QTT III

por **joaofrme** em Sexta Set 12, 2014 10:04 pm

Eu só voltei hoje de Coimbra, já sei quais são os problemas, mas não tive tempo de os Pôr em formato digital, só amanhã eu trato disso. E preferiria que não começassem sem mim, que ainda tenho problemas para vos suar

por **duarte.magano** em Domingo Set 14, 2014 10:56 pm

Ainda nem todos enviaram os seus problemas, mas acho que é melhor começarmos o QTT esta noite.
Os que faltam que, por favor, me enviem assim que puderem. Obrigado.

por **duarte.magano** em Domingo Set 14, 2014 11:04 pm

Equipas do QTT III:

Mintaka:
Catarina Alves (c)
António Carneiro
João Melo

Alnilam:
Duarte Magano (c)
Paulo Mourão
Rui Carneiro

Alnitak:
Diogo Cruz (c)
António Coelho
Manuel Brandão

por **duarte.magano** em Domingo Set 14, 2014 11:11 pm

Problemas Mintaka:

CA1. Moving plane
A block of mass m is held motionless on a frictionless plane of mass M and angle of inclination θ. The plane rests on a frictionless horizontal surface. The block is released. What is the horizontal acceleration of the plane?

CA2. Clock on a tower
A clock starts on the ground and then moves up a tower at constant speed v. It sits on top of the tower for a time T and then descends at constant speed v. If the tower has height h, how long should the clock sit at the top so that it comes back showing the same time as a clock that remained on the ground? (Assume v << c.)

ACa1.
Determine a expressão do tempo que duas massas m_1

e

, separadas por uma distância r_0,

demoram a colidir, unicamente devido à atração gravítica.
PS: Wolphram Alpha permited xD

ACa2.
Um reservatório está cheio até uma altura

com fluído de massa volúmica $\rho$ . A que altura se deve fazer um furo de maneiras que o fluído atinja a maior distância?

JM1.
Duas fontes luminosas pontuais e coerentes, S1 e S2, estão sobre uma reta
perpendicular a um ecrã. A distância entre as duas fontes é $L = 2\lambda$ , onde $\lambda$ é o
comprimento de onda da luz. A distância entre S2 e o ecrã é $D \gg \lambda$ .
No ponto O do ecrã, que está alinhado com as fontes, observa-se um máximo
de interferência rodeado de um anel brilhante. Determinar o raio do anel.

JM2.
Imaginem um planeta esférico de raio r_0

cuja densidade varia com a seguinte função: $\rho (r)=\rho _0 \dfrac{r}{r_0}$ . Sendo

a massa total do planeta qual é o campo gravítico em todo o espaço em função de

,

e da distância ao centro?

por **duarte.magano** em Domingo Set 14, 2014 11:19 pm

Problemas Alnilam:

DM1. Brincando com Positrónio
Um eletrão e^-

e um positrão e^+

, cada um de massa m_e

, ligados por uma energia de ligação E_b

num positrónio, aniquilam-se em dois fotões.
a) (30%) Calcula a energia, momento linear, velocidade e frequência dos fotões (no referencial de inércia do positrónio).
b) (70%) O positrónio afasta-se do observador de laboratório com velocidade v e aniquila-se, como mostra a figura. Calcula a frequência do fotão medida por esse observador em função da frequência do positrónio no seu referencial de inércia.

: Screen Shot 2014-09-10 at 10.27.40 PM.png (26.31 KiB) Visualizado 9660 vezes

DM2. Quadrivetores FTW!
Considera o movimento relativista uniformemente acelerado (i.e. retilíneo) para o qual a aceleração w_0

(em cada instante de tempo) se mantém constante no referencial de inércia próprio.
a) (20%) Mostra que o quadrivetor velocidade se dá pela seguinte expressão:
$U^{\mu}=\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}=(\dfrac{c}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, \dfrac{\vec{v}}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}})=(c\gamma, \vec{v}\gamma)$
b) (25%) Mostra que é condição desse movimento:
$w^{\mu}w_{\mu}= constante = -{w_0}^2$
c) (25%) Recorrendo à expressão em b), mostra que, para um referencial fixo (i.e. em que a aceleração é paralela à velocidade):
$\dfrac{d}{dt}\dfrac{v}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=w_0$
d) (25%) Mostra que:
$x=\dfrac{c^2}{w_0}(\sqrt{1+\dfrac{{w_0}^2t^2}{c^}}}-1)$ , com x=0

em

, e
$v=\dfrac{w_0t}{\sqrt{1+\dfrac{{w_0}^2t^2}{c^2}}}$ , com v=0

em

e) (5%) Mostra que as expressões em d) tendem para o limite clássico quando $c\rightarrow \infty$ .

(Sendo que:
$x^{\mu}$ é o quadrivetor posição
$\tau$ é o tempo próprio
$\vec{v}$ é o vetor velocidade (3D)
$U^{\mu}$ é o quadrivetor velocidade e
$w^{\mu}$ é o quadrivetor aceleração.)

PM1.
Depois de um assalto a um banco, os assaltantes fogem num carro vermelho perseguidos pela polícia num carro azul. Inicialmente, os dois carros deslocam-se com a mesma velocidade v_1

.
De seguida, os assaltantes decidem acelerar e aumentam a sua velocidade para v_2

, enquanto o carro da polícia mantém a velocidade constante.
O polícia acha que eles devem ter pouca gasolina e decide calcular quanta gasolina os assaltantes gastaram para aumentar a sua velocidade. Desprezando qualquer dissipação, ele conclui que o trabalho realizado pelo motor do carro vermelho é igual ao aumento da energia cinética. No seu referencial, o carro vermelho começou parado e acabou com velocidade v_2-v_1

. Logo, o trabalho realizado pelo motor do carro dos assaltantes foi
(1/2)m(v_2-v_1)^2

onde m é a massa do carro. Quando o polícia comunica este resultado à central, fica muito admirado porque eles não concordam. Na opinião da central, o trabalho realizado pelo motor dos assaltantes foi maior, dado que, no referencial da central, a variação de energia cinética no carro dos assaltantes foi
(1/2)m((v_1)^2-(v_2)^2)

Quem tem razão? Porquê?

PM2.
Um homem com 2m de altura prepara-se para fazer bungee jumping" a partir de uma plataforma situada a 25m de altura sobre um lago. Uma ponta da corda elástica está amarrada ao seu pé e a outra ponta está amarrada à plataforma. Ele deixa-se cair a partir da posição vertical.
O comprimento e as propriedades elásticas da corda são escolhidas de tal forma que a sua velocidade é reduzida a zero quando a sua cabeça atinge a superfície da água. No final do salto, o homem fica pendurado na corda com a sua cabeça a 6m (se calhar é 7m, ou talvez 8m, não sei bem porque tirei fotografia e agora nao consigo perceber -.-) acima da água.
Qual o comprimento natural da corda (sem estar esticada)?
Qual a velocidade e aceleração máximas atingidas durante o salto?

RC1. (só o aquecimento):
Dois blocos uniformes de comprimento

estão empilhados (um em cima do outro) num degrau. Encontra a distância horizontal máxima

da borda do degrau à borda do bloco de cima tal que o sistema não caia do degrau. Nota: Os blocos não têm de estar alinhados.

RC2. (não muito fácil):
Num certo espaço infinito existe um fluido incompressível de densidade $\rho$ e a uma pressão

que ocupa todo esse espaço. A certa altura, forma-se magicamente uma bolha de vácuo de raio

. Devido à pressão, logicamente, a bolha colapsa. Calcula o tempo

que a bolha demora até colapsar completamente.

RC3. Problema extra! (para os rambos do fórum)
Prova que, para um fluido incompressível com velocidade de fluxo $\vec{v}$ , densidade $\rho$ , a pressão

e viscosidade dinâmica $\mu$ , onde atua uma força resultante $\vec{f}$ , a equação diferencial

$\rho \left(\frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \vec{v} \right) = - \nabla p + \mu \nabla ^2 \vec{v} + \vec{f}$

admite soluções "bem comportadas".

por **duarte.magano** em Domingo Set 14, 2014 11:29 pm

Problemas Alnitak:

DC1.
Um tubo vertical liso (sem atrito) com duas secções diferentes é aberto em ambos os lados e equipado com dois pistões com áreas diferentes, ligados por um fio rígido. Cada pistão move-se dentro de uma certa secção. Uma mole de gás ideal está preso entre os pistões. A área de secção do pistão superior é $\Delta S=10\, {\tt cm}^2$ maior que a do inferior. A massa total dos pistões é igual a $m=5.0\,{\tt kg}$ . A pressão do ar exterior é $p_0=1.0\, {\tt atm}$ . Qual terá de ser o aumento da temperatura do gás entre os pistões para que estes subam $l=5.0\, {\tt cm}$ ?
Nota: Considera-se que a mole de gás tem uma massa desprezável, em comparação aos pistões. (mas se a considerarem também não faz mal a ninguém

)

: QTT imagem.jpg (38.48 KiB) Visualizado 9776 vezes

DC2.
Um eletrão, inicialmente em repouso, é acelerado com uma tensão $U=\dfrac{km_0c^2}{e}$ , em que m_0

é a massa do eletrão em repouso,

é a carga do eletrão,

a velocidade da luz e

uma constante adimensional. O eletrão choca contra um positrão em repouso e estes aniquilam-se, criando dois fotões. A direção de um fotão emitido define a do outro. Encontra o menor valor possível $\alpha_{min}$ do ângulo $\alpha$ entre as direções dos dois fotões emitidos. (expressa $\alpha_{min}$ utilizando

(7 pontos) e indica o seu valor para k=1

(3 pontos)).

ACo1. Aceleração de uma esfera à superfície
Vamos supor que temos uma esfera de raio

não desprezável e massa volúmica $\rho_e$ e que está totalmente imersa em água ( $\rho_a$ ). Considerar um referencial vertical com sentido de baixo para cima e a origem coincidente com a superfície da água. Este referencial dá a posição

do centro de massa da esfera.
Mostrar que a aceleração da esfera, até o seu centro de massa atingir a superfície da água, é:

$\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{g}{4R^3\rho_e}[(R-y)^2(2R+y)\rho_a-4R^3\rho_e]$

Quem quiser, pode também aventurar-se a resolver a equação (coisa que eu não fiz).

ACo2. Lei de Gauss para o campo gravítico. Or not.
Vamos supor que no interior da Terra, a uma distância

da superfície terrestre, existe uma cavidade esférica que está preenchida com gás metano, gás esse que possui uma densidade bastante inferior à da Terra. No ponto P (que é o ponto da superfície mais próximo da cavidade) o valor da aceleração da gravidade é g=0.99997g_0

, sendo

o valor da gravidade em P supondo que a Terra é esférica e homogénea e não tem cavidades. Estimar a distância d entre o centro da cavidade e o ponto P em função do Raio da Terra,

, e o raio da concavidade

'.
(ver imagem no post abaixo)

MB1.

: problema1.png (20.35 KiB) Visualizado 9778 vezes

MB2.

: problema2.png (65.11 KiB) Visualizado 9781 vezes

por **duarte.magano** em Domingo Set 14, 2014 11:32 pm

Problema Alnitak:

ACo2. Lei de Gauss para o campo gravítico. Or not.
Imagem:

: Problema 2 ACoelho.jpg (6.29 KiB) Visualizado 9772 vezes

por **duarte.magano** em Domingo Set 14, 2014 11:33 pm

Está aberta a competição do QTTIII! :hands:

Boa sorte a todos!

PS: se houver algum erro na publicação dos problemas, avisem-me pf.

por **joaofrme** em Segunda Set 15, 2014 8:47 pm

No meu primeiro problema onde está L=2

e depois um símbolo estranho. Deveria estar $L=2\lambda$

por **duarte.magano** em Segunda Set 15, 2014 9:31 pm

joaofrme Escreveu:No meu primeiro problema onde está e depois um símbolo estranho. Deveria estar $L=2\lambda$

Ok, já está corrigido. Obrigado!

por **diogocruz** em Terça Set 16, 2014 1:03 pm

LET'S BEGIN!!!

por **pdmourao** em Terça Set 23, 2014 10:17 pm

Pessoal como é? algum prazo marcado? ^^

por **duarte.magano** em Quarta Set 24, 2014 4:39 pm

Acho que se deveria marcar um prazo para depois das OIbF… Talvez 18 de Outubro?

por **pdmourao** em Segunda Set 29, 2014 3:30 pm

As OIbF não interferem assim muito com o meu tempo xd por isso os participantes que se manifestem ^^ o prazo para mim esta porreiro

por **joaofrme** em Segunda Out 06, 2014 7:07 pm

18 de Outubro parece bem

QTT III

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