Mosquitos na selva

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Re: Mosquitos na selva

Mensagempor tomegouveia em Segunda Jan 17, 2011 8:23 pm

Estive aqui a pesquisar nas minhas notas da universidade de verão e deparei-me com alguns aspectos que talvez possam ser úteis para a resolução deste problema mas antes, uma primeira tentativa:

------>Se
hexphreak Escreveu:Nenhum mosquito foi maltratado na produção deste problema
então a taxa de electrocussão é 0 mosquitos/segundo, dado que considero ser electrocutado como ser maltratado... :XD

No que diz respeito à difusão, acho que sou capaz de ter arranjado algumas respostas.
hexphreak Escreveu:A selva está cheia de mosquitos, de tal forma a que, longe da esfera, a sua densidade é \eta_\infty

--\eta_\infty significa densidade infinita certo?
hexphreak Escreveu:Quando um mosquito se aproxima muito da esfera, é imediatamente electrocutado.


Podemos então concluir que, sendo x a distância à qual se encontra um mosquito da esfera e n(x) a densidade de mosquitos a essa distância, \exists \!\,r\in \!\,\mathbb{R} \!\,:n(x<r)=0, assim como \exists \!\,R\in \!\,\mathbb{R} \!\,:n(x>R)=\infty
A corrente de difusão de mosquitos j, se assim se pode chamar, pode ser definida como a quantidade de mosquitos que atravessa a superfície esférica de raio r por unidade de tempo, ou seja, é a taxa de electrocussão de mosquitos. Este valor pode ser calculado através da expressão j=nv, em que n é a densidade de mosquitos e v é a velocidade média dos mosquitos. Admitindo que todos os mosquitos têm a mesma velocidade média v=a(ms^-1), só os que estão no o espaço entre uma esfera com raio R e outra com raio R+a é que podem ser electrocutados. Assim, j vem como j=n(R<x<R+a)\times \!\,a. Isto dar-nos-á o número de mosquitos mortos por unidade de tempo, só é preciso saber a velocidade dos mosquitos e a densidade naquele intervalo, valores esses que não faço ideia como encontrar...
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor hexphreak em Segunda Jan 17, 2011 8:43 pm

tomegouveia Escreveu:--\eta_\infty significa densidade infinita certo?

Não, até porque isso não faz grande sentido. \eta_\infty quer dizer \displaystyle \lim_{r\to\infty} \eta(r) = \eta_\infty.

tomegouveia Escreveu:Podemos então concluir que, sendo x a distância à qual se encontra um mosquito da esfera e n(x) a densidade de mosquitos a essa distância, \exists \!\,r\in \!\,\mathbb{R} \!\,:n(x<r)=0 (...)

Isto, como eu já tinha dito ao Ricardo, é simplesmente \eta(r \le R) = 0.

tomegouveia Escreveu:A corrente de difusão de mosquitos j, se assim se pode chamar, pode ser definida como a quantidade de mosquitos que atravessa a superfície esférica de raio r por unidade de tempo, ou seja, é a taxa de electrocussão de mosquitos.

Isso só é verdade para j(R), não para r arbitrário...

tomegouveia Escreveu:só é preciso saber a velocidade dos mosquitos e a densidade naquele intervalo, valores esses que não faço ideia como encontrar...

A densidade é, de certa forma, parte do problema. A velocidade média dos mosquitos podes tratar como se fosse dada (embora talvez não seja a constante que te dá mais jeito).

Continua a tentar; a ideia da corrente é excelente, e já percebeste como relacionar a taxa de electrocussão com isso :D
Algum veterano que reconheça nisto um problema de EM quer dar uma ajuda ao Tomé? :wink:
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor tomegouveia em Segunda Jan 17, 2011 9:23 pm

;) obrigado.

Por \eta entende-se o quê exactamente? A densidade? Não percebi muito bem o que significa \displaystyle \lim_{r\to\infty} \eta(r) = \eta_\infty....
\eta(r \le R) = 0 r nunca pode ser menor do que R, o raio da esfera, porque nunca um mosquito pode estar dentro da esfera. Não faz mais sentido criar uma zona após a superfície da esfera em que não há mosquitos?
Quanto ao j, era a j(r) que eu me queria referir, a corrente de difusão através de uma superfície esférica de raio r>R.
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor hexphreak em Segunda Jan 17, 2011 9:29 pm

tomegouveia Escreveu:Por \eta entende-se o quê exactamente? A densidade? Não percebi muito bem o que significa \displaystyle \lim_{r\to\infty} \eta(r) = \eta_\infty....
\eta(r \le R) = 0 r nunca pode ser menor do que R, o raio da esfera, porque nunca um mosquito pode estar dentro da esfera. Não faz mais sentido criar uma zona após a superfície da esfera em que não há mosquitos?

Sim, \eta é a densidade. \eta_\infty é simplesmente a densidade quando estás muito longe da esfera. Podia-lhe chamar \eta_0 ou N ou \eta_\mathrm{q\bar q}, é só um nome.

E sim, um mosquito não pode entrar na esfera porque é electrocutado na fronteira. Mas também não há nenhuma zona ao redor da esfera na qual não haja mosquitos, uma vez que eles só são electrocutados na esfera e não para r > R. Escrever \eta(r \le R) = 0 é só um artifício matemático para ter condições fronteira bem definidas; vê o que eu disse anteriormente ao Ricardo.
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor tomegouveia em Segunda Jan 17, 2011 9:48 pm

A minha confusão reside no facto de estar habituado a designar densidade pelo ró e o eta serve para rendimentos... Mas percebi.
O que dizes é "quando um mosquito se aproxima muito da esfera". Isso dá a entender que eles são electrocutados antes de chegarem a tocar na esfera.


PS: Cool, não sei há quanto tempo isto aconteceu, mas sou um bottom quark!! :D :hands:
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor tomegouveia em Terça Jan 18, 2011 10:42 pm

Tenho algumas perguntas:
Afinal, um mosquito morre quando se aproxima a uma distância r da superfície da esfera OU quando toca na esfera?
A que temperatura consideramos que está o ar da selva?
Qual o raio médio de cada mosquito?

Sei que são perguntas esquisitas, especialmente a última, mas eu depois explico.
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor hexphreak em Terça Jan 18, 2011 10:45 pm

tomegouveia Escreveu:Tenho algumas perguntas:
Afinal, um mosquito morre quando se aproxima a uma distância r da superfície da esfera OU quando toca na esfera?
A que temperatura consideramos que está o ar da selva?
Qual o raio médio de cada mosquito?

Quando toca na esfera. A temperatura é irrelevante, são mosquitos idealizados e a temperatura não os afecta :P Se queres descobrir a velocidade média deles, podes tratar isso como uma constante dada como eu já disse. Como mosquitos idealizados, não têm raio (são pontuais).
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor tomegouveia em Terça Jan 18, 2011 10:57 pm

Pergunto a temperatura não para saber se eles se encontram alterados mas sim para poder calcular a constante de difusão D=\displaystyle\frac{RT}{6\pi\eta  a^2L}, em que
R é a constante dos gases ideais
T a temperatura absoluta
\eta a viscosidade do fluido
a o raio de cada mosquito
L o número de Avogadro.

Esta fórmula foi-me dada pelo meu professor na universidade de verão.
Pensei que, tendo D poderia desenvolver um programa em python que me desse a corrente de difusão j de que falei...
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor Simbelmyne em Terça Jan 18, 2011 11:15 pm

isso está bem? não te faltam raízes quadradas e massas? :?
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor tomegouveia em Terça Jan 18, 2011 11:22 pm

foi o que o meu prof me deu... :S Chamou-lhe a Relação de Einstein :S
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor hexphreak em Quarta Jan 19, 2011 8:40 am

tomegouveia Escreveu:Pergunto a temperatura não para saber se eles se encontram alterados mas sim para poder calcular a constante de difusão D=\displaystyle\frac{RT}{6\pi\eta  a^2L}, em que
R é a constante dos gases ideais
T a temperatura absoluta
\eta a viscosidade do fluido
a o raio de cada mosquito
L o número de Avogadro.

Isso funciona perfeitamente para gases, e podes definir a "temperatura" do "gás" de mosquitos, mas não é a temperatura do ar! :lol: Não te preocupes em calcular a constante de difusão, podes assumir que é um dado do problema neste caso e depois podemos ver o que é que se adequa mais :wink:

Podes escrever uma simulação para o problema, mas estava à espera de uma resposta analítica :roll: Se chegares a um par de equações (uma das quais é a difusão, por isso estás no bom caminho), põe aqui e eu ou outra pessoa damos-te uma ajuda a completar...

P.S.: Já agora, não é apenas a (e não a^2) em denominador? :roll:
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor tomegouveia em Quarta Jan 19, 2011 2:38 pm

Quanto à fórmula, já a verifiquei. É mesmo assim.

Ando a dar voltas e voltas à cabeça para ver se consigo resolver isto. É assim como que uma missao pessoal :XD
Talvez não tenha ainda conhecimentos suficientes...
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor hexphreak em Quarta Jan 19, 2011 6:01 pm

tomegouveia Escreveu:Quanto à fórmula, já a verifiquei. É mesmo assim.

Ando a dar voltas e voltas à cabeça para ver se consigo resolver isto. É assim como que uma missao pessoal :XD
Talvez não tenha ainda conhecimentos suficientes...

Talvez não tenhas conhecimentos suficientes para dar o último passo ou dois, mas parece-me que tiveste muito boa intuição para chegar até estes dois pontos: definir uma corrente de mosquitos, \mathbf{j}(r), à qual está associada uma lei de difusão com constante D. O próximo passo será então definir esta lei de difusão. Pelo que disseste sobre a relação de Einstein, parece-me que já terás ouvido falar nas leis de Fick...

Senão, não te preocupes (podes simplesmente não lhes ter chamado isso). Põe aqui a lei de difusão que conheces e então fazemos um ponto de situação :wink:
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor tomegouveia em Quarta Jan 19, 2011 8:28 pm

Eu sei de duas possibilidades para calcular j(r): Ou a Lei de Fick j(r)=-D\displaystyle\frac{d\eta}{dr} ou j(r)=\eta(r)\cdot v.
Não tentei com a primeira porque não consigo definir o gradiente de densidade \displaystyle\frac{d\eta}{dr}. Só consigo definir \lim_{r\rightarrow+\infty} \eta(r)=+\infty e \lim_{r\rightarrow0} \eta(r)=0. Não consigo sequer pensar numa expressão que defina \eta(r)... Tudo em que penso me soa impossível de determinar.
Para a segunda expressão não sei a expressão de \eta(r) e não sei a v de cada um deles...
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Re: Mosquitos na selva

Mensagempor hexphreak em Quarta Jan 19, 2011 10:15 pm

A lei de Fick serve perfeitamente :wink: Mas é preciso algum cuidado: a corrente como tu a definiste (número de mosquitos por unidade de tempo que atravessa uma superfície esférica de raio r) não é a corrente que aparece na lei de Fick. Esta é o número de mosquitos que atravessa uma dada área, por unidade de área por unidade de tempo. Mais um detalhe: esta não é uma grandeza escalar, mas sim vectorial, com a direcção e sentido da velocidade dos mosquitos naquele ponto.

Ou seja, se definirmos \mathbf{J}(r) dessa forma, e considerarmos uma pequena superfície plana de área \text{d}A, cujo versor normal é \mathbf{\hat n}, o número de mosquitos que atravessa esta área por unidade de tempo é \mathbf{J}(r) \cdot \mathbf{\hat n}\,\text{d}A (vê a figura). Se custar a perceber, pensa um bocadinho com exemplos simples. Se não estás habituado a Cálculo Vectorial, isto pode ser um pouco difícil de entrar à primeira...

dA.png
dA.png (3.67 KiB) Visualizado 3687 vezes

Se já percebeste este conceito, podemos fazer o teu ponto de situação:

  • Tens uma corrente de mosquitos, \mathbf{J}(r) (só depende de r devido à simetria esférica do problema);
  • Tens uma lei de difusão, a lei de Fick: \displaystyle \mathbf{J}(r) = -D {\text{d}\eta(r) \over \text{d}r} \mathbf{\hat r} (\mathbf{\hat r} é o versor da direcção radial);
  • Sabes um detalhe crucial, a que podemos chamar conservação de mosquitos: se considerares um volume V qualquer que não inclua a esfera, o número de mosquitos que sai menos o número de mosquitos que entra, em qualquer instante, deve ser zero (porquê?). Matematicamente: \displaystyle \oint_{\partial V} \mathbf{J}(r) \cdot \mathbf{\hat n}\,\text{d}A = 0, onde \partial V é a superfície de V (i.e. a soma sobre todos os pequenos elementos de área do número de mosquitos que sai menos o número de mosquitos que entra é zero);
  • Já deduziste como encontrar a taxa de electrocussão de mosquitos: é o número de mosquitos que entra pela superfície esférica de raio R por unidade de tempo. Em termos da nossa nova corrente, isto é o mesmo que -\displaystyle \oint \mathbf{J}(R) \cdot \mathbf{\hat r}\,\text{d}A. Estamos simplesmente a somar o número de mosquitos que entram (daí o sinal menos; como os mosquitos se deslocam para a esfera, \mathbf{J} aponta para dentro, mas a taxa de electrocussão é um número positivo) através de cada pequeno elemento de área da superfície de raio R.

Agora devo confessar que compliquei desnecessariamente a situação! :P Mais uma vez pela simetria esférica, e como os mosquitos se deslocam em média radialmente, para dentro, \mathbf{J} só tem componente radial, e portanto as nossas equações podiam perfeitamente ser escritas como:

  1. \displaystyle J(r) = -D{\text{d}\eta \over \text{d}r}
  2. -4\pi R^2 J(R) = \alpha (chamei \alpha à taxa de electrocussão)

A razão pela qual introduzi tanto formalismo é simples: como eu disse, isto é um problema de Electromagnetismo, e queremos ter equações que sejam de alguma forma semelhantes às equações de Maxwell. E, por incrível que pareça, é exactamente isso que temos! :D Qualquer pessoa que saiba a) a definição de potencial electrostático e b) a lei de Gauss na forma integral pode olhar para as equações e deduzir imediatamente que D\eta(r) é o potencial associado a \mathbf{J}, e que a conservação de mosquitos (bem como a nossa taxa de electrocussão) não é mais do que a lei de Gauss para o campo eléctrico.

Infelizmente, neste ponto, penso que não posso fazer muito mais sem te ensinar Electromagnetismo :? No entanto, já deves com certeza conhecer a definição de potencial e talvez a reconheças na equação (1). A partir daqui, o problema tem um análogo electrostático simplicíssimo: qual é o fluxo através de uma esfera condutora ligada à terra, sabendo que o potencial no infinito é Dn_\infty?

Quem, dos privilegiados com experiência das aulas da Prof.ª Lucília (ou menos privilegiados, com cadeiras de EM na faculdade), ajuda o Tomé a completar o problema? :wink:


P.S.: Peço desculpa por te infligir uma dose tão pesada de uma só vez :oops: É muito complicado explicar os conceitos todos necessários para este problema sem Cálculo Vectorial, mas não queria que tivesses que deixar o problema a meio por a Matemática te atrapalhar... Respira fundo, dorme sobre o assunto, e amanhã vê nos apontamentos da Prof.ª Lucília (disponíveis em Projecto Quark! > tópico Material de apoio) a partir da página 10 a explicação da lei de Gauss, muito melhor que a minha :wink:
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