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Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Domingo Nov 30, 2008 6:57 pm
por sagardipak
Sim, o produto escalar não é um vector. Daí se chamar escalar, é apenas um número. Existe outro tipo de produto entre vectores e esse, sim, resulta num vector. É chamado de produto vectorial, e o vector resultante tem a magnitude \vec a \cdot \vec b \sin \theta. A direcção é perpendicular aos dois vectores e o seu sentido é definida pela regra da mão direita.

A minha dúvida não era sobre como definir o produto, mas porquê o definir dessa maneira. Porque razão se usaria o co-seno em vez do seno para o produto escalar? Não poderá existir um produto vectorial que não use o seno? A minha dúvida era porquê definir a operação dessa maneira, que parece tão aleatória. Hoje em dia, convenço-me que é pela sua utilidade em problemas muito comuns em física, como o cálculo do trabalho de uma força (e, realmente, é útil :P )

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Domingo Nov 30, 2008 7:18 pm
por RicardoCampos
Matrizes e produtos escalares combinam bem.

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Segunda Dez 01, 2008 6:29 pm
por jap
sagardipak Escreveu:(...)
A minha dúvida não era sobre como definir o produto, mas porquê o definir dessa maneira. Porque razão se usaria o co-seno em vez do seno para o produto escalar?
(...)


O produto escalar surge naturalmente no contexto da projecção de um vector numa dada direcção. Seja \vec v esse vector e \hat u, um versor do eixo orientado que representa a direcção segundo a qual pretendes projectar o vector.

Então, a projecção do vector \vec v na direcção definida por \hat u é

|v| \cos \alpha,

onde \alpha é o ângulo entre \vec v e \hat u.

Ora esta projecção é simplesmente

\vec v \cdot \hat u = \frac{ \vec v \cdot \vec u}{|\vec u|}.

Portanto, o produto escalar surge como uma "necessidade" em cálculo vectorial e geometria analítica e nasceu, naturalmente, neste contexto. E, sendo assim, a definição só poderia ter "nascido" com \cos \alpha e não outra função trigonométrica! :lol:

A noção de produto escalar generalizou-se mais tarde, aliás como a noção de vector. Por exemplo, uma função pode ser considerada um vector num espaço vectorial de funções - em Mecânica Quântica a função de onda que descreve uma partícula é um vector do espaço das funções de onda (o chamado espaço de Hilbert). Neste caso também se define um produto escalar que já não tem propriamente a ver com a definição geométrica acima, mas ainda retêm a íntima associação com a noção de "projecção de um vector" (neste caso a função de onda)...

Enfim, só para esclarecer que a noção matemática de produto escalar nasceu num certo contexto bem definido e depois generalizou-se ao ponto de ser possível de encontrar este conceito em contextos que se afastam muito do original. Isto acontece com muitos conceitos de matemática. Infelizmente, hoje é pratica comum ensinarem-se os conceitos de forma tão abstracta e geral que dá ideia que alguém um dia acordou e resolveu definir isto e aquilo porque sim - nada mais longe da verdade!

No produto escalar, como no vectorial, e em tudo o resto, há sempre uma boa razão porque alguém se lembrou um dia de definir um dado conceito. Infelizmente é muito comum os matemáticos perderem a noção original que deu origem ao conceito, partindo de uma definição sem justificação histórica. Nesse caso, os Físicos têm, tipicamente, melhor memória! :lol:

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Terça Out 13, 2009 8:53 pm
por blackroger
O produto escalar vem apenas de juntar dois vectores e aplicar-lhe a lei dos co-senos. Vamos ver como.

Não vou aqui demonstrar, mas recorrendo a um pouco de trigonometria e ao velhinho teorema de pitágoras, sabemos que a lei dos co-senos é:

C^2=A^2+B^2-2AB \cos \alpha

Agora, como criamos um vector a partir de outros dois?

Somando ou Subtraindo. Mas para criarmos um \vec{C} para aplicar o teorema de pitagoras facilmente e com a medida pretendida, dizemos que o \vec{C}=\vec{B}-\vec{A}

Então \vec{C}^2=(\vec{B}-\vec{A})^2

Vamos então igualar as duas expressões.

\vec{C}^2=(\vec{B}-\vec{A})^2 =
 = |\vec{B}|^2-2\vec{A}\vec{B}+|\vec{A}|^2

|\vec{B}|^2-2\vec{A}\vec{B}+|\vec{A}|^2=A^2+B^2-2AB\cos \alpha

cortando o A, o B e o -2, ficamos com o produto escalar de um vector (que é o produto de cada uma das suas coordenadas)

\vec{A}\vec{B}=|A||B|\cos \alpha

Espero ter ajudado. Se não for claro porque é que o produto dos vectores é pelas suas coordenadas, relembro que estamos a ver o módulo de C, que usando o teorema de pitágoras, é o módulo na 1º coordenada mais o módulo na segunda coordenada e, fazendo os passos acima, leva-nos ao produto de cada uma das coordenadas.

Espero ter ajudado! :D

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Terça Out 13, 2009 9:37 pm
por Tharis
@blackroger, não sei muito bem a tua experiência em fóruns, mas existe uma coisa que é chamada "ressuscitar tópicos" e isto só deve ser feito quando o "ressuscitador" tiver uma dúvida sobre esse assunto ou se quiser actualizar alguma coisa (uma notícia por exemplo).

Se reparares nas datas, existe quase o desfasamento de um ano. E eu (entre outros) acredito que o Sagar saiba agora o produto escalar.

Cumprimentos ;)

P.S.: Claro que fica muito bem para o futuro, mas mesmo assim...

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Terça Out 13, 2009 9:49 pm
por blackroger
Tharis Escreveu:@blackroger, não sei muito bem a tua experiência em fóruns, mas existe uma coisa que é chamada "ressuscitar tópicos" e isto só deve ser feito quando o "ressuscitador" tiver uma dúvida sobre esse assunto ou se quiser actualizar alguma coisa (uma notícia por exemplo).

Se reparares nas datas, existe quase o desfasamento de um ano. E eu (entre outros) acredito que o Sagar saiba agora o produto escalar.

Cumprimentos ;)

P.S.: Claro que fica muito bem para o futuro, mas mesmo assim...


É bem verdade, por acaso... Mas esta demonstração não estava em mais lado nenhum e a dúvida, ao meu ver, deve persistir em muita gente, é pertinente.
Em vez de abrir um tópico novo, temos um tópico já concreto sem resposta para isto, porque não "ressuscitar" este e ficar um registo para o futuro?

:D

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Quinta Out 22, 2009 5:47 pm
por sagardipak
Obrigado pela resposta desfasada :P Gostava só de esclarecer que o produto escalar não vem da lei dos senos e de adicionar vectores mas, em vez disso, pode ser calculado com essas ferramentas após ser definido arbitrariamente (foi o que fizeste). As proposições implícitas que usaste para o definir foram:

1. É uma função definida de V^2 para \mathbb{R}, em que V é um espaço vectorial, da seguinte maneira (isto é quase necessário se lhe quisermos dar o nome "produto escalar" :P ):

f : V^2 \longrightarrow \mathbb{R}
(\vec{a},\vec{b})\longmapsto \vec{a} \cdot \vec{b}

2. Goza da propriedade distributiva:

blackroger Escreveu:\vec{C}^2=(\vec{B}-\vec{A})^2 = |\vec{B}|^2-2\vec{A}\vec{B}+|\vec{A}|^2


3. Goza da seguinte igualdade (usaste esta última implicitamente depois da propriedade distributiva e quando disseste "Vamos então igualar as duas expressões."):

\vec{C}\cdot\vec{C}=|C|^2

A partir destas três proposições é possível deduzir a fórmula do produto escalar, como fizeste (o contrário também é possível), mas é impossível deduzi-lo naturalmente, pois é uma definição arbitrária...

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Sábado Out 24, 2009 10:51 pm
por jap
sagardipak Escreveu:Obrigado pela resposta desfasada :P Gostava só de esclarecer que o produto escalar não vem da lei dos senos e de adicionar vectores mas, em vez disso, pode ser calculado com essas ferramentas após ser definido arbitrariamente (foi o que fizeste).
(...)


O produto escalar vem mesmo de adicionar vectores, teorema de pitágoras, e tudo isso, o que acontece é que se generalizou (mais tarde) este conceito, abstraindo-o da sua "origem". É claro que, hoje em dia, é perfeitamente possível definir produto escalar num espaço vectorial abstracto sem referência "àqueles vectores com setinhas", ou seja, os vectores são entidades abstractas e podem ser concretizadas de muitas formas. Por exemplo, as funções "bem comportadas" podem ser consideradas vectores num espaço vectorial, de dimensão infinita e aí define-se um produto escalar de uma forma que parece bem distante do teorema de pitágoras e da lei dos senos, obedecendo àquelas propriedades que o Sagar referiu, por exemplo

f(x) \cdot g(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)g(x)dx

Este espaço vectorial é muito útil em Física! E podia dar muitos outros exemplos. No entanto, este como muitos outros conceitos de Matemática que os matemáticos gostam de apresentar de uma forma muito abstracta e geral, têm raízes bem concretas. Acho divertido quando alguns colegas matemáticos falam de alguns ramos da matemática (por exemplo, teoria de grupos) que foram de tal modo abstaídos da sua motivação e aplicação original, que já nem conseguem relacionar o conceito abstracto com a sua aplicação prática - ou seja o problema (físico ou de matemática) para o qual aquelas ferramentas (depois teorias) foram criadas! :lol:

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Domingo Out 25, 2009 7:09 pm
por RicardoCampos
Há tantas coisas que são generalizadas com base nos exemplos que são conhecidos. Os produtos internos, as normas, as distâncias, os espaços vectoriais, os grupos, os anéis, os corpos... Toda a topologia geral é criada com base no \mathbb{R}^n.

Mas ainda assim, a minha definição favorita de espaço vectorial é a seguinte.

Dizemos que V é um espaço vectorial se qualquer elemento de V tem uma setinha em cima.

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Domingo Out 25, 2009 9:38 pm
por jap
RicardoCampos Escreveu:(...)

Dizemos que V é um espaço vectorial se qualquer elemento de V tem uma setinha em cima.


:lol:

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Domingo Out 25, 2009 9:59 pm
por Tharis
RicardoCampos Escreveu:Dizemos que V é um espaço vectorial se qualquer elemento de V tem uma setinha em cima.


EPIC! :mrgreen: :hands:

Re: Produto escalar

MensagemEnviado: Quinta Nov 05, 2009 10:13 pm
por blackroger
Apoiado Ricardo!

Eu além das definições anteriores, quis também estabelecer o paralelismo entre o produto escalar ter a haver com a projecção, cos mas também com o produto das coordenadas, que não estava bem explicado antes.

Ok, quando falamos de espaço vectorial, foi-me implícito que é qualquer noção matemática com propriedades lineares (f(a+b)=f.a+f.b e outras ditas acima).

Ou então tem uma seta em cima :D

PS:Não podemos esquecer a notação de dirac em mecânica quântica em que vectores também são escritos com "bras" e "kets", uma dentro de uma seta gigante para a esquerda ou direita, querendo fundamentalmente dizer que é o complexo conjugado num espaço vectorial em C :XD

Espero não ter baralhado mais! :wall: