Atwood gigante

Problemas de Física para resolver com recurso à programação.

Re: Atwood gigante

Mensagempor jap em Sábado Fev 14, 2009 1:57 am

Ivo_Timóteo Escreveu:Eu fui pelo método de Euler e consegui uma boa convergência para valores cada vez mais pequenos do dt. Julgo que não é necessário ir aos Runge-kutta... Por isso, ou tenho um factor errado, ou há alguma aproximação que não está muito bem feita...


Não deve ser preciso o RKF45! :lol:

Também posso ser eu quem tenha errado...verifico amanhã! :?
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Re: Atwood gigante

Mensagempor Ivo_Timóteo em Sábado Fev 14, 2009 1:58 am

jap Escreveu:Baixa-se então uma das massa de 10 m em relação à outra e larga-se a massa.


Já percebi a razão da diferença dos valores, eu ao ler isto considerei que uma começava a 95m e a outra a 105 e não

jap Escreveu:massa 1 a 90 m da superfície e massa 2 a 110 m da superfície.


Assim ja obtenho os tais 29 min :)
última vez editado por Ivo_Timóteo s Sábado Fev 14, 2009 12:25 pm, editado 1 vez no total
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Re: Atwood gigante

Mensagempor jap em Sábado Fev 14, 2009 2:18 am

Ivo_Timóteo Escreveu:
jap Escreveu:Baixa-se então uma das massa de 10 m em relação à outra e larga-se a massa.


Já percebi a razão da diferença dos valores, eu ao ler isto considerei que uma começava a 95m e a outra a 105 e não

jap Escreveu:massa 1 a 90 m da superfície e massa 2 a 110 m da superfície.


Assim ja obtenho os tais 29 s :)
ta.

Óptimo! :D

E tens razão, tal como estava o enunciado a tua interpretação era a correcta. Já emendei para

Baixa-se então uma das massa de 10 m em relação à posição inicial e larga-se a massa.


Alguém mais quer tentar fazer um programinho? :P
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Re: Atwood gigante

Mensagempor Cirdaro Larama em Sábado Fev 14, 2009 11:42 am

Ivo_Timóteo Escreveu:Assim ja obtenho os tais 29 s :)


Não serão minutos? :roll:
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Re: Atwood gigante

Mensagempor Bruno Oliveira em Sábado Fev 14, 2009 12:19 pm

Sim Ricardo, são minutos certamente :lol:

jap Escreveu:Sim, tens razão, o comprimento do fio tem de ser maior, já emendei para 200 m. De qualquer forma, o que é importante é que haja fio suficiente para que uma das massas chegue ao solo e a situação inicial é a seguinte: massa 1 a 90 m da superfície e massa 2 a 110 m da superfície.

Ah, e o tempo de queda é próximo do que tu encontraste, mas não igual a esse valor. A mim dá-me cerca de 29 min. :roll:


29 min :P
e^{ix}=cos x + i\,sin x
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Re: Atwood gigante

Mensagempor Tharis em Sábado Fev 14, 2009 1:04 pm

Correndo o risco de estar a mandar um bitaite tremendo, vou pôr aqui um programa que fiz... Ele retornou-me 1200s, mas já estive a testar com outras coisas que me pareceram exequíveis e não o achei muito fiável ...

Código: Seleccionar Todos
def Fr(d):
   M=5.97*10**24
   G=6.67*10**-11
   R=6.35*10**6
   c=200

   num=4*R*d-2*c*R+2*c*d-c**2
   den=(R+c-d)**2 * (R+d)**2

   return G*M*num / den

d=110
v=0
s=0

while d<200:
   v+=Fr(d)
   d+=v
   s+=1

print s,v,d
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Re: Atwood gigante

Mensagempor jap em Sábado Fev 14, 2009 3:14 pm

Para já, parabéns pelo teu aniversário! :hands:

Alguém ajuda a fazer o debug do programa? :roll:
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Re: Atwood gigante

Mensagempor Ivo_Timóteo em Sábado Fev 14, 2009 10:24 pm

Tharis Escreveu:
Código: Seleccionar Todos
def Fr(d):
   M=5.97*10**24
   G=6.67*10**-11
   R=6.35*10**6
   c=200

   num=4*R*d-2*c*R+2*c*d-c**2
   den=(R+c-d)**2 * (R+d)**2

   return G*M*num / den

d=110
v=0
s=0

while d<200:
   v+=Fr(d)
   d+=v
   s+=1

print s,v,d


Em primeiro lugar julgo que devias ter uma variável com o intervalo de tempo com que estas a calcular as sucessivas iterações. Assim tens de trabalhar sempre com um segundo de cada vez o que nem dá uma aproximação muito boa na maior parte dos casos. Por outro lado, sem esse dt, fica mais difícil de se ler em termos de "física".

Analizando o while, estás a procura do momento em que uma massa toca o chão através da outra estar a 200 metros de altura... Um pouco confuso...

Depois, assumindo que a função Fr(x) devolve a força resultante, isto está errado v+=Fr(d) dado que devia ser v+=aceleração*dt.

E agora vem a parte mais confusa:
Código: Seleccionar Todos
   num=4*R*d-2*c*R+2*c*d-c**2
   den=(R+c-d)**2 * (R+d)**2

   return G*M*num / den


Sendo F_1 a força sobre a massa que toca no solo, F_2 a força sobre a outra massa, tens que a F_r em módulo seria
F_r = F1 - F2
F_r = GM_em(\frac{1}{r_1^2}-\frac{1}{r_2^2})

Então a aceleração será
a = \frac{GM_em}{2m}(\frac{1}{r_1^2}-\frac{1}{r_2^2}) = \frac{GM_e}{2}(\frac{1}{r_1^2}-\frac{1}{r_2^2})

Tentaste igualar ao mesmo denominador ou assim? Isso está algo confuso... Tenta corrigir :)
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Re: Atwood gigante

Mensagempor Tharis em Domingo Fev 15, 2009 2:00 am

jap Escreveu:Para já, parabéns pelo teu aniversário! :hands:


Thanks! :D

Ivo_Timóteo Escreveu:Em primeiro lugar julgo que devias ter uma variável com o intervalo de tempo com que estas a calcular as sucessivas iterações. Assim tens de trabalhar sempre com um segundo de cada vez o que nem dá uma aproximação muito boa na maior parte dos casos. Por outro lado, sem esse dt, fica mais difícil de se ler em termos de "física".


Hmm...

Ivo_Timóteo Escreveu:Analizando o while, estás a procura do momento em que uma massa toca o chão através da outra estar a 200 metros de altura... Um pouco confuso...


Não é condição para que a outra massa esteja no chão? Existe algum problema?

Ivo_Timóteo Escreveu:Depois, assumindo que a função Fr(x) devolve a força resultante, isto está errado v+=Fr(d) dado que devia ser v+=aceleração*dt.


Fr está mal (em termos nominais)... Esta função retorna a aceleração... Se dt é 1, não vale a pena multiplicar, right?

Ivo_Timóteo Escreveu:E agora vem a parte mais confusa:
Código: Seleccionar Todos
   num=4*R*d-2*c*R+2*c*d-c**2
   den=(R+c-d)**2 * (R+d)**2

   return G*M*num / den


Sendo F_1 a força sobre a massa que toca no solo, F_2 a força sobre a outra massa, tens que a F_r em módulo seria
F_r = F1 - F2
F_r = GM_em(\frac{1}{r_1^2}-\frac{1}{r_2^2})

Então a aceleração será
a = \frac{GM_em}{2m}(\frac{1}{r_1^2}-\frac{1}{r_2^2}) = \frac{GM_e}{2}(\frac{1}{r_1^2}-\frac{1}{r_2^2})

Tentaste igualar ao mesmo denominador ou assim? Isso está algo confuso... Tenta corrigir :)


Não só tentei igualar ao mesmo denominador como quis pôr toda em função de uma só variável.

Acho que não me enganei:

a = {GM} (\frac{1}{(R_T+d_1)^2} - \frac{1}{(R_T+d_2)^2}) \Leftrightarrow
\Leftrightarrow a = {GM} \frac {(R_T+d_2)^2 - (R_T+d_1)^2}{(R_T+d_1)^2 (R_T+d_2)^2} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow a = {GM}\frac{C.A.}{(R_T+c-d_2)^2 (R_T+d_2)^2} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow a = {GM}\frac{4R_Td_2-2cR_T+2cd_2-c^2}{(R_T+c-d_2)^2 (R_T+d_2)^2}

C.A.
(R_T+d_2)^2 - (R_T+d_1)^2 =
= ((R_T+d_2) + (R_T+d_1)) \times ((R_T+d_2) - (R_T+d_1)) =
= (2R_T+d_1+d_2)(d_2-d_1) =
= (2R_T+c)(2d_2-c) =
= 4R_Td_2 - 2cR_T + 2cd_2 - c^2


Foi isto que fiz... É provável que tenha cometido algum erro "Matemático" e/ou Físico, por isso gostava de ouvir (ver :P) opiniões. :)
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Re: Atwood gigante

Mensagempor Ivo_Timóteo em Domingo Fev 15, 2009 2:36 am

Creio que te falta um factor \frac{1}{2}
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Re: Atwood gigante

Mensagempor Ivo_Timóteo em Domingo Fev 15, 2009 2:43 am

Estas a fazer a diferença das acelerações mas tens de ver que como os corpos estão ligados, a aceleração de ambos, em módulo, vai ser igual.. Assim, tens de encontrar a Fr e só depois é que podes dividir pelo sumatório das massas. (ver post anterior)
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Re: Atwood gigante

Mensagempor Tharis em Domingo Fev 15, 2009 1:33 pm

Ivo_Timóteo Escreveu:Estas a fazer a diferença das acelerações mas tens de ver que como os corpos estão ligados, a aceleração de ambos, em módulo, vai ser igual.. Assim, tens de encontrar a Fr e só depois é que podes dividir pelo sumatório das massas. (ver post anterior)


Ah pois! Está bem! Não tinha reparado. ;)
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Re: Atwood gigante

Mensagempor joao_moreira em Sábado Dez 19, 2009 2:06 am

Aqui está o meu 2º programa em Python (o primeiro foi o obrigatório "Hello World" :P :lol:). Infelizmente o resultado não me deu bem 29 minutos mas sim 35 min. Alguém pode dar uma vista de olhos e tentar chamar-me a atenção para o que está mal ou menos bem no programa sff? ( :wink: )

PS: Peço desculpa pela programação à caloiro :wink:

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Re: Atwood gigante

Mensagempor jap em Sábado Dez 19, 2009 6:27 pm

Naã há nada de errado no teu programa, mas as massas estão a 90 m e 110 m de altura e não a 190 e 210 m. É por isso que não obténs o mesmo tempo de queda

Aqui vai a minha correcção ao teu programa, só questões de estilo... :wink:

Nota que para intervalos de tempo dt pequenos podemos até desprezar as correcções de segunda ordem em dt nas linhas que calculam altura_1 e altura_2;ora experimenta...

Código: Seleccionar Todos
"""
Maquina de Atwood gigante

Fg=GMm/(R**2)
Y=Y0+v0+1/2at**2

(corpo que sobe)
Fr2=T2-Fg2
T2=ma+GMm/(R2**2)

como T1=T2

Fr1=Fg1-T1
ma=GMm/(R1**2)-T
ma=GMm/(R1**2)-ma-GMm/(R2**2)
pondo massas em evidencia, a=GM/(R1**2)-a-GM/(R2**2)
2a=GM/(R1**2)-GM/(R2**2)
a=GM/2*(R1**2)-GM/2*(R2**2)
"""

M = 5.98E24  #Massa da Terra
G = 6.67E-11 #constante gravitacional
R = 6.35E6   #raio da Terra
t = 0.

altura_1 = 90. #altura inicial corpo 1
altura_2 = 110. #altura inicial corpo 2
velocidade = 0. #velocidade instantanea dos corpos
dt = .001       #intervalo de tempo

while altura_1 > 0:
    raio_1 = R + altura_1
    raio_2 = R + altura_2

    a = 0.5*G*M*(1/raio_1**2-1/raio_2**2)

    velocidade += a*dt
               
    altura_1 -= velocidade*dt + 0.5*a*dt**2
    altura_2 += velocidade*dt + 0.5*a*dt**2
   
    t += dt

print "Tempo para atingir o solo",t/60,"s"
print "Velocidade final",velocidade,"m/s"



Resultado:

Tempo para atingir o solo 28.2637499994 s
Velocidade final 0.175620315928 m/s
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Re: Atwood gigante

Mensagempor joao_moreira em Sábado Dez 19, 2009 8:15 pm

Tem razão, li mal os valores, vi o problema muito de repente. :?
Já agora, no fim tem as unidades do tempo de queda em segundos e é em minutos, mas dá para perceber a ideia, obrigado pela ajuda. :D
João Moreira

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