Coleção de cartas

Problemas onde não se procura um resultado exacto mas uma estimativa razoável baseada em ordens de grandeza...

Coleção de cartas

Mensagempor leandrosilva em Quarta Dez 31, 2014 12:05 am

Recentemente andei a rever alguns dos livros que tenho sobre matemática e física e encontrei a seguinte questão:

Supondo que existe uma coleção de cartas com 50 cartas, em média, quantas cartas são necessárias comprar para completar a coleção? (Contando com a possibilidade evidente de serem compradas cartas iguais, é claro.)

Sintam-se livres para fazerem as vossas estimativas ;)
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor jap em Quarta Dez 31, 2014 3:11 pm

Boa questão. :hands:
Claro que se supõe que o vendedor das cartas não rarefaz a oferta de algumas cartas, para aumentar as vendas... :crazy:
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor gonced8 em Quarta Dez 31, 2014 5:24 pm

Estive a pensar um bocadinho no problema e tive a ideia de uma possível resolução, no entanto, não a consigo resolver de modo a chegar a uma solução.
A ideia era resolver como se fosse uma distribuição binomial, passo a demonstrar:
p = C(x,50)\cdot (\frac{1}{50})^{50}\cdot (\frac{49}{50})^{x-50}
Onde x = nº de cartas necessárias comprar.
Consegui desenvolver um pouco a expressão mas depois fiquei "preso" aqui, porque dá um cálculo gigante:
p = \frac{x!}{(x-50)!\cdot 50!}\cdot \left ( \frac{49}{50} \right )^{x}\cdot \left ( \frac{1}{49} \right )^{50}
A ideia era depois num gráfico ver para que valor de x o p tendia para 1.
Talvez seja uma resolução um pouco aldrabada.
Mas também me deparo com algumas questões. A solução do problema depende um bocado de sorte ou, matematicamente falando, da probabilidade de conseguirmos as 50 cartas. Seria um acontecimento quase impossível, mas uma pessoa poderia comprar 50 cartas e essas 50 cartas serem a coleção inteira.
E, usando o modelo binomial, a partir de que valor de probabilidade podemos considerar provável conseguir as 50 cartas ao fim de x tentativas?
Preciso que alguém mostre aqui uma resolução porque fiquei ainda mais confuso.
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor manuelbrandao99 em Quarta Dez 31, 2014 6:15 pm

Deu-me 76, é uma boa aproximação?
Se não for, escuso de postar a resolução xD
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor leandrosilva em Quarta Dez 31, 2014 6:44 pm

Não, não é uma boa aproximação (76 está um pouco longe de ser a solução) :?

@gonced8
O teu método parece razoável. Se bem que pareces estar a complicar. (Apesar de não estar habituado à resolução de distribuição binomial)
Nota que no enunciado coloquei "em média", pelo que podes chegar a um valor médio e à sua incerteza.
Possuo a resolução do problema, mas diria que quero esperar um pouco para ver se alguém consegue resolver.

Que tal uma/duas semana(s) ?

O spoiler contem uma sugestão.
última vez editado por leandrosilva s Quarta Dez 31, 2014 6:55 pm, editado 1 vez no total
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor manuelbrandao99 em Quarta Dez 31, 2014 6:51 pm

leandrosilva Escreveu:Não, não é uma boa aproximação (76 está um pouco longe de ser a solução) :?

@gonced8
O teu método parece razoável. Se bem que pareces estar a complicar. (Apesar de não estar habituado à resolução de distribuição binomial)
Nota que no enunciado coloquei "em média", pelo que podes chegar a um valor médio e à sua incerteza.
Possuo a resolução do problema, mas diria que quero esperar um pouco para ver se alguém consegue resolver.

Que tal uma/duas semana(s) ?

Sugestão: O melhor seria pensar na probabilidade de a carta comprada ser "nova" na coleção.


A probabilidade da primeira carta comprada ser nova é 1, da segunda é 49/50, 48/50, 47/50,...,1/50.
Ou seja a probabilidade de conseguir com 50 cartas é 49*48*...*1/50^50...
A probabilidade de conseguir com 51 é 49^2*48*...*1/50^51, com 52 é 49^3*48*...*1/50^52...
EDIT: E com n é 49^(n-49)*48*47*...*1/50^n
Até aqui estou certo??

Peço desculpa se estiver a dizer um bando de barbaridades, estou no 10º ano...
última vez editado por manuelbrandao99 s Quarta Dez 31, 2014 6:56 pm, editado 1 vez no total
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor leandrosilva em Quarta Dez 31, 2014 7:00 pm

50^n ?
Porque usas potência aqui?

Não estás no caminho totalmente correto, mas não andas assim tão longe.

Não ajudarei muito mais, contudo, caso contrário fica fácil :twisted:

PS: Não estás a dizer assim tantas barbaridades, para alguém no 10º já pareces ter um método de resolução razoável. Faltam, contudo, (aparentemente) conhecimentos de certas àreas na matemática, o mesmo vale para mim (ando no 11º). (Receio que o ensino secundário seja bastante superficial em alguns conteúdos).
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor manuelbrandao99 em Quarta Dez 31, 2014 7:03 pm

leandrosilva Escreveu:50^n ?
Porque usas potência aqui?

Não estás no caminho totalmente correto, mas não andas assim tão longe.

Não ajudarei muito mais, contudo, caso contrário fica fácil :twisted:

PS: Não estás a dizer assim tantas barbaridades, para alguém no 10º já pareces ter um método de resolução razoável. Faltam, contudo, (aparentemente) conhecimentos de certas àreas na matemática, o mesmo vale para mim (ando no 11º). (Receio que o ensino secundário seja bastante superficial em alguns conteúdos).


50^n porque estive a multiplicar 49/50*48/50... sempre assim e uma multiplicação de frações a/b*c/d é (a*c)/(b*d)
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor leandrosilva em Quarta Dez 31, 2014 7:07 pm

Oops.

Right, não tinha reparado nesse pormenor.

Deixar-te-ei a pensar no problema, considera um desafio :')
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor gonced8 em Quarta Dez 31, 2014 7:38 pm

Estive a pensar mais um pouco no problema. Antes de mais, desculpem não meter os cálculos "bonitos", mas estou no telemóvel.
A probabilidade de comprarmos 50 cartas e obtermos logo a coleção inteira é, como já foi dito, de 50!/(50^50).
Vou agora arriscar e dizer que podemos obter o n° de cartas necessárias comprar através de uma regra 3 simples:
1 * 50 / (50!/(50^50)) = (50^50)/49! ~ 1.46*10^22
Eu tenho quase a certeza que o raciocínio está mal, mas não perco nada em tentar.
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor leandrosilva em Quarta Dez 31, 2014 8:04 pm

Não tenho a certeza quanto à probabilidade de obter logo a coleção inteira, não gosto muito do ^50, podes explicar um pouco?

Quanto ao resultado em baixo, tal como dizes, está errado, seria um número absurdo, pobres miúdos que fazem coleção :XD
Deixar-te-ei a pensar, parece-me razoável :)

O que dizes quanto a publicar a solução daqui a uma/duas semanas, Gonçalo?
Não estou certo quanto ao tempo que devo esperar...
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor gonced8 em Quarta Dez 31, 2014 8:29 pm

Publica daqui a uma semana (ou o mais cedo possível).
50/50 * 49/50 * 48/50 * ... * 1/50 = (50*49*48*...*1) / (50*50*50*...*50) = 50!/(50^50)
E, sinceramente, não estou a conseguir ver como é que é a resolução
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor gonced8 em Sexta Jan 02, 2015 7:34 pm

De repente, surgiu-me uma ideia para este problema e vou aqui partilhá-la.
A probabilidade de a primeira carta ser nova na coleção é de 1.
A probabilidade de a segunda carta ser nova na coleção é de 49/50, a da terceira ser nova é de 48/50, a da quarta ser nova é de 47/50... e assim em diante até à de última ser nova que é de 1/50.
Ao comprarmos uma carta há a hipótese de ser nova na coleção ou não, por isso, quando compramos a segunda, pode calhar uma repetida ou uma das 49 outras novas. Na terceira pode calhar uma das 2 repetidas ou umas das 48 outras novas. ...
Por isso, penso que ao comprarmos a segunda carta, devíamos comprar 2 cartas; ao comprarmos a terceira carta, devíamos comprar 3 cartas... e assim até comprarmos quinquagésima carta.
1+2+3+4+5+6+...+47+48+49+50 = S(50)=50*(1+50)/2 = 1275 cartas
Penso que isto pode ser um valor aproximado do nº de cartas que precisaríamos de comprar para completar a coleção, no entanto, também estou um pouco inseguro.
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor leandrosilva em Sexta Jan 02, 2015 7:54 pm

Raciocínio interessante.
No entanto, aconselho a reveres algumas partes.

A resposta esta errada. :twisted:
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor gonced8 em Sábado Jan 03, 2015 12:06 am

Penso que talvez tenha chegado à solução:
A probabilidade de a 1ª carta ser nova é de 1.
A probabilidade de comprar a 2ª carta nova é de 49/50, ou, por outras "palavras", (50-1)/50.
A probabilidade de comprar a 3ª carta nova é de 48/50, (50-2)/50.
Ou seja, a probabilidade de comprar a xª carta nova é de (50-(x-1))/50.
Eu ainda não sabia isto, mas depois de alguma pesquisa, aprendi que a probabilidade de comprar uma carta nova pode ser descrita por uma distribuição geométrica, pois há reposição e a probabilidade vai variando (acho que estou a dizer isto bem).
Ora numa distribuição geométrica, o valor médio ou valor esperado é dado por E(X)=1/P.
Neste caso, este cálculo dar-nos ia quantas cartas teríamos de comprar para obter 1 carta nova, por isso, temos que fazer o cálculo correspondente a cada uma das 50 cartas e depois somar todos. Teríamos:
E(x)=\frac{1}{P} =\frac{1}{\frac{50-(x-1))}{50}}=\frac{50}{51-x}
Em que x representa uma carta nova (quando x=1 representa a 1ª carta nova, x=2 a 2ª carta nova...)
O total de cartas necessárias comprar é dado pela soma dos valores de E(x) , x={1,2,3,...,50}:
E(1)+E(2)+...+E(50)=
=\frac{50}{51-1}+\frac{50}{51-2}+...+\frac{50}{51-50}
=50\times \left (\frac{1}{51-1}+\frac{1}{51-2}+...+\frac{1}{51-50}\right )
=50\times \left (\frac{1}{50}+\frac{1}{49}+...+\frac{1}{1}\right )
=50\times \left (\sum_{i=1}^{50}\frac{1}{i}\right )
=224.96\approx 225
Por isso, se o raciocínio e os cálculos estiverem bem, seria preciso comprar aproximadamente 225 cartas para que se completasse a coleção.
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