Problemas Alnilam:DM1. Brincando com PositrónioUm eletrão

e um positrão

, cada um de massa

, ligados por uma energia de ligação

num positrónio, aniquilam-se em dois fotões.
a) (30%) Calcula a energia, momento linear, velocidade e frequência dos fotões (no referencial de inércia do positrónio).
b) (70%) O positrónio afasta-se do observador de laboratório com velocidade v e aniquila-se, como mostra a figura. Calcula a frequência do fotão medida por esse observador em função da frequência do positrónio no seu referencial de inércia.

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DM2. Quadrivetores FTW!Considera o movimento relativista uniformemente acelerado (i.e. retilíneo) para o qual a aceleração

(em cada instante de tempo) se mantém constante no referencial de inércia próprio.
a) (20%) Mostra que o quadrivetor velocidade se dá pela seguinte expressão:

b) (25%) Mostra que é condição desse movimento:

c) (25%) Recorrendo à expressão em b), mostra que, para um referencial fixo (i.e. em que a aceleração é paralela à velocidade):

d) (25%) Mostra que:

, com

em

, e

, com

em

e) (5%) Mostra que as expressões em d) tendem para o limite clássico quando

.
(Sendo que:
é o quadrivetor posição
é o tempo próprio
é o vetor velocidade (3D)
é o quadrivetor velocidade e
é o quadrivetor aceleração.)PM1.Depois de um assalto a um banco, os assaltantes fogem num carro vermelho perseguidos pela polícia num carro azul. Inicialmente, os dois carros deslocam-se com a mesma velocidade

.
De seguida, os assaltantes decidem acelerar e aumentam a sua velocidade para

, enquanto o carro da polícia mantém a velocidade constante.
O polícia acha que eles devem ter pouca gasolina e decide calcular quanta gasolina os assaltantes gastaram para aumentar a sua velocidade. Desprezando qualquer dissipação, ele conclui que o trabalho realizado pelo motor do carro vermelho é igual ao aumento da energia cinética. No seu referencial, o carro vermelho começou parado e acabou com velocidade

. Logo, o trabalho realizado pelo motor do carro dos assaltantes foi

onde m é a massa do carro. Quando o polícia comunica este resultado à central, fica muito admirado porque eles não concordam. Na opinião da central, o trabalho realizado pelo motor dos assaltantes foi maior, dado que, no referencial da central, a variação de energia cinética no carro dos assaltantes foi

Quem tem razão? Porquê?
PM2.Um homem com 2m de altura prepara-se para fazer bungee jumping" a partir de uma plataforma situada a 25m de altura sobre um lago. Uma ponta da corda elástica está amarrada ao seu pé e a outra ponta está amarrada à plataforma. Ele deixa-se cair a partir da posição vertical.
O comprimento e as propriedades elásticas da corda são escolhidas de tal forma que a sua velocidade é reduzida a zero quando a sua cabeça atinge a superfície da água. No final do salto, o homem fica pendurado na corda com a sua cabeça a 6m (se calhar é 7m, ou talvez 8m, não sei bem porque tirei fotografia e agora nao consigo perceber -.-) acima da água.
Qual o comprimento natural da corda (sem estar esticada)?
Qual a velocidade e aceleração máximas atingidas durante o salto?
RC1. (só o aquecimento):Dois blocos uniformes de comprimento

estão empilhados (um em cima do outro) num degrau. Encontra a distância horizontal máxima

da borda do degrau à borda do bloco de cima tal que o sistema não caia do degrau. Nota: Os blocos não têm de estar alinhados.
RC2. (não muito fácil):Num certo espaço infinito existe um fluido incompressível de densidade

e a uma pressão

que ocupa todo esse espaço. A certa altura, forma-se magicamente uma bolha de vácuo de raio

. Devido à pressão, logicamente, a bolha colapsa. Calcula o tempo

que a bolha demora até colapsar completamente.
RC3. Problema extra! (para os rambos do fórum)Prova que, para um fluido incompressível com velocidade de fluxo

, densidade

, a pressão

e viscosidade dinâmica

, onde atua uma força resultante

, a equação diferencial

admite soluções "bem comportadas".
"Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible." - Richard Feynman