A idade do Universo

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor jap em Quinta Fev 01, 2007 11:41 pm

Ora aqui vai uma dica para acabarmos de resolver este problema :wink:


Relembremos os factos:

lei de Hubble, que diz que no instante actual t_0 as galáxias se estão a afastar com uma velocidade proporcional à sua distância:

v = H_0 r


Hipótese: o universo tem a densidade crítica, ou seja, como o Pedro Ponte mostrou, estamos numa situação em que a energia cinética e potencial gravítica se compensam exactamente:

\frac{1}{2}mv^2 = G\frac{Mm}{r}
Daqui conclui-se imediatamente que

v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}.


Como v = H_0 r, então, decorre da relação anterior que

\sqrt{\frac{2GM}{r}} = H_0 r , ou ainda.


\sqrt{2GM} = H_0 r^{3/2} (equação A).


Não se esqueçam que r é a distâncial actual (instantet_0) da galáxia à origem das coordenadas.


Mas qual é a relação entre re t_0 ?


Voltando à equação

v = \sqrt{\frac{2GM}{r}},

basta ver que v = \frac{dr}{dt} e integrar...


Assim,

\frac{dr}{dt} = \sqrt{\frac{2GM}{r}},


ou ainda,


\sqrt{2GM}dt = r^{1/2} dr.


Conseguem integrar ambos os membros desta equação deste o instante do big-bang (t=0) até ao instante actual, t_0? :roll:

Depois é só comparar o resultado com a equação A para se obter, de imediato, a relação entre H_0 e t_0, a idade do universo!

Vamos a isto? :P
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Mensagempor Irakian Monkey em Domingo Fev 04, 2007 5:09 pm

Fazendo o que o professor disse deu me

t=\frac{2}{3H_o}

Que aproximadamente é

t=8,7 \times 10^9 Anos

Espero não me ter enganado
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Mensagempor jap em Domingo Fev 04, 2007 5:12 pm

Irakian Monkey Escreveu:Fazendo o que o professor disse deu me

t=\frac{2}{3H_o}

Que aproximadamente é

t=8,7 \times 10^9 Anos

Espero não me ter enganado


Isso, mesmo, Pedro. :D

Indica aqui os cálculos, para a resolução do problema ficar completa!
:wink:
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Mensagempor Irakian Monkey em Domingo Fev 04, 2007 8:10 pm

Integrei ambos os membros da equação como o professor disse:

\int_0^t\sqrt{2GM}dt=\int_0^rr^{\frac{1}{2}}dr~\Leftrightarrow~t\sqrt{2GM}=\frac{2}{3}r^{\frac{3}{2}}~\Leftrightarrow~r^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}t\sqrt{2GM}

Substituindo na equação A:

\sqrt{2GM}=H_0\frac{3}{2}t\sqrt{2GM}~\Leftrightarrow~t=\frac{2}{3H_0}
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Mensagempor Joao Guerreiro em Domingo Fev 04, 2007 8:13 pm

Irakian Monkey Escreveu:Integrei ambos os membros da equação como o professor disse:

\int_0^t\sqrt{2GM}dt=\int_0^rr^{\frac{1}{2}}dr~\Leftrightarrow~t\sqrt{2GM}=\frac{2}{3}r^{\frac{3}{2}}~\Leftrightarrow~r^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}t\sqrt{2GM}

Substituindo na equação A:

\sqrt{2GM}=H_0\frac{3}{2}t\sqrt{2GM}~\Leftrightarrow~t=\frac{2}{3H_0}


Porque é que se pode integrar as duas expressões segundo variáveis diferentes?
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Mensagempor Irakian Monkey em Domingo Fev 04, 2007 8:47 pm

Eu achei que podia ser assim porque r=0 quando t=0 e r=r quando t=t (espero ter-me feito entender) logo estaria a integrar para o mesmo intervalo.
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Mensagempor jap em Domingo Fev 04, 2007 9:03 pm

Irakian Monkey Escreveu:Eu achei que podia ser assim porque r=0 quando t=0 e r=r quando t=t (espero ter-me feito entender) logo estaria a integrar para o mesmo intervalo.


Pedro, é isso mesmo! :wink:

Aliás aproveito para fazer reparar que por vezes, uma equação diferencial de 1ª ordem (isto é que envolve apenas derivadas de 1ª ordem e não de ordem superior)

F(x,y, \frac{dy}{dx})=0

pode ser ecrita na forma:

M(x) dx + N(y) dy = 0

Neste caso a equação diz-se de variáveis separáveis e a solução é

\int{M(x) dx + \int{N(y)dy} = C,

onde C é uma constante. Mas no caso presente, como r(t=0) = 0, a constante C é nula!
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Mensagempor vbmaster em Domingo Fev 04, 2007 9:16 pm

Estou a ver que vou ter mesmo de aprender integrais a sério (só tenho umas noções básicas neste momento).
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Mensagempor manuelmarque em Domingo Fev 04, 2007 10:26 pm

vbmaster Escreveu:Estou a ver que vou ter mesmo de aprender integrais a sério (só tenho umas noções básicas neste momento).

Já somos dois... :roll:
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Mensagempor Irakian Monkey em Segunda Fev 05, 2007 12:35 am

jap Escreveu:...

Neste caso a equação diz-se de variáveis separáveis e a solução é

\int{M(x) dx + \int{N(y)dy} = C,

onde C é uma constante. Mas no caso presente, como r(t=0) = 0, a constante C é nula!


É possível calcular essa constante ou é como nas primitivas?
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Mensagempor jap em Segunda Fev 05, 2007 12:44 am

Irakian Monkey Escreveu:
jap Escreveu:...

Neste caso a equação diz-se de variáveis separáveis e a solução é

\int{M(x) dx + \int{N(y)dy} = C,

onde C é uma constante. Mas no caso presente, como r(t=0) = 0, a constante C é nula!


É possível calcular essa constante ou é como nas primitivas?


Uma equação diferencial define uma família de funções, não uma função. No caso acima, estas funções diferem entre si de uma constante, tal como as primitivas de uma função... Esta constante só pode ser determinada sabendo um valor da função num dado ponto, o que individualiza a função no conjunto das funções da família.

No nosso caso, a equação diferencial era:


\frac{dr}{dt} = \sqrt{\frac{2GM}{r}},

e a família de soluções desta equação é


r^{3/2} = \frac{3}{2}t\sqrt{2GM} + C

A única solução com significado físico é aquela para a qual r(t=0) = 0, ou seja, C = 0.

A condição que individualiza a solução "certa" da família de soluções constuma-se designar por condição inicial, embora não seja necessário (mas é frequente) que ela involva o instante t = 0!
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