Mudanças de variável no cálculo

por **robespierre** em Sexta Nov 20, 2009 9:53 pm

Suponhamos que queremos determinar o trabalho produzido por uma força sobre um dado corpo entre x_1

e

, a uma dimensão portanto:

$W_F= \int_ {x_1}^{x_2} F dx = \int_ {x_1}^{x_2} ma dx$

Como a= $\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v \frac{dv}{dx}$

Substituindo na equação anterior,

$W_F= \int_ {x_1}^{x_2} m \frac{dv}{dx}v dx$

Cortando os dx, fica

$\int_ {v_1}^{v_2} mv dv$

que vai depois dar o conhecido resultado

$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{1}{2}mv_2^2$

Onde está então a minha dúvida? Está na operação de cortar os

. Sempre pensei que, da mesma forma que $\frac{dx}{dt}$ não é verdadeiramente uma fracção, só uma maneira de escrever "derivada de x em ordem a t", então $\int F dx$ também não é o integral do produto de F por x. Contudo, no caso acima, que presumo esteja certo, assumimos que F dx

é mesmo um produto. Isto é um truque sujo, que se usa para trocar variáveis, ou é mesmo verdade? Qual o verdadeiro significado de, por exemplo,

?

por **Bruno Oliveira** em Sexta Nov 20, 2009 10:15 pm

Creio que isso depende do contexto... :roll:

.

Por exemplo, se quiseres achar o volume da esfera (centrada em (0,0,0)

com um integral, podes pensar em metade da esfera, i.e., limite inferior do integral a valer 0 e superior a valer R (raio da esfera). Assim, podes ainda assumir que o volume da semi-esfera é a soma de infinitos cilindros com espessura considerada infinitesimal.

Com um desenho facilmente se chega a:

$V_{semi-esfera}=\displaystyle \int_{0}^{R} \pi \, \left(- z^2 + R^2\right) dz$

Neste caso, o dz, que formalmente representa uma integração em ordem a Z, vai ser a altura (infinitesimal) dos infinitos cilindros... :roll:

por **robespierre** em Sexta Nov 20, 2009 11:21 pm

Olá Bruno,

Obrigado pela resposta. Não me consegui explicar bem

. O que queria perguntar era se dx, por exemplo, é uma espécie de $\Delta x$ infinitesimal, que se soma, subtrai ou se multiplica (Ok, o integral é definido assim), ou se é só um sinal, como +, ou -, para mostrar que se está a derivar em ordem a x.

por **jap** em Sexta Nov 20, 2009 11:28 pm

robespierre Escreveu:Olá Bruno,

Obrigado pela resposta. Não me consegui explicar bem . O que queria perguntar era se dx, por exemplo, é uma espécie de $\Delta x$ infinitesimal, que se soma, subtrai ou se multiplica (Ok, o integral é definido assim), ou se é só um sinal, como +, ou -, para mostrar que se está a derivar em ordem a x.

Se perguntares a um matemático a resposta é um redondo não; se perguntares a um físico, obterás um redondo sim. :lol:

Já desde o tempo de Newton e Leibniz que perdura este despique... :lol:

Don't worry, é possível demonstrar o teorema da energia sem fazer "truques sujos" com os dx (alguém se candidata?); não que ganhes muito em proceder com maior rigor matemático, os cálculos que fizeste não são assim tão marados quanto isso! :lol:

por **robespierre** em Sexta Nov 20, 2009 11:42 pm

Se perguntares a um matemático a resposta é um redondo não; se perguntares a um físico, obterás um redondo sim. Já desde o tempo de Newton e Leibniz que perdura este despique...

Don't worry, é possível demonstrar o teorema da energia sem fazer "truques sujos" com os dx (alguém se candidata?); não que ganhes muito em proceder com maior rigor matemático, os cálculos que fizeste não são assim tão marados quanto isso!

Ainda bem, era a resposta que eu queria ouvir

por **Ângela Guerra** em Sábado Nov 21, 2009 12:17 pm

Eu fiz a demonstração, mas em função de t, que me facilita um pouco os cálculos. Agora não tenho tempo de a escrever (por causa do LaTeX :XD

), mas posso postar mais tarde. Usei integração por partes.

por **Ângela Guerra** em Sábado Nov 21, 2009 2:03 pm

Então aí vai:

$W_{F}= \int m \frac{dv}{dt} dx$
$W_{F}= \int m \frac{dv}{dt} v dt$
$W_{F}=m \int \frac{dv}{dt} v dt$
$W_{F}=m \frac {v_{B}^{2}}{2} - m \frac {v_{A}^{2}}{2}$

(Esqueçam a integração por partes. Ando com a mania de complicar o que é simples...

por **jap** em Sábado Nov 21, 2009 3:43 pm

Ângela Guerra Escreveu:Então aí vai:

$W_{F}= \int m \frac{dv}{dt} dx$
$W_{F}= \int m \frac{dv}{dt} v dt$
$W_{F}=m \int\frac{dv}{dt}v dt$
$W_{F}=m \frac {v_{B}^{2}}{2} - m \frac {v_{A}^{2}}{2}$

(Esqueçam a integração por partes. Ando com a mania de complicar o que é simples...

E sem cortar os dt's porque a primitiva d e $v(t)\frac{dv}{dt}$ é $\frac{v(t)^2}{2}$ ... :wink:

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