Planeta esburacado

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Planeta esburacado

Mensagempor Real em Domingo Nov 19, 2006 2:39 am

Este é um problema que é abordado nas sessões de preparação em Coimbra, por isso é especialmente direccionado aos "caloiros".

Imaginem que existe um túnel (estreito) que liga em linha recta um lado do planeta Terra ao outro passando pelo seu centro. Ignorando o terrível problema geológico (:P), o que aconteceria se alguém caísse dentro do túnel?!

Investiguem como obter a equação do movimento de um corpo que se encontre no túnel!

PS: não estou à espera que algum caloiro resolva o problema. A minha intenção é aguçar o apetite :P
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Mensagempor jmgb em Domingo Nov 19, 2006 2:46 am

Eu tive esse problema na fase de selecção a nível de escola... e resolvi-o. Eles também vão conseguir :) Força aí "caloiros"!
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Mensagempor vbmaster em Domingo Nov 19, 2006 3:59 am

Bem, eu já estou mesmo a prever que esta vai ser a teoria mais matematica e fisicamente incorrecta que deverá passar por aqui, mas aqui vai:

Ora bem, temos um buraco dum lado ao outro, e um objecto tem o azar de cair, pela lei da Gravitação Universal é de esperar que a Força Gravítica aumente progressivamente até ao centro da terra, até porque:

(desprezando a massa do objecto)

Fg = \frac{GM_{terra}}{d^2}

Ou seja, para uma distância como o raio da terra obtemos aproximadamente 9,8 N,

Perto do centro da terra essa força vai ser enorme.
Ora aqui poderá estar o meu primeiro erro, mas considerei essa força igual à aceleração, já que desprezei a massa do objecto.

Como tal.

y = yo +v0t + \frac{1}{2}at^2

Considerando o centro da terra como centro do referencial:

y0 = r_{terra}
a = \frac{GM_{terra}}{y^2}
v0 = 0

y = 6,37*10^{6} - \frac{6,67*10^{-11} * 6*10^{24}}{2y^2}t^2

y^3 - 6,37*10^{6}y^2 + 2*10^{14}t^2 = 0


Enfim... não me batam... :x

P.S.: andava à procura duma função resolvente para equações de terceiro grau, e encontrei, mas nao percerbi muito daquilo. Mas no fundo, penso que o objecto vai acelerar com aceleraçao cada vez maior até ao centro da terra, depois deverá escapar à gravidade no centro, voltar a aproximar-se.. e continuar assim. Agora não estou bem a ver se alguma vez chegará a parar... se continuará assim.
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Mensagempor jmgb em Domingo Nov 19, 2006 12:28 pm

Ora aqui poderá estar o meu primeiro erro, mas considerei essa força igual à aceleração, já que desprezei a massa do objecto.


O teu erro veio primeiro... Pensa bem, reflecte sobre a fórmula de Newton, e repararás que não é só o raio que varia ao longo do trajecto...


Dica: Pensa no que aconteceria se um corpo fosse colocado no centro do túnel, sem velocidade inicial...
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Mensagempor jap em Domingo Nov 19, 2006 12:42 pm

jmgb Escreveu:
Ora aqui poderá estar o meu primeiro erro, mas considerei essa força igual à aceleração, já que desprezei a massa do objecto.


O teu erro veio primeiro... Pensa bem, reflecte sobre a fórmula de Newton, e repararás que não é só o raio que varia ao longo do trajecto...


Dica: Pensa no que aconteceria se um corpo fosse colocado no centro do túnel, sem velocidade inicial...


Como diz a dica do João:
Há um ponto (o centro da Terra) onde a força é (:shock: :shock: NULA :shock: :shock: ) - por razões de simetria. Lá no meio, para que lado é que apontaria a força, se ela existisse? Visto do centro, todas as direcções são iguais! Como a força não pode decidir para que lado apontar ... então só pode ser nula nesse ponto! :roll:
última vez editado por jap s Domingo Nov 19, 2006 2:41 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor vbmaster em Domingo Nov 19, 2006 1:30 pm

Sim, eu estive este noite a pensar nisso, e apesar da minha solução estar errada, a expressão que digo ser a aceleração falha quando a distância for 0 (vai dividir por 0), pelo que penso que teria ali uma assimptota.

Ele começava a descer, cada vez ganhava mais velocidade, cada vez tinha mais aceleraçao, no centro da terra a aceleraçao anulava-se e ele recebia logo do outro lado uma força de grande intensidade.

Agora só não tenho a certeza se ele depois de passar o centro, conseguia fugir de lá ou ficava parado, visto que a força que se faria sentir logo após o centro, dada pela lei da gravitaçao universal, seria quanto mais perto do centro, mais perto do infinito. Nao sei se a velocidade do corpo chegava para vencer essa força.
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Mensagempor pmp em Domingo Nov 19, 2006 1:51 pm

(Imaginei o túnel do Pólo Norte ao Pólo Sul)

Se no centro da Terra a força é nula, o corpo irá oscilar nessa posição para sempre, não é? Se ele chega lá com velocidade, e a resultante das forças é nula, ela passa o centro com essa velocidade. Depois de passar o centro, a força resultante aponta para cima levando o corpo a voltar a passar pelo centro com velocidade constante, depois a força resultante volta a apontar para baixo.... e assim sucessivamente. O raciocínio está certo?
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Mensagempor Andre França em Domingo Nov 19, 2006 2:21 pm

pmp Escreveu:(Imaginei o túnel do Pólo Norte ao Pólo Sul)

Se no centro da Terra a força é nula, o corpo irá oscilar nessa posição para sempre, não é? Se ele chega lá com velocidade, e a resultante das forças é nula, ela passa o centro com essa velocidade. Depois de passar o centro, a força resultante aponta para cima levando o corpo a voltar a passar pelo centro com velocidade constante, depois a força resultante volta a apontar para baixo.... e assim sucessivamente. O raciocínio está certo?


Sim, certo!

Agora se fizeres umas contas sobre como varia a "massa interior do planeta" em função da posição do corpo relativamente ao centro, vais chegar a uma conclusão interessante [ e vai permitir mt facilmente o cálculo da frequência de oscilação ].
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Mensagempor Real em Domingo Nov 19, 2006 3:04 pm

Pedro, exacto!
Por outras palavras, estamos perante um movimento oscilatório harmónico!

Miguel tens de ter cuidado quando usas y=y_0 + v_0t + at^2/2!! Esta expressão é válida para movimentos em que a aceleração é constante!! E, como tu viste, a=\frac{GM_{terra}}{y^2} (depende claramente de y)

Pensem melhor o termo M_{terra} e tentem chegar a uma equação do tipo oscilador harmónico (não sei até que ponto aprendem isto no secundário...)
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Mensagempor Zé Teixeira em Domingo Nov 19, 2006 3:43 pm

Hm, não vejo como se pode fazer isto sem o teorema de Gauss, e duvido que os olímpicos deste ano já o conheçam. Mas pronto, fica aqui um incentivo para irem tentar aprendê-lo, vão ver que a solução do problema se torna clara.
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Mensagempor jap em Domingo Nov 19, 2006 4:07 pm

Zé Teixeira Escreveu:Hm, não vejo como se pode fazer isto sem o teorema de Gauss, e duvido que os olímpicos deste ano já o conheçam. Mas pronto, fica aqui um incentivo para irem tentar aprendê-lo, vão ver que a solução do problema se torna clara.


Há dois teoremas bem antigos (provados por Sir Newton, himself) que os caloiros podem usar para resolver o problema:

T1 - O campo gravítivo criado por um objecto com simetria esférica em pontos exteriores ao objecto é igual ao de uma massa pontual, igual à massa do objecto, colocada no centro da esfera.

T2 - O campo gravítico criado no interior de uma casca esférica, de qualquer espessura, desde que a distribuição de massa tenha simetria esférica, é rigorosamento nulo. Desde que estejamos dentro da casca, não importa se estamos próximo das paredes ou no centro: o campo é sempre nulo! Claro que no exterior da casca já não é assim, aplica-se o T1.

A demonstração dada por Newton destes 2 teoremas no seu livro "Principa" é muito bela ... :D

Estes teoremas foram mais tarde generalizados por Lagrange e por Gauss, e são consequência de um teorema que se estuda em Matemática, o teorema de Gauss, que tem muitas aplicações em Física - pudera, foi inventado para resolver problemas de Física, como aliás muitas outras "teorias" matemáticas :wink:
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Mensagempor Zé Teixeira em Domingo Nov 19, 2006 5:18 pm

Hm, realmente esses dois teoremas são equivalentes a um caso particular do teorema de Gauss e servem perfeitamente para o problema, evitando as complicações da integral.

Dica: pensem nas forças que actuam no corpo num ponto do túnel.
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Mensagempor jap em Segunda Nov 20, 2006 12:23 am

E aqui está a "caroço" da demonstração de Newton para o facto de o campo gravítico no interior de uma casca homogénea ser nulo.

Reparem na imagem seguinte

Imagem

As massas correspondentes a A1 e A2 são proporcionais às áreas, e a área aumenta com o quadrado da distância; mas a força gravítica diminui com o quadrado da distância, pelo que a massa da área A2 exerce no ponto P uma força de igual intensidade à da massa da área A1 ! :D

Brilhante, né? :wink:
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Mensagempor jap em Segunda Nov 20, 2006 12:56 am

jap Escreveu:E aqui está a "caroço" da demonstração de Newton para o facto de o campo gravitacional no interior de uma casca homogénea ser nulo.

(...)
Brilhante, né? :wink:


Não resisto a mostrar-vos a página do livro "Principia" do Newton onde ele demonstra o seu famoso teorema de o campo no interior de uma "casca" homogénea ser nulo...

http://algol.fis.uc.pt/forum/principia.jpg

Genial :D

Com a ajuda do Newton, vamos lá, olímpicos, a calcular como varia o campo gravitacional da Terra com a distância ao seu centro, para pontos no seu interior e (já agora 8) )para pontos no seu exterior (classe super-trivia)! É para provarmos que se alguém cai no túnel vai mesmo executar um movimento oscilatório e, já agora, quanto tempo leva um objecto que caia no túnel a regressar ao ponto de partida? :roll:
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Mensagempor pmp em Terça Nov 21, 2006 7:50 pm

Baseando-me nos teoremas (brilhantes!) de Newton aqui enunciados, rabisquei alguns cálculos e obtive um período de 5067,49 segundos. Se este valor estiver certo, o resto deverá estar. Não arrisquei escrever uma solução para depois de tanto trabalho estar errada. E não disponibilizo o papel porque ninguém o vai perceber. :D
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