t -\Delta y$ .

Isto é válido para qualquer pequeno instante de tempo $\Delta t$ . Mas se dividirmos a viagem, desde o início da perseguição, até ao instante da captura, em pequenos intervalos $\Delta t$ e somarmos os pequenos encurtamentos correspondentes $\Delta t$ o que obtemos? No final, a soma de todos os encurtamentos é igual a

ao fim de um tempo t_p

que é o tempo que dura a perseguição, ou seja a soma de todos os $\Delta t$ . Por outro lado,

vt_p = a

.

Então, concluimos que

ka= k^2vt_p-a = k^2 a-a

ou ainda

,

ou

,

Resolvendo a equação quadrática, obtemos a solução (com significado físico):

$k = \frac{1+\sqrt 5}{2} =1.618....$

É claro que esta resolução evita o problema do cálculo da trajectória do barco do polícia...que é um desafio que dá alguma luta!
Alguns progressos?

:lol:

por **jap** em Sábado Nov 25, 2006 10:07 pm

Bom, e enquanto esperamos pelo post do fernando com a sua magnífica, fascinante e horrível :twisted:

solução analítica para a curva do problema do contrabandista, aqui vão mais algumas informações interessantes sobre este problema.

O problema do contrabandista foi formulado pela primeira vez por Leonardo da Vince, na forma do problema "gato que persegue o rato".
Este problema foi retomado e generalizado para ratos (contrabandistas) que fogem naão apenas em linha recta mas segundo curvas generalizadas...
Entre os matemáticos que se dedicaram a este problema do contrabandista generalizado estão Pierre Bouguer, Francês, e o inglês Boole, o pai da lógica matemática.
A dica do vídeo do NUMB3RS tem a ver com o facto deste problema ser mencionado no episódio "Dark Matter" desta série... :shock:

O matemático-génio Charlie vai utilizar a matemática das "pursuit curves" para apanhar o "verdadeiro" bandido do episódio.

E bastava googelar numb3rs + dark matter + curve, por exemplo, para terem obtido a resposta ao problema...bom fazendo um pouco batota, é claro :wink:

Incrível, né? :lol:

por **Zé Teixeira** em Sábado Nov 25, 2006 10:11 pm

Ah, então o professor também vê Numb3rs

Ainda só vi os primeiros 4 episódios, mas já é das minhas séries preferidas. Gosto das inúmeras referências a problemas e conceitos matemáticos e físicos que fazem na série, é raríssimo ver-se disso em séries e filmes.

por **manuelmarque** em Sábado Nov 25, 2006 10:47 pm

Zé Teixeira Escreveu:Ah, então o professor também vê Numb3rs Ainda só vi os primeiros 4 episódios, mas já é das minhas séries preferidas. Gosto das inúmeras referências a problemas e conceitos matemáticos e físicos que fazem na série, é raríssimo ver-se disso em séries e filmes.

A minha profª de Matemática falou-me dessa série, ainda ela não tinha estreado em Portugal

. Como estava curioso, obtive os dois primeiros episódios por meios que prefiro não revelar

, e por acaso gostei. Quando começou a dar, na TVI, percebi imediatamente que não poderia ver, porque:

a) a TVI é um canal sencionalista, e por tal, tudo o que seja interessante passa fora do horário nobre - o Numb3rs dá muito depois da meia-noite, e eu tenho aulas de manhã cedo no dia a seguir;
b) não vejo a TVI por uma questão de princípio - podem dar imensas séries interessantes (fora do horário nobre) mas enquanto não tirarem aquele tele-lixo, nunca vou contribuir para as audiências "daquilo"!

Peço desculpa por ter divergido tanto, e ter sido tão longo, mas quando me falam destas coisas... eu não me calo :lol:

por **jap** em Sábado Nov 25, 2006 11:59 pm

manuelmarque Escreveu:
Zé Teixeira Escreveu:(...)
Quando começou a dar, na TVI, percebi imediatamente que não poderia ver, porque:

a) a TVI é um canal sencionalista, e por tal, tudo o que seja interessante passa fora do horário nobre - o Numb3rs dá muito depois da meia-noite, e eu tenho aulas de manhã cedo no dia a seguir;
b) não vejo a TVI por uma questão de princípio - podem dar imensas séries interessantes (fora do horário nobre) mas enquanto não tirarem aquele tele-lixo, nunca vou contribuir para as audiências "daquilo"!

Peço desculpa por ter divergido tanto, e ter sido tão longo, mas quando me falam destas coisas... eu não me calo

Vejo que és um homem de princípios :wink:

Boa!

por **vbmaster** em Domingo Nov 26, 2006 12:06 am

manuelmarque Escreveu:
Zé Teixeira Escreveu:Ah, então o professor também vê Numb3rs Ainda só vi os primeiros 4 episódios, mas já é das minhas séries preferidas. Gosto das inúmeras referências a problemas e conceitos matemáticos e físicos que fazem na série, é raríssimo ver-se disso em séries e filmes.

A minha profª de Matemática falou-me dessa série, ainda ela não tinha estreado em Portugal . Como estava curioso, obtive os dois primeiros episódios por meios que prefiro não revelar , e por acaso gostei. Quando começou a dar, na TVI, percebi imediatamente que não poderia ver, porque:

a) a TVI é um canal sencionalista, e por tal, tudo o que seja interessante passa fora do horário nobre - o Numb3rs dá muito depois da meia-noite, e eu tenho aulas de manhã cedo no dia a seguir;
b) não vejo a TVI por uma questão de princípio - podem dar imensas séries interessantes (fora do horário nobre) mas enquanto não tirarem aquele tele-lixo, nunca vou contribuir para as audiências "daquilo"!

Peço desculpa por ter divergido tanto, e ter sido tão longo, mas quando me falam destas coisas... eu não me calo

Oh homê, e a net serve para quê?!

andei aqui a pesquisar, e ui... já vai na terceira série..... mas na net tudo se arranja...

por **fnog** em Domingo Nov 26, 2006 1:04 am

Como prometi, aqui vai a solução do problema da trajectória do barco do contrabandista:

Se o barco da polícia `aponta' sempre para o barco do contrabandista, então o vector velocidade do barco da polícia é paralelo ao vector posição relativa dos dois barcos. Consideremos um sistema de eixos em que o eixo dos

é paralelo à costa e o semi-eixo positivo dos

é paralelo ao vector velocidade do barco do contrabandista. Se a posição deste barco for dada neste sistema de eixos por x_1(t)

e

então:

$\left\{\begin{array}{l} x_1(t)=0 \\ y_1(t)=vt\,. \end{array}\right.$

Para o barco da polícia sabemos apenas que x_2(0)=a

,

e que

$\left\{\begin{array}{l} \dot x_2(t)=\alpha(t)\left(x_1(t)-x_2(t)\right) \\ \dot y_2(t)=\alpha(t)\left(y_1(t)-y_2(t)\right)\,. \end{array}\right.$

(Nota: $\dot x=\frac{dx}{dt}$ .) Estas condições exprimem apenas o que foi dito acima: o vector velocidade do barco da polícia é, em cada instante, paralelo ao vector posição relativa dos dois barcos. A função $\alpha(t)$ é apenas o quociente da norma destes dois vectores, isto é,

$\alpha(t)=\frac{kv}{d(t)}$

em que $d(t)=\sqrt{x_2(t)^2+\left(vt-y_2(t)\right)^2}$ é a distância entre os dois barcos. Juntando tudo e aproveitando o factor $\alpha(t)$ comum às duas equações, vem

$\frac{\dot x_2(t)}{-x_2(t)}=\frac{\dot y_2(t)}{vt-y_2(t)}$

ou

$\dot x_2(t)\left(vt-y_2(t)\right)+x_2(t)\dot y_2(t)=0\,.$

Como kvt

é o comprimento do arco percorrido pelo barco da polícia temos (desculpem a falta de `rigor matemático' mas assim é mais fácil de perceber por quem ainda não fez Análise Matemática...)

$kvt=s=\sum \Delta s=\int \sqrt{(dx_2)^2+(dy_2)^2}=\int\sqrt{1+\left(\frac{dy_2}{dx_2}\right)^2}dx_2$

o que permite, após divisão da penúltima equação por $\dot x_2(t)$ , ficar com a seguinte equação:

$\frac{1}{k}\int\sqrt{1+\left(\frac{dy_2}{dx_2}\right)^2}dx_2-y_2+x_2\frac{\dot y_2}{\dot x_2}=0\,.$

Notem que deixei de escrever x_2(t)

visto que eliminei a dependência explícita em

na equação. Bem, quase eliminei: falta `tratar' de $\dot x_2$ e $\dot y_2$ (que, sendo derivadas em ordem ao tempo, contêm explicitamente

). Mas é fácil:

$\frac{\dot y_2(t)}{\dot x_2(t)}=\frac{\frac{dy_2}{dt}}{\frac{dx_2}{dt}}=\frac{dy_2}{dx_2}\,.$

Finalmente obtemos uma equação simpática:

$\int\sqrt{1+\left(\frac{dy_2}{dx_2}\right)^2}dx_2-ky_2+kx_2\frac{dy_2}{dx_2}=0\,.$

Para esta equação ficar ainda mais simpática, vamos derivá-la em ordem a x_2

(e `deixar cair' o índice 2):

$\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}+kx\frac{d^2y}{dx^2}=0\,.$

Esta equação diferencial resolve-se facilmente :wink:

, e obtém-se:

$y(x)=A-\frac{k x \left(\cosh \left(B-\frac{\log (x)}{k}\right)+k \sinh \left(B-\frac{\log (x)}{k}\right)\right)}{k^2-1}\,,$

onde

e

são duas constantes cujo valor é determinado pelas condições iniciais do problema.
Estas condições são apenas:

$\left\{\begin{array}{l} y(a)=0 \\ \left.\frac{dy(x)}{dx}\right|_{x=a}=0\,. \end{array}\right.$

Atenção: $\frac{dy(x)}{dx}$ é o declive da tangente à trajectória, não tem nada a ver com a velocidade do barco da polícia! Impondo estas condições obtemos finalmente a trajectória do barco da polícia:

$y(x)=\frac{k \left(a-x \left(\cosh \left(\frac{\log (a)-\log (x)}{k}\right)+k \sinh \left(\frac{\log (a)-\log (x)}{k}\right)\right)\right)}{k^2-1}\,.$

Com a equação da trajectória, é trivial determinar o ponto onde o barco da polícia intercepta o do contrabandista: basta determinar a intersecção das duas trajectórias, isto é, basta calcular
y(0)

e resolver a equação y(0)=a

. Obviamente,

$y(0)=\frac{ka}{k^2-1}\,,$

logo

$y(0)=a\ \Leftrightarrow k^2-k-1=0\ \ (k\neq\pm 1)\ \Leftrightarrow k=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\,.$

É claro que escolhemos a solução positiva que é, para grande surpresa, k=1.6180339887498948482

!

Reparem que parece haver um problema para $k=\pm 1$ , com a equação da trajectória a divergir. Mas não há! Calculem o limite quando $k\rightarrow\infty$ e aproveitem para determinar o ponto onde a polícia `apanha' o contrabandista se k=1

(o resultado é bastante previsível...)

por **jap** em Domingo Nov 26, 2006 1:33 am

Bom, quando recuperarem do choque :shock:

desta solução analítica que deve ter causado uma convulsão nos vossos cérebros, deiam uma vista de olhos a algumas simulações que estão em

http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html

As contas que eles indicam são parecidas às do fernando, mas o problema não é bem igual ao nosso porque no primeiro exemplo que eles mostram, assumem a velocidade dos barcos igual, e o polícia parte de um sítio arbitrário...O contrabandista anda em linha recta, como no nosso problema.

No fim da página há simulações para casos em que o contrabandista anda à roda e o polícia atrás dele! :lol:

por **Real** em Domingo Nov 26, 2006 7:00 pm

Caramba!
De facto, o adjectivo "horrível" é bastante apropriado :shock:

Já agora, como é que o "da Vinci" resolveu o problema? De certeza que não sabia integrar!!

por **manuelmarque** em Domingo Nov 26, 2006 7:10 pm

Real Escreveu:Caramba!
De facto, o adjectivo "horrível" é bastante apropriado

Já agora, como é que o "da Vinci" resolveu o problema? De certeza que não sabia integrar!!

Outch!

Concordo. É muita areia para a minha camioneta (ainda não compreendi todos os cálculos

)

por **jmgb** em Segunda Nov 27, 2006 1:11 am

Manuel, não fiques preocupado com isso!

Tens muito tempo ainda para aprender...

Adorei ler as páginas da Wolfram sobre o "Pursuit problem". As imagens animadas estão fantásticas.... A dedução do Prof. Nogueira está verdadeiramente diabólica... Mas pronto, faz parte!

E antes que me esqueça, há que dar os parabéns ao Diogo, que resolveu o problema!

FCUP 1 - IST 0 (se vir que a contagem começa a ficar demasiado desnivelada faz-se reset ao jogo, que é o que faço sempre que começo a perder um jogo na Playstation) :lol:

Abraço.

por **jap** em Segunda Nov 27, 2006 1:19 pm

Real Escreveu:Caramba!
De facto, o adjectivo "horrível" é bastante apropriado

Já agora, como é que o "da Vinci" resolveu o problema? De certeza que não sabia integrar!!

Prometo mais novidade sobre "pursuit problems" para breve.

Estou de momento em França, no sincrotrão europeu, ESRF, e não tenho muito disponibilidade para postar :cry:

, pelo que estou em "serviço mínimo".

Na quarta-feira recomeçarei a actividade normal... :wink:

por **jap** em Terça Nov 28, 2006 1:36 pm

Real Escreveu:Caramba!
De facto, o adjectivo "horrível" é bastante apropriado

Já agora, como é que o "da Vinci" resolveu o problema? De certeza que não sabia integrar!!

Pois não, mas o da Vinci apenas provou que $k = \phi$ , como tu fizeste,- bom, acho que ele era obcecado pelo número de ouro, o que deve ter ajudado

. O homem não deduziu a forma da trajectória...Mesmo assim é notável! :wink:

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