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Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Quarta Jan 21, 2009 12:34 am
por jap

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Sábado Jan 24, 2009 11:22 pm
por jap
Aqui vai a resolução do Quark-mate I.

1-
a) Vamos lembrar um dos resultados que resulta da aplicação das leis da conservação da quantidade de movimento e da energia para um choque elástico de duas partículas: a velocidade relativa das duas particulas mantem o valor absoluto e inverte o sinal no choque, ou seja:

\vec v^\prime_1 -\vec v^\prime_2 = - (\vec v_1 -\vec v_2)

Podem demonstrar este resultado facilmente (foi um dos TPCs que eu sugeri na 1ª aula).

Para choques frontais de duas bolas podemos aplicar a equação acima e escrever (vamos passar a usar apenas escalares para as velocidades, porque tudo se passa a uma dimensão):

v^\prime_1 - v^\prime_2 = - (v_1-v_2)

Vamos convencionar o sinal positivo para as velocidades "para cima" e negativo para as velocidades "para baixo".

No choque elástico da bola com a parede, esta praticamente nao se mexe e adquire uma velocidade para cima v_1 = v =  \sqrt{2gh}

onde h é a altura inicial do centro da bola de basket.

Apliquemos agora a equação acima para o choque da bola pequena com a bola de basket.

Antes do choque, v_1 = v, v_2 =-v (porquê?), v^\prime_1 \sim v (porquê?)

pelo que

v - v^\prime-2 = -(v-(-v))

ou seja

v^\prime_2 = 3 v = 3\sqrt{2gh}

Aplicando a conservação da energia ao movimento da bola pequena após o choque com a de basket, iremos concluir que a altura a que esta sobe é 9h + 2R.

b) Podem agora generalizar o raciocínio anterior para mais bolas e verificar que é válida a relação

v^\prime_{i+1}-v^\prime_i = -\left( v_{i+1}-v_i\right)

Como a velocidade da bola i+1 antes do choque é -v (estão todas a cair com a mesma velocidade), ev^\prime_i \sim v_i, então

v^\prime_{i+1}=2v_i + v

ou seja:

v^\prime_1 = v
v^\prime_2 = 2v + v = 3v (como já tínhamos visto)
v^\prime_3 = 6v + v = 7v
v^\prime_4 = 14v + v = 15v

etc...

em conclusão:

v^\prime_n = (2^n -1)v

e a altura a que sobe a bola é (desprezando os raios das bolas pequenas)

H = \frac{((2^n-1)v)^2}{2g} =(2^n-1)^2h

Assim temos

n = 1, H = h =\rm 1~m
n = 2, H  = \rm 9~m
n = 3, H = \rm 49~m

etc.

para 1 km temos que

2^n-1 > \sqrt{1000},

o que exige n = 6 ou mais bolas (apenas!) :shock:

2) Seja y o deslocamento do cilindro em relaçao à posição de equilíbrio. Vamos convencionar que y < 0 quando o cilindro está abaixo da linha de equilíbrio (linha de flutuação).

A resultante das forças que actuam no cilindro é F = I - P = A (h_0 - y)\rho_ag - Ah\rho g

onde h_0 é a altura do cilindro que está submersa na posição de equilíbrio. Assim, e como

A h_0\rho_ag - Ah\rho g, a resutante das forças vem simplesmente

F = - A\rho_a g y = -k y = M a

Reconhece-se aqui a equação de um MHS de frequência angular

\omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho}\frac{g}{h}}

onde h é a altura do cilindro.

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Domingo Jan 25, 2009 7:58 pm
por grizzlyjoker
Obrigada pela solução professor mas (acho que vou cometer um erro):
Onde diz v^\prime_n = (2^n -1)v não deveria dizer v^\prime_n = (2\,n-1)v?
E assim sendo ser:
n = 1, H = h =\rm 1~m;
n = 2, H  = \rm 9~m;
n = 3, H = \rm 25~m;
O que daria \sqrt{1000}<2\,n-1, dando n = 17?

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Domingo Jan 25, 2009 8:42 pm
por jap
grizzlyjoker Escreveu:Obrigada pela solução professor mas (acho que vou cometer um erro):
Onde diz v^\prime_n = (2^n -1)v não deveria dizer v^\prime_n = (2\,n-1)v?
E assim sendo ser:
n = 1, H = h =\rm 1~m;
n = 2, H  = \rm 9~m;
n = 3, H = \rm 25~m;
O que daria \sqrt{1000}<2\,n-1, dando n = 17?


Obrigado pelo reparo. :wink:
Mas não, a expressão v^\prime_n = (2^n-1)v está correcta, mas havia umas gralhas na minha texagem que levavam à conlusão de que a expressão final estaria errada, como bem apontaste, mas não, havia era uma expressão lá no meio que estava errada:

v^\prime_{i+1} = 2 v_i + v

e não (como estava anteriormente)

v^\prime_{i+1} = v_i + 2 v

Desculpem! :oops:

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Domingo Jan 25, 2009 9:14 pm
por AMiranda
jap Escreveu:Aqui vai a resolução do Quark-mate I.


Reconhece-se aqui a equação de um MHS de frequência angular

\omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho}\frac{1}{gh}}

onde h é a altura do cilindro.


Não será antes \omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho}\frac{g}{h}} ? Não vejo como o g surge em baixo..

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Domingo Jan 25, 2009 9:17 pm
por jap
AMiranda Escreveu:
jap Escreveu:Aqui vai a resolução do Quark-mate I.


Reconhece-se aqui a equação de um MHS de frequência angular

\omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho}\frac{1}{gh}}

onde h é a altura do cilindro.


Não será antes \omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho}\frac{g}{h}} ? Não vejo como o g surge em baixo..


Sim, claro, desculpem, mais uma gralha na texagem! :oops:

Obrigado pelo reparo. Já corrigi.

Quark!-mate II

MensagemEnviado: Segunda Fev 23, 2009 12:16 pm
por fnog
Aqui está o segundo Quark!-mate. Não se esqueçam que o problema dos berlindes é um TPC...

Quark!-mate II

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Quinta Mar 19, 2009 10:34 pm
por jap
Aqui vão as provas do Quark-mate III. :wink:

Sportinguistas é favor absterem-se de enviar comentários à equipa redatorial do q-mate! :lol:


Quark-mate III

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Domingo Mar 29, 2009 6:11 pm
por Drizzel
Esta prova vai ficar para a história... :lol:

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Segunda Mar 30, 2009 8:11 pm
por Drizzel
A correcção da 3ª prova do Quark! - mate será disponibilizada? Pergunto porque gostava de saber se a minha resolução do fantástico exercício 3 :lol: da prova está correcta.

P.S.: Se fosse possível disponibilizar as correcções das provas anteriores era óptimo!

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Segunda Maio 11, 2009 4:31 pm
por hexphreak
Será possível disponibilizar as correcções das últimas provas do Quark!-mate? Especialmente da quarta... :roll:

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Segunda Maio 11, 2009 6:08 pm
por jap
hexphreak Escreveu:Será possível disponibilizar as correcções das últimas provas do Quark!-mate? Especialmente da quarta... :roll:

Vou pedir ao fnog amanhã.

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Segunda Jun 08, 2009 10:15 pm
por Miro
hum, entao e as restantes provas nao vao ser disponibilizadas? nem as resoluçoes?

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Segunda Fev 08, 2010 10:40 pm
por Miro
Miro Escreveu:hum, entao e as restantes provas nao vao ser disponibilizadas? nem as resoluçoes?


up

Re: Provas Quark!-mate

MensagemEnviado: Segunda Fev 08, 2010 11:20 pm
por jap
Miro Escreveu:
Miro Escreveu:hum, entao e as restantes provas nao vao ser disponibilizadas? nem as resoluçoes?


up


Sorry, eu não tenho cópia das provas nem das resoluções, têm mesmo de "chatear" o prof. fnog... 8)