O mais longo

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor jap em Quinta Mar 08, 2007 8:27 pm

Bom aqui está o meu programa de uma linha (duas contando com a importação do módulo de funções matemáticas, para poder usar o sino e o coseno) :D


Código: Seleccionar Todos
from math import *

print "Max angle is",(180/pi)*apply(lambda a,f: a[map(f,a).index(max(map(f,a)))],[[n*(pi/2)/180 for n in range(180+1)],lambda theta,v=17.0,ntimes=1000: 2*(v*sin(theta)/9.8)/ntimes*reduce(lambda x,y: x+y, map(lambda t: sqrt((v*cos(theta))**2+(v*sin(theta)-9.8*t)**2),[n*2*(v*sin(theta)/9.8)/ntimes for n in range(ntimes+1)]))])


No statements: só funções e expressões! :mock:

E garanto-te que funciona:

Código: Seleccionar Todos
> python longo.py
Max angle is 56.5


Eh, eh!

:wink:
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Mensagempor jap em Quarta Mar 14, 2007 10:04 pm

Algum candidato a encontrar a solução para este problema, analiticamente?

Tarefa para os antigos olímpicos? :P
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Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Mar 15, 2007 1:15 am

Hm, tenho uma ideia que acho que funciona. Assim que puder, posto aqui a resolução.
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Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Jan 03, 2008 6:47 pm

Decidi revisitar este problema. Estou a fazer um programa para calcular numericamente o ângulo óptimo, mas gostava de resolver o problema analiticamente, também. Há solução analítica (conhecida)?
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Mensagempor hexphreak em Quinta Jan 03, 2008 7:34 pm

Eu comecei pela expressão para o comprimento de qualquer curva, calculei os limites, fui procurar o integral adequado e fiz os cálculos. Só que agora, se derivo isto para encontrar o máximo, ainda me dá uma coisinha má :lol: Há algum truque para simplificar ou se há o Prof. ainda não o descobriu? :roll:
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Mensagempor hexphreak em Quinta Jan 03, 2008 9:14 pm

Decidi experimentar um método sem a complicação do Cálculo: obter o comprimento máximo da trajectória equivale a maximizar a distância entre o ponto inicial da trajectória e o seu ponto mais elevado, devido à simetria da parábola. Sabemos que este ponto, chamemos-lhe M, tem de coordenadas (\frac{v^2}{2g}\sin{2\theta}, \frac{v^2}{2g}\sin^2{\theta}) (considerando o ponto de lançamento como a origem). Determinando a distância entre os dois pontos e tirando a derivada obtive \theta \approx 54.7º :? Será a pequena diferença apenas coincidência? Ou ter-me-ei enganado nos cálculos algures? :roll:
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Mensagempor jap em Quinta Jan 03, 2008 10:03 pm

hexphreak Escreveu:Decidi experimentar um método sem a complicação do Cálculo: obter o comprimento máximo da trajectória equivale a maximizar a distância entre o ponto inicial da trajectória e o seu ponto mais elevado, devido à simetria da parábola. (...)

Não me parece que seja equivalente... :roll:
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Mensagempor hexphreak em Quinta Jan 03, 2008 10:19 pm

Humm, não estou a ver porquê, mas se o Prof. o diz... :? Está ao menos perto de ser equivalente? :wink:
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Mensagempor jap em Quinta Jan 03, 2008 10:25 pm

hexphreak Escreveu:Humm, não estou a ver porquê, mas se o Prof. o diz... :? Está ao menos perto de ser equivalente? :wink:


Os teus cálculos (se estiverem correctos, não verifiquei) parecem indicar que os ângulos que maximizam o comprimento da parábola e a distância da origem ao vértice são próximos, mas não são o mesmo ângulo...Intuitivamente também me parece que os ângulos serão próximos, mas não idênticos...
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Mensagempor hexphreak em Quinta Jan 03, 2008 10:28 pm

Pois realmente não são, mas o ângulo \theta a que me referi foi o ângulo de lançamento, e não a inclinação da recta AM. Há-de haver um erro algures, porque a discrepância é demasiada para ser atribuída à calculadora, mas não creio que seja aí :roll:
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Mensagempor jap em Sexta Jan 04, 2008 12:02 am

E sim, há solução "quase" analítica para este problema-obtem-se a expressão do ângulo em termos de uma equação não linear que tem de ser recolvida numericamente, por exemplo, pelo método da bissecção ou, quiçás usando o IPF, mas dá algum trabalho chegar até lá! :wink:
última vez editado por jap s Sexta Jan 04, 2008 12:12 am, editado 1 vez no total
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Mensagempor hexphreak em Sexta Jan 04, 2008 12:07 am

Será a expressão este magnífico tapete? :lol:

\frac{\sin{2\theta}}{2g^2}\sqrt{g^2+4\sin^2 \theta}+\frac{\cos \theta}{2}\ln{\frac{2\sin \theta + \sqrt{g^2 + 4\sin^2 \theta}}{g}}

É praticamente impossível não ter feito um erro qualquer nas contas, mas já é tarde (primeiro dia de aulas!) e duvido que o vá encontrar agora... :roll:
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Mensagempor jap em Sexta Jan 04, 2008 12:11 am

A equação final que nos permite obter o ângulo que maximiza o comprimento da parábola é:

1 = \sin\theta\ln\left(\frac{1+\sin\theta}{\cos \theta}\right)


Ora experimentem lá resovê-la numericamente para confirmar que \theta \sim 56,5^\circ! :D

A expressão não é um "tapete" tão comprido quanto o teu, mas também tem um logaritmo! :lol:
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Mensagempor Zé Teixeira em Sexta Jan 04, 2008 1:31 am

Eu simplesmente integrei o módulo da velocidade em ordem ao tempo, o que dá um integral de uma raiz quadrada pouco simpática. Resolvi o integral numericamente e deu-me o resultado certo.
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Mensagempor Zé Teixeira em Sexta Jan 04, 2008 1:35 am

Ah, calculei esse integral para vários valores de \theta entre 0 e \frac{\pi}{2} (de .01 rad em .01 rad) e achei o maior valor que o integral toma, que corresponde ao tal ângulo de quase 1 rad.
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