Juca!

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Juca!

Mensagempor jap em Terça Dez 19, 2006 10:40 pm

Não percam a partir de quinta-feira, e para a época natalícia, a saga de Juca -o sagaz, divertido e eléctrico irmão caçula do Xavier! :D
José António Paixão
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Mensagempor jap em Quinta Dez 21, 2006 10:20 pm

Juca


O Xavier tem um irmão caçula com 14 anos, o Juca, que é um rapaz muito sagaz- sai ao irmão! :wink: . O Xavier comprou um kit de electricidade que ofereceu ao irmão como prenda de aniversário. O kit continha, entre outras coisas, um multímetro e resistências várias com os seus intrigantes códigos de cores. O Xavier ensinou o Juca a lidar com o multímetro e deu-lhe umas noções de básicas de electricidade - entre elas a inevitável lei de Ohm :P e ensinou-o a associar resistências em série e em paralelo. E para o entreter enquanto estudava para o próximo teste de Química :? , o Xavier mandou-o montar circuitos de várias resistências, calcular a resistências equivalente e ver se acertava com o multímetro.
Passado algum tempo o Juca veio interromper o estudo do irmão.

- Xavier, acho que já sei trabalhar com a lei de Ohm e acertei em todos os circuitos que montei. Mas inventei um circuito bem giro! Comecei a juntar várias resistências desta forma...

Imagem


És capaz de adivinhar a resistência equivalente deste circuito quando tenho muitas, mas mesmo muitas, resistências iguais, todas com o valor individual de 1 Ohm?

O Xavier olhou para o circuito, meditou um pouco e disse:

- Juca, mas que circuito tramado! Tens a certeza que sabes a resposta, e que a encontraste com cálculos sem usar o multímetro?

- Sim, e já testei que o valor que calculei está certo!

- Ah, acho que já estou a ver como fizeste...não há duvida que aprendeste bem a lição!

Vamos lá a calcular a resistência equivalente do circuito...
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Mensagempor miguel em Quinta Dez 21, 2006 11:38 pm

sera 2 ohms ? hmm assim mto intuitivamente....hmmm...
eu já tento fazer umas contas....
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Mensagempor miguel em Sexta Dez 22, 2006 12:21 am

bah :( não percebo...dá-me 1,618....devo estar a pensar mal...
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Mensagempor Zé Teixeira em Sexta Dez 22, 2006 12:27 am

Será o número de ouro outra vez?
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Mensagempor miguel em Sexta Dez 22, 2006 12:29 am

pois é isso mesmo! deu-me isso...mas n faço a minima ideia se está bem...
miguel nogueira -oibf 2006
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Mensagempor Andre França em Sexta Dez 22, 2006 1:24 am

Sim, a mim também deu-me uma sucessão de fracções do tipo:

\frac{1}{R} = 1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ... }}}}
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Mensagempor jap em Sexta Dez 22, 2006 1:50 am

Andre França Escreveu:Sim, a mim também deu-me uma sucessão de fracções do tipo:

\frac{1}{R} = 1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ... }}}}




O número de ouro ataca de novo! :P
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Mensagempor jmgb em Sexta Dez 22, 2006 5:13 am

jap Escreveu:
Andre França Escreveu:Sim, a mim também deu-me uma sucessão de fracções do tipo:

\frac{1}{R} = 1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ... }}}}




O número de ouro ataca de novo! :P


É fantástico :lol:
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Mensagempor jap em Quarta Fev 21, 2007 11:23 pm

O problema da cadeia de resistências infinita posto pelo Juca ao seu irmão é um problema da classe de problemas recursivos. Relembro o problema (vejam o enunciado no início da thread): calcular a resistência equivalente da associação (infinita) de resistências. Chamemos a essa resistência R. Procuramos, portanto, calcular o valor de R.


Se existe um valor finito de R ( se não existisse não teriam colocado o problema :? !) então, quando temos muitas resistências, adicionar mais um elo não pode fazer diferença (a não ser infinitesimal!) ao valor de R, certo? Caso contrário, a resistência não seria finita no limite em que o número de elos tendesse para infinito...


Bom, mas olham de novo para o circuito: ele pode ser visto como um elo simples + uma cópia de si próprio, não é verdade? Ou seja,

Imagem

Ou seja a resistência R do circuito total tem de ser igual à associação da resistência R em paralelo com uma resistência de 1 Ohm, que é depois ligada em série a mais uma resistência de 1 Ohm.

Assim sendo, R obedece à seguinte equação:

R = 1~\Omega + \frac{1}{\frac{1}{1~\Omega}+ \frac{1}{R}}

ou seja,

R^2 -R -1 = 0

que tem como solução positiva,


R = \frac{1+\sqrt 5 }{2}

ou seja, R é o número de ouro, qed.

Perceberam a técnica? Gira e elegante, não? :D

Claro está que o problema pode ser resolvido de outras formas, mas esta é particularmente elegante...e evita fracções continuadas...ou o cálculo de limites de séries...
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Mensagempor jap em Terça Mar 27, 2007 1:30 am

O Juca (lembram-se dele?) está a aproveitar as férias da Páscoa para aprender um pouco mais de física :wink: com o kit de electricidade que o seu irmão, Xavier, lhe ofereceu. :lol:

- Xavier, preciso da tua ajuda! Montei este circuito com nove resistências idênticas de $1~k \Omega$:

Imagem

Se ligar o multímetro a dois dos seis vértices do hexágono obtenho um de quatro valores diferentes para a resistência eléctrica... Tentei reproduzir estes valores com as leis de associação de resistências que me ensinaste, mas estou com algumas dificuldades...Podes ajudar-me?

Ora ponham-se no papel do Xavier e tentem ajudar o Juca! :P Quais são os quatro valores que podemos ler no multímetro? :roll:
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Mensagempor pmp em Domingo Jun 03, 2007 1:58 am

Um dos valores é \rm \frac{11}{3}~ k\Omega? :?
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Mensagempor jap em Domingo Jun 03, 2007 11:27 am

pmp Escreveu:Um dos valores é \rm \frac{11}{3}~ k\Omega? :?


Pedro,

O Xavier diz-me que não lê esse valor no multímetro :?

O valor de resistência mais elevado, que ele consegue medir entre dois vértices do hexágono é \frac{6}{5}~k\Omega.
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Mensagempor pmp em Domingo Jun 03, 2007 1:55 pm

O Xavier leu \rm \frac{11}{10}~ k\Omega em alguma medição?
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Mensagempor jap em Domingo Jun 03, 2007 1:58 pm

pmp Escreveu:O Xavier leu \rm \frac{11}{10}~ k\Omega em alguma medição?


Sem dúvida, esse é um dos valores que o Xavier encontra nas suas medições :D
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