Ressaltando no plano

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Ressaltando no plano

Mensagempor jap em Terça Mar 10, 2009 6:39 pm

Uma pequena bola é lançada horizontalmente contra um plano inclinado, com inclinação \alpha com a horizontal. Após 4 ressaltos a bola atinge o plano inclinado, no 5º ressalto, com uma velocidade que é perpendicular ao plano (ver figura).

Assumindo que podemos tratar a bola como uma partícula e que as colisões da bola com o plano são elásticas, qual deverá ser o valor do ângulo \alpha para esta situação ocorrer? :roll:

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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor RicardoCampos em Terça Mar 10, 2009 9:13 pm

O ângulo em função da velocidade da bola?
\emph{Ricardo Campos}\in \delta \bigcap q\overline{q}
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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor jap em Terça Mar 10, 2009 10:40 pm

RicardoCampos Escreveu:O ângulo em função da velocidade da bola?


Surpreendentemente, sendo conhecido que há um número N de ressaltos, não é necessário saber a velocidade da bola... :lol:
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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor hexphreak em Sábado Abr 04, 2009 4:50 pm

Será \sin \alpha = {1 \over 3}?
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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor jap em Segunda Abr 06, 2009 7:53 pm

hexphreak Escreveu:Será \sin \alpha = {1 \over 3}?


A solução é

\alpha = \arctan\left( \frac{1}{\sqrt{2N}}  \right)

Onde N é o número de ressaltos após o 1º embate (no exemplo N = 4).
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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor hexphreak em Segunda Abr 06, 2009 8:03 pm

Não será antes \displaystyle \alpha = \arctan {1 \over \sqrt{2N}}? Sem o inverso, \alpha > \pi/4, o que é manifestamente impossível... :roll: E para além disso, assim a minha solução já estaria correcta para N = 4 :wink:
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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor jap em Segunda Abr 06, 2009 8:24 pm

hexphreak Escreveu:Não será antes \displaystyle \alpha = \arctan {1 \over \sqrt{2N}}? Sem o inverso, \alpha > \pi/4, o que é manifestamente impossível... :roll: E para além disso, assim a minha solução já estaria correcta para N = 4 :wink:


Sim, é isso mesmo, a resposta estava dada como arc cotan(x) que é o mesmo que arctan(1/x)! :lol: Mas já alterei, porque fica muito melhor como \arctan! :wink:

Parabéns, a tua resposta está, portanto, correcta!. :hands:
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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor hexphreak em Segunda Abr 06, 2009 9:15 pm

Então fica aqui a minha resolução, que me parece bastante simples apesar de utilizar matrizes :)

Só precisamos de entender dois factos fundamentais para resolvermos o problema: 1. numa colisão, a velocidade da bola normal ao plano é invertida; 2. o tempo entre duas colisões sucessivas é constante. Porquê? Podemos considerar que a bola se encontra a saltar sobre o chão de um planeta com aceleração gravítica g \cos \alpha, e nesse caso é fácil de ver que o que quer que aconteça na horizontal não afecta o tempo de queda. Esta é exactamente a nossa situação com o plano, pelo que temos a nossa segunda conclusão.

Expressemos então as velocidades imediatamente antes de uma colisão como um vector coluna, \bf{v_n}, em coordenadas cartesianas. Nesse caso, para invertermos a velocidade normal, temos que passar as coordenadas cartesianas para tangenciais e normais, trocar o sinal à componente normal, e passar a coordenadas cartesianas de novo. Ou seja:

{\bf v_n} \to R \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right] R^{-1} {\bf v_n}

em que R = \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array} \right] é a matriz de rotação por um ângulo \theta. Sendo a multiplicação de matrizes associativa, podemos expresar esta transformação como {\bf v_n} \to A{\bf v_n}.

Por outro lado, a velocidade da bola após a colisão sofre ainda a acção da gravidade. Como o tempo entre duas colisões sucessivas é constante, esta acção pode ser expressa na forma de um vector constante com componente em yy, pelo que temos:

{\bf v_{n+1}} = A{\bf v_n} - \left[ \begin{array}{c} 0 \\ gt \end{array} \right] = A{\bf v_n} - {\bf b}

Por recorrência, então, temos que no n-ésimo ressalto após o primeiro, a velocidade é dada por

{\bf v_n} = A^n{\bf v_0} - (A^{n-1} + A^{n-2} + \ldots + A + I){\bf b}

Mas é facil de ver que qualquer potência par da matriz A é a identidade: inverter duas vezes a componente normal deixa-a na mesma! No nosso caso particular, fazendo n = 4, vem:

{\bf v_4} = {\bf v_0} - (2A + 2I){\bf b}

Fazendo as contas, com alguma trigonometria e \displaystyle t = {2v_0 \over g} \tan \theta, isto dá

{\bf v_4} = v_0 \left[ \begin{array}{c} 1 - 8\sin^2 \alpha \\ -8\sin^2 \alpha \tan \alpha \\ \end{array} \right]

Finalmente, fazendo {\bf v_4} \cdot {\bf \hat t} = 0 e resolvendo a equação em \sin \theta, obtemos \sin \theta = 1/3 :)
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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor jap em Segunda Abr 06, 2009 9:24 pm

:shock:

Amazing! :D

:hands:
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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor hexphreak em Segunda Abr 06, 2009 10:03 pm

jap Escreveu: :shock:

Amazing! :D

:hands:

Obrigado :oops: :)

Já agora, também é fácil encontrar o resultado geral se não particularizarmos para n = 4, se alguém tiver curiosidade em fazê-lo. Utilizando a identidade fundamental da trigonometria, prova-se facilmente que a expressão encontrada é equivalente à expressão dada pelo Prof. :)
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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor João Morais em Quinta Abr 23, 2009 5:44 pm

Eu fiz duma maneira mais simples e deveras engraçada, na minha opinião.
Eu fiz parcialmente o pino, e inclinei-me \alpha graus, de maneira que o plano inclinado passasse a horizontal, para facilitar o cálculo das velocidades antes e após do ressalto, e por isso a velocidade fazia um ângulo de \alpha graus com o chão, e a força gravítica deixou de ser vertical (ângulo de \alpha graus com a vertical). Fazendo as contas, que são mais simples, dava a mesma coisa :P
Quem melhor para descobrir a Lei da Inércia (=preguiça) do que alguém que dorme debaixo de macieiras?

cos(x)=\frac{(-1)^{\frac{x}{\pi}}+(-1)^{-\frac{x}{\pi}}}{2}

Visitem o meu Blogue de Área Projecto! Está fixe. Comentem (e votem sim! :P)
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Re: Ressaltando no plano

Mensagempor jap em Quinta Abr 23, 2009 7:46 pm

João Morais Escreveu:Eu fiz duma maneira mais simples e deveras engraçada, na minha opinião.
Eu fiz parcialmente o pino
(...)
Fazendo as contas, que são mais simples, dava a mesma coisa :P


Citando o glossário quarkónico:

fazer o pino: atitude recomendada para resolver problemas tricky, ou seja, adoptar um ponto de vista não convencional para resolver o problema. Usado literalmente, por vezes também resulta.


E resulta mesmo! :lol:
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