Atração fatal

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Atração fatal

Mensagempor jap em Quinta Fev 18, 2010 11:29 pm

Quanto tempo demorará para um electrão e um protão colidirem, quando largados do repouso a uma distância de 1 metro?

Any guess? um segundo? um microsegundo? um nanosegundo? ... :roll:

E se for um electrão e um positrão?

O problema é para resolver utilizando mecânica clássica (ou seja sem correcções relativistas ou quânticas!) e supondo que as únicas forças que actuam sobre as partículas são as devidas à sua interacção mútua... :lol:
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Re: Atração fatal

Mensagempor joao_moreira em Sexta Fev 19, 2010 12:23 am

A hora já é avançada, e sem cálculos não consigo mesmo afirmar com certeza. Se tiver em conta apenas a lei de Coloumb (a massa das partículas é tão pequena que desprezo a atracção pela lei da atracção universal), apesar de a constante na equação no vazio ser de ordem 10^{9}, a da cargas do electrão e protão são da ordem do 10^{-19}. Ora, partindo desta lei, F_{e}= \frac{k.|q|.|Q|}{r^{2}}, notamos que a força é muito pequena inicialmente, da ordem aproximada e calculada de cabeça, dos 10^{-29}, mas, considerando que a massa do electrão é, segundo a wikipedia, de 9,1*10^{-31}, a aceleração inicial do electrão é (muito arredondado mesmo) de cerca de 100 m/s^{2} (usando a= \frac{F_{r}}{m}), aceleração esta que vai aumentando à medida que a distância diminui. Eu vou para um valor de 0,05 segundos, sem cálculos exactos no caso do electrão/protão. No caso do electrão/positrão eu diria 0,01. Amanhã faço os cálculos como deve de ser e talvez faça um programa para calcular um valor exacto. :wink:

Espero que o tex não tenha ficado mal configurado, ainda não aprendi a trabalhar bem com ele. :wall:
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Re: Atração fatal

Mensagempor Tharis em Sexta Fev 19, 2010 9:10 am

Protão + Electrão -> 0.0697267619686s
Positrão + Electrão -> 0.0493176909792s

Será?
última vez editado por Tharis s Sexta Fev 19, 2010 9:25 am, editado 1 vez no total
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Re: Atração fatal

Mensagempor joao_moreira em Sexta Fev 19, 2010 9:15 am

Ora tal como prometido, aqui vão alguns valores exactos para a aceleração inicial.

Considerando

A aceleração inicial, para as diversas partículas, seria:


Isto são apenas valores para a aceleração no instante inicial, há que ter em conta que a força entre as partículas aumenta à medida que a distância diminui! Não vejo método analítico para resolver esta equação e achar o instante exacto da colisão, mas se houver algum digam, só consigo resolver o problema recorrendo ao python... :wink:
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Re: Atração fatal

Mensagempor joao_moreira em Sexta Fev 19, 2010 9:20 am

Tharis Escreveu:Protão + Electrão -> 0.069727s
Positrão + Electrão -> 0.049318s

Será?


Vou escrever um programa e já digo o que obti... ;-)
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Re: Atração fatal

Mensagempor ampat em Sexta Fev 19, 2010 9:39 am

A mim deu-me, relativamente ao par:

electrão-positrão: 0,04935 s
protão-electrão: 0.139551 s

Edit: Acho que há uma forma mais simples de fazer o programa. O protão acho que se desloca m/M vezes a distância percorrida pelo electrão, onde m é a massa do electrão e M a do protão.

Edit2: Ups :oops: . Enganei-me no par protão-electrão. Dá-me 0,069776, ou seja, o mesmo que deu ao Tharis :wink:
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Re: Atração fatal

Mensagempor Tharis em Sexta Fev 19, 2010 10:07 am

@ampat, fizeste-me ir debuggar o programa. :P

Já agora, fica aqui um gráfico da distância entre eles em função do tempo.

http://img404.imageshack.us/img404/2421/atra.gif
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Re: Atração fatal

Mensagempor jap em Sexta Fev 19, 2010 12:00 pm

Parabéns! :hands:

A solução analítica para o problem, incluindo quer a interacção electrostática quer a gravitacional, é:

t = \frac{\pi}{2\sqrt 2}\sqrt{\frac{L^3}{Gm_T\left(1-\eta\right)}}

onde

m_T é a massa total do sistema, ou seja a soma da massa das duas partículas e

\eta = -\frac{ke^2}{Gm_em_p}

é um parâmetro que mede a força relativa da interacção electrostática e gravítica entre as duas partículas (k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} é a constante electrostática).

Ora utilizem esta solução analítica para comprovarem os resultados das vossas simulações computacionais! :D Bate certo? :wink:

E já agora, conseguem resolver analiticamente o problema? :XD
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Re: Atração fatal

Mensagempor ampat em Sexta Fev 19, 2010 12:10 pm

A forma da solução analítica é semelhante à que se obtém para o período de um movimento circular uniforme., por exemplo, para o período de rotação da Terra em torno do Sol através das leis de Kepler.
última vez editado por ampat s Sexta Fev 19, 2010 2:13 pm, editado 1 vez no total
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Re: Atração fatal

Mensagempor joao_moreira em Sexta Fev 19, 2010 12:20 pm

Os valores que obti por programação são os mesmos que vocês obteram, só há diferença lá para a quinta casa decimal. Professor jap, não percebi como chegou àquela expressão, nem sei resolver analiticamente usando o método das forças e acelerações. Podia explicar como se chega àquela expressão, ou é demasiado avançado para um 12º Ano?
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Re: Atração fatal

Mensagempor ampat em Sexta Fev 19, 2010 12:29 pm

Vou dar apenas uma sugestão que não sei se serve para alguma coisa:

Seja M a massa da partícula 1 e m a massa da partícula 2, x_{1} e x_{2} a posição de cada uma das partículas.
Consideremos que, no instante inicial, a partícula 1 se situa em x_{1}(0)=0 e que a partícula 2 está em x_{2}(0)=L.
Como as forças que actuam no sistema são forças internas ao sistema, a posição do centro de massa x_{cm} não se altera com o tempo.
Assim, temos:

x_{cm}= \frac {mL}{m+M} = \frac {mx_{2} + Mx_{1}}{m+M} \Rightarrow  x_{1}=\frac{ m (L-x_{2})}{M}

Portanto, estabelecida esta relação de dependência entre as posições das duas partículas, já podemos analisar o movimento apenas em relação a uma incógnita.
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Re: Atração fatal

Mensagempor jap em Sexta Fev 19, 2010 6:46 pm

Sim, a sugestão é boa! :D

Mais logo deixarei aqui algumas dicas sobre a resolução analítica deste problema... :wink:
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Re: Atração fatal

Mensagempor ampat em Sexta Fev 19, 2010 7:21 pm

Eu já pensei que podíamos aplicar o mesmo método que se aplica para calcular o tempo de queda da Terra no Sol, isto é, pensávamos que a Terra tinha uma pequeníssima velocidade inicial perpendicular à direcção Terra-Sol e depois usávamos as leis de Kepler. Mas ainda me falta conseguir arranjar tempo para o tentar resolver... :roll:
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Re: Atração fatal

Mensagempor jap em Sexta Fev 19, 2010 7:33 pm

ampat Escreveu:Eu já pensei que podíamos aplicar o mesmo método que se aplica para calcular o tempo de queda da Terra no Sol, isto é, pensávamos que a Terra tinha uma pequeníssima velocidade inicial perpendicular à direcção Terra-Sol e depois usávamos as leis de Kepler. Mas ainda me falta conseguir arranjar tempo para o tentar resolver... :roll:


SIm, esse método também funciona! :hands:
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Re: Atração fatal

Mensagempor Tharis em Sábado Fev 20, 2010 1:12 am

Resolvi agora utilizando um método que recorre à análise dimensional (só para a força eléctrica, mas também é possível expandi-lo para a força gravítica).

Como sabemos, a força entre as duas cargas é dependente de m, massa, q, carga e R, distância, com uma constante k_e, constante de Couloumb.

Analisando as unidades, temos m \leftrightarrow kg, q \leftrightarrow C, R \leftrightarrow m e k_e \leftrightarrow kg \text{ } m^3 \text{ } s^{-2} \text{ } C^{-2}.

Então, se queremos um intervalo de tempo, temos de ficar apenas com segundos, que nos leva a \frac{mR^3}{kqQ}. No entanto, com isto ficamos com s^2 e por isso, aplicamos uma raiz \sqrt{\frac{mR^3}{kqQ}}.

Agora aplicamos ao nosso problema. Como disse o ampat, uma das partículas deslocar-se-á \frac{m}{M} vezes mais que a outra.

Então, se chamarmos x à distância que a partícula mais leve percorre, vem L = \frac{m}{M} x + x = \frac{M+m}{M} x \Leftrightarrow x = \frac{M}{M+m} L

Vou chamar à constante \frac{M}{M+m}, \eta, para o LaTeX não ficar minúsculo (atenção que não é o mesmo \eta que o Professor jap utilizou).

Substituindo na expressão temos:

t_e = \sqrt{\frac{m_e (\eta L)^3}{kq^2}, para o electrão e t_p = \sqrt{\frac{m_p ((1-\eta) L)^3}{kq^2}, para a partícula positiva.

(Podemos verificar que para o caso do positrão, vem \eta = \frac{1}{2}, ou seja, como ambos têm a mesma massa, percorrerão metade da distância.


Substituindo os valores na expressão obti:

Protão + Electrão -> 0.062776s
Positrão + Electrão -> 0.044402s

Ou seja, na fórmula deduzida pela análise dimensional falta uma constante, que é \frac{pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11072.


Estou a tentar resolver de uma forma mais rigorosa e depois se conseguir, meto cá. ;)
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