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O relógio de cuco do tio Max

MensagemEnviado: Segunda Jan 26, 2009 2:22 am
por jap
O Xavier e o seu irmão Juca foram visitar o tio Max. Ao entrarem na sala de estar, o Juca chamou a atenção do irmão:

- Olha, o tio comprou um belo relógio de cuco!
- Sim, e achei que ficava melhor pendurado do tecto por dois fios, do que pregado na parede, o que acham? - replica o tio.
- Hum, acho que o tio não deverá fiar-se muito nas horas deste relógio! - diz o Juca
- Porque dizes isso, Juca?
- Suspeito que o relógio tenha uma tendência para adiantar...

O relógio está representado na figura. Conseguem explicar porque é que o relógio adianta? E de quanto é que adianta, em relação à situação em que o relógio está preso na parede? :roll:

Dados:
massa do bolbo do relógio: m
massa do relógio (sem bolbo, mas inclui tudo o resto, incluindo o cuco :lol:) M
considerar que o comprimento dos fios de suspensão é muito superior ao comprimento da haste do bolbo.

Imagem

Re: O relógio de cuco do tio Max

MensagemEnviado: Segunda Jan 26, 2009 5:38 pm
por hexphreak
Um pêndulo duplo! :D Vamos lá ver o que sai daqui...

Re: O relógio de cuco do tio Max

MensagemEnviado: Segunda Jan 26, 2009 6:47 pm
por RicardoCampos
Como é que funciona exactamente um relógio de pêndulo normal? :oops: :oops:

É suposto cada oscilação contar um segundo?
E o atrito, é suposto se desprezado?

Eu sei que o atrito iria influenciar a oscilação reduzindo a sua amplitude e isso não mudaria o período, mas é mesmo assim que isso funciona?

Re: O relógio de cuco do tio Max

MensagemEnviado: Segunda Jan 26, 2009 6:52 pm
por jap
RicardoCampos Escreveu:Como é que funciona exactamente um relógio de pêndulo normal? :oops: :oops:

É suposto cada oscilação contar um segundo?
E o atrito, é suposto se desprezado?

Eu sei que o atrito iria influenciar a oscilação reduzindo a sua amplitude e isso não mudaria o período, mas é mesmo assim que isso funciona?


Os atritos não são tidos em conta neste problema! :wink: Como funciona o relógio? Utiliza o período do bolbo para contagem do tempo. É tudo quanto é preciso saber. :lol:

Re: O relógio de cuco do tio Max

MensagemEnviado: Terça Jan 27, 2009 8:07 pm
por hexphreak
Para pequenas oscilações, obtive que a frequência angular do pêndulo de relógio é \displaystyle \omega = \sqrt{{g \over l_2} \left( 1 + {m \over M} \right )}, em que l_2 é o comprimento do fio do pêndulo. A solução parece portar-se bem quando M \to \infty (i.e. o relógio comporta-se como uma parede fixa), já que nesse caso \displaystyle \omega \to \sqrt{{g \over l_2}}, que é o período de um pêndulo gravítico. Também explica o adiantamento do relógio, já que o período é inversamente proporcional à frequência angular :)

Re: O relógio de cuco do tio Max

MensagemEnviado: Terça Jan 27, 2009 10:34 pm
por jap
hexphreak Escreveu:Para pequenas oscilações, obtive que a frequência angular do pêndulo de relógio é \displaystyle \omega = \sqrt{{g \over l_2} \left( 1 + {m \over M} \right )}, em que l_2 é o comprimento do fio do pêndulo. A solução parece portar-se bem quando M \to \infty (i.e. o relógio comporta-se como uma parede fixa), já que nesse caso \displaystyle \omega \to \sqrt{{g \over l_2}}, que é o período de um pêndulo gravítico. Também explica o adiantamento do relógio, já que o período é inversamente proporcional à frequência angular :)


Sim, é isso. :hands:

Coloca aqui a resolução, quanto tiveres oportunidade. :wink:

Re: O relógio de cuco do tio Max

MensagemEnviado: Terça Jan 27, 2009 11:24 pm
por hexphreak
Uma vez que estamos a tratar de pequenas oscilações, podemos ignorar o facto de existirem dois fios a segurar o relógio, e assumir apenas um (para oscilações maiores, um dos fios ficaria "lasso", pelo que o ponto de apoio mudaria ao passar no ponto mais baixo da oscilação). Assim, vamos simplificar o sistema e considerá-lo como um pêndulo suspenso de outro.

Ainda por causa das pequenas oscilações, vamos considerar que as tensões em cada um dos fios igualam o peso dos corpos suspensos deles, e que portanto a resultante das forças na vertical é nula. Portanto, aplicando a segunda lei de Newton para as forças horizontais, temos:

\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle M \ddot x_1 = m {g \over l_2} (x_2 - x_1) - (m+M) {g \over l_1} x_1 \\
\displaystyle m \ddot x_2 = -m {g \over l_2} (x_2 - x_1)
\end{array}
\right.

em que x_1,\,x_2 são os deslocamentos horizontais da posição de equilíbrio da primeira e da segunda massas, respectivamente, e l_1,\,l_2 os comprimentos dos fios de que estão suspensas, sendo l_1 \gg l_2.

Num sistema como este, em que temos dois osciladores acoplados, há dois modos de oscilação fundamentais, chamados os modos normais, em que os osciladores estão em fase ou em anti-fase, não em algum valor intermédio. O que é importante acerca dos modos normais é que qualquer oscilação geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear destas oscilações fundamentais, de acordo com o princípio da sobreposição. Vamos então descobrir as frequências dos modos normais. Fazendo as ansatz x_1 = C_1 \cos (\omega t) e x_2 = C_2 \cos (\omega t) (os osciladores têm obrigatoriamente a mesma frequência; de outro modo não faria sequer sentido falar em fase e anti-fase!) e substituindo nas equações acima, vem:

\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle -C_1 \omega^2 = {m \over M} {g \over l_2} (C_2 - C_1) - \left( 1 + {m \over M} \right) {g \over l_1} C_1 \\
\displaystyle -C_2 \omega^2 = - {g \over l_2} (C_2 - C_1)
\end{array}
\right.

Uma vez que l_1 \gg l_2, vem l_2^{-1} \gg l_1^{-1}, pelo que após alguma manipulação algébrica da primeira equação podemos simplificá-la:

\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle {C_1 \over C_2} = {g \eta \over g \eta - \omega^2 l_2} \\
\displaystyle {C_1 \over C_2} = 1 - {l_2 \over g} \omega^2
\end{array}
\right.

em que \eta = m/M. Reparem como já escrevi as equações resolvidas em ordem a C_1/C_2. O problema aqui é que temos três variáveis mas apenas duas equações. Só podemos resolver por completo o sistema quando nos forem dadas as condições iniciais. No entanto, interessam-nos apenas as frequências dos modos normais, pelo que utilizamos este truque para em seguida resolver em ordem a \omega.

Igualando então as duas equações acima, temos uma quadrática em \omega^2 bastante simples de resolver, que nos dá:

\omega^2 = 0 \,\vee\, \omega^2 = \displaystyle {g \over l_2} (1 + \eta)

Temos então, algo surpreendentemente, que um dos modos normais é na verdade estacionário! Desta maneira, apenas podemos concluir (e verificar formalmente se impusermos condições iniciais e resolvermos o sistema resultante) que a frequência de oscilação do pêndulo será dada pela frequência do segundo modo normal, que é a segunda solução acima.


P.S.: Neste sistema em particular, não seria estritamente necessário considerar os modos normais e o princípio da sobreposição; no entanto, achei que seria instrutivo mostrar como se aplicam esses conceitos num caso particular de osciladores acoplados :)

Re: O relógio de cuco do tio Max

MensagemEnviado: Terça Jan 27, 2009 11:34 pm
por jap
Obrigado, Henrique! :friends:

Há uma maneira porventura mais fácil de chegar ao resultado... :lol:

Vou postar amanhã. :wink: