Corda enrolada num pilar

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Corda enrolada num pilar

Mensagempor ampat em Segunda Fev 14, 2011 8:49 am

Não sei se já foi postado um problema semelhante a este, mas aqui vai o que penso ser um problema de estática bastante simples :)

Todos conhecem decerto os pilares a que se prendem alguns barcos, enrolando uma corda em torno do mesmo:

Imagem

Assim, suponhamos que temos uma corda enrolada sobre um destes pilares e que subtende um ângulo \displaystyle \theta em torno do pilar.
Um dos extremos da corda está preso a um barco na margem do rio e o outro é segurado por um pescador que exerce nele uma tensão \displaystyle T_0( suposta constante aqui ).:

ropeAroundPole.png
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O problema é: se o coeficiente de atrito estático entre o pilar e a corda for \displaystyle \mu, qual a força máxima que a corda( sob tensão ) pode suportar por parte do barco de forma a não deslizar em torno do pilar ?
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Re: Corda enrolada num pilar

Mensagempor gabrielvasc em Segunda Fev 21, 2011 10:33 pm

Já resolvi um parecido... Não tenho tempo para resolver agora, mas creio que a resposta seja F = To \cdot e^\mu^\theta, onde e é o número de Euler. Não digo de certo, mas creio que seja isso mesmo.
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Re: Corda enrolada num pilar

Mensagempor gabrielvasc em Quarta Fev 23, 2011 10:11 pm

Pois bem, respondi a questão:
Podemos tomar raio R e, logicamente, larguro de toque da corda l=R\theta. Podemos dividir a corda em n partes, de onde concluímos que \theta/n = \alpha. Peguemos um pedaço qualquer k, onde sabemos que atuam as forças T_k e T_{k+1} de todo o resto da corda, do homem e do barco, a normal N_k de reação do cilindro e o atrito{\mu}N_j. Considerando o ângulo \alpha um ângulo pequeno, obtemos:

T_{k+1} = T_k(1+\mu{\alpha}),
N_k - T_k{\alpha}/2 - T_{k+1}{\alpha}/2 = 0

De onde temos:

T_{k+1} = T_k(1+\mu{\alpha}),
T_n = T_{n-1}(1+\mu{\alpha}) \Rightarrow T_n = T_0(1+\mu{\alpha})^n.

Transformando \alpha:

T_n = T_0(1+\mu\theta/n)^n

Para n \to \infty, temos:

F = \lim_{n \to \infty} T_n = \lim_{n \to \infty} T_0 (1+\mu\theta/n)^n = T_0e^{\mu\theta},

Resposta: F = T_0e^{\mu\theta}, onde e = 2,71828... é o Nº de Euler, tal como eu havia dito.

:wink:
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Re: Corda enrolada num pilar

Mensagempor ampat em Quinta Mar 03, 2011 8:46 pm

Correcto.

É essa, de facto, a força máxima que a corda pode suportar.

Veja-se, por exemplo, que com \mu=1 e enrolando a corda umas meras 2 voltas em torno do pilar, obtemos uma força máxima com \frac{T}{T_0}=e^{4\pi}\approx300\, 000!

Será que o pilar suporta tamanha força? :)
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Re: Corda enrolada num pilar

Mensagempor gabrielvasc em Sexta Mar 04, 2011 1:03 pm

Creio que o pilar quebraria antes do sistema se tornar dinâmico :lol: :lol: :lol: :lol:
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