Quark!

Ora bom dia!

Eu penso que esta questão é bastante matemática, e muito pouco física. Mas visto que isto vê a sua aplicação na física ( ) vou fazer a pergunta na mesma.

Nas aulas de matemática aprendemos como calcular o produto escalar de dois vectores, mas eu ainda não percebi bem de onde vem a fórmula, ou porque é que ela é assim.



Eu pensava que a natureza desta fórmula era pegar na componente de um vector com a mesma direcção do outro e multiplicar essas normas, mas agora tenho dúvidas...

Para isto não ficar muito matemático, sempre pensei assim por causa da fórmula do trabalho que se aprende no 10º ano, que é claramente uma aplicação deste produto escalar.

E já agora, um bónus para quem quiser responder e estiver inspirado, porque é que o produto vectorial usa o seno e não o co-seno? (Ok, esta não é tão necessário responder)

Obrigado!

Já aprendi o produto escalar há algum tempo (não nas aulas), mas penso que esta é a interpretação geométrica:

Se tiveres dois vectores, podes considerar um deles, A, como o teu eixo, digamos, dos xx. Nesse caso, o seu comprimento corresponde à abcissa. O outro vector, B, é representado completamente pela abcissa e pela ordenada, e em que é o ângulo que B faz com A.

Ora bem, como o produto escalar é a soma do produto das coordenadas respectivas, temos que (já que a ordenada de A é 0)

Ora, por definição, o producto escalar é ... Como podes constatar, trigonometricamente,


Concluis imediatamente que

Então é basicamente o que eu pensava... Pegar na projecção de um vector com a direcção do outro e multiplicar. Porque será que se lembraram disto?

Talvez porque precisaram de saber o ângulo entre dois vectores e só sabiam as suas coordenadas. Este ângulo dá-nos a direcção entre os dois vectores, que é utilizada tantas vezes em Física, como na expressão que referiste

E esta é um bónus que vem do The Road to Reality (não directamente): consegues dar um exemplo de interpretação física do produto escalar? Quando digo interpretação não quero dizer algo do género do trabalho, mas qualquer coisa como a interpretação física da derivada. Pode ajudar se te lembrares da velocidade ou da aceleração...


P.S.: O meu número de posts cabe à justa em 7 bits

Sim, a derivada (taxa de variação) da posição é a velocidade, a da velocidade é a aceleração. Inversamente, a primitiva da aceleração é a velocidade e a da velocidade é a posição (em relação ao tempo).

Mas não percebi o que querias perguntar xD Se consigo exprimir o conceito de produto escalar em termos de aplicação física? O trabalho é um exemplo, mas não estou mesmo a ver o que queres dizer...

PS: Posta lá o teu 10000000

Ou seja, a derivada é uma taxa de variação, e é essa a interpretação física. Qual achas que será a do produto escalar? O trabalho é um exemplo particular que te pode ajudar a chegar lá, e também tem a ver com variações


P.S.: SHL 1,7 posts!

Pff, nunca nesta vida mortal chego lá!

Aí estão as tuas influências, "nesta vida"

Se considerarmos o exemplo do trabalho, temos o produto escalar da força pelo deslocamento... Mas a força faz variar a variação do deslocamento! O produto escalar é uma espécie de derivada de segunda ordem (não literalmente! ), multi-dimensional - assumindo que temos unidades coerentes, senão a operação não faz sentido.

Depois há muita coisa envolvendo campos vectoriais, 1-forms e outros tópicos abstrusos em que tens de ler cada página 3 vezes para perceber Mas fazer interpretações deste género - e esperemos que o Prof. Paixão não tenha alguma objecção de monta - ajuda muito, torna as coisas mais intuitivas.

Vou reavivar este tópico, pois eu partilho a dúvida do sagardipak.

A explicação do hexphreak baseia-se na afirmação:

o produto escalar é a soma do produto das coordenadas respectivas

Como se prova isto?Ou o produto escalar é a soma do produto das coordenadas respectivas por definição?

Eu imaginei (provavelmente erroneamente) que o produto escalar era a norma de um vector resultante da multiplicação de dois outros.

Neste sentido, partindo do exemplo do hexphreak:

-por teorema de pitágoras

Porque ,



P.S.:Não sei escrever o sinal de raíz...
P.P.S.:sei que o problema não tem directamente a ver com a física, mas ele ajudar-me-à a perceber a questão do trabalho realizado por uma força

Podes tomar qualquer uma das proposições como a definição de produto escalar. Em geral, é mais utilizada a definição analítica e a interpretação geométrica é considerada como um teorema decorrente da definição em , por uma questão de abstracção e de generalidade.

Geometricamente o produto escalar não é, no entanto, a norma de um "vector produto". O produto de dois vectores cujo resultado é um terceiro vector é designado produto vectorial (por contraste com o produto escalar), e a norma deste vector resultante num espaço Euclidiano é .

Se quiseres utilizar uma definição geométrica (i.e. ), podes seguir o meu raciocínio acima na direcção inversa, para atingires a interpretação analítica.

Muito obrigado por mais uma explicação, hexphreak.

robespierre Escreveu:

o produto escalar é a soma do produto das coordenadas respectivas

Como se prova isto?Ou o produto escalar é a soma do produto das coordenadas respectivas por definição?
(....)

Vamos tomar como definição a geométrica:



Escrevamos os vectores num referencial cartesiano:






onde , e são os vectores unitários (versores) segundo os eixos cartesianos , e .


Ora, atendendo à propriedade distributiva do produto escalar (que podem demonstrar a partir da definição geométrica), temos que:



Ora é fácil constatar, da definição geométrica que:

(os versores são perpendiculares),

o mesmo acontecendo para todos os produtos "cruzados", e que



Na soma acima então restam apenas os termos não cruzados:

, q.e.d.

Espero ter ajudado.

Obrigado pelas ajudas nas deduções.

Já percebi como se passa da definição analítica para geométrica e vice-versa.

Corrijam-me se estiver errado, mas o produto escalar não é nenhum vector como eu pensava, sendo definido (por convenção?) por qualquer das definições anteriormente enunciadas.