Ora, convém começar por explicar o que é, afinal, uma equação diferencial.
Numa equação algébrica normal, temos uma incógnita que queremos determinar, isto é, queremos achar um número (normalmente real ou complexo) que satisfaça a equação. Numa equação diferencial também queremos determinar uma incógnita, só que neste caso essa incógnita não é um número, mas sim uma função.
Uma equação diferencial relaciona uma função com as suas derivadas (de qualquer ordem). Um exemplo de equação diferencial é:

Uma função



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Vejamos alguns tipos simples mas muito úteis de equações diferenciais.
Equações diferenciais ordinárias
Uma equação diferencial (de agora em diante, e.d.) ordinária é uma relação que contém funções de uma variável independente, e uma ou mais das suas derivadas. O exemplo acima é uma e.d. ordinária, porque


Equações diferenciais lineares
Uma e.d. linear é uma e.d. em que só aparecem as primeiras potências da função e das suas derivadas, isto é:


Equações diferenciais homogéneas
Se em todos os termos de uma e.d. aparece a função ou uma sua derivada, isto é, se a equação não tem termo independente, ela diz-se homogénea, isto é:




Notemos que os três tipos acima referidos não são mutuamente exclusivos, isto é, uma e.d. pode ser simultaneamente ordinária, linear e homogénea. Equações deste tipo são bastante fáceis de resolver. Vejamos porquê:
Suponhamos que temos a seguinte equação

Queremos achar uma solução desta equação que seja válida para todo o


Agora é fácil perceber o significado da equação: a função


Tendo encontrado uma solução desta equação, podemos tentar uma ligeiramente mais complicada. Experimentemos resolver a equação seguinte:

Tal como anteriormente, escrevamo-la na forma

Inspirados no resultado anterior, facilmente intuimos que uma solução é a exponencial

Bem, já que está a ser fácil achar soluções, vamos adicionar mais termos de ordens superiores à equação. Tentemos agora resolver esta:

Hm, esta já não é tão imediata... a solução parece ser uma espécie de exponencial, visto que temos uma relação bastante parecida com as equações que acabámos de resolver, mas não é tão fácil intuir qual a forma exacta da exponencial que satisfaz a condição. Bem, vamos então tentar uma da forma


Reparemos que apareceu o factor




Ficámos com uma equação polinomial do segundo grau em k (chamada equação característica), que sabemos ter sempre soluções que podemos achar trivialmente. As soluções são





Generalizando, uma e.d. ordinária linear homogénea de ordem


tem uma equação característica polinomial de grau


e as soluções da equação diferencial são da forma





Uma função da forma



NOTA: Se as exponenciais encontradas forem complexas, não há problema nenhum, basta notar que


ODEs lineares não homogéneas
O método dos polinómios característicos descrito acima só funciona, como podem verificar, para ODEs lineares homogéneas. Se tivermos uma ODE linear não homogénea cujo termo independente seja uma constante, isto é, uma ODE da forma

com


Imaginemos que queremos resolver a ODE seguinte

Passemos a constante para o lado esquerdo, ficando assim com

Escrita nesta forma, a equação já tem aspecto de homogénea... mas ainda não é realmente homogénea, porque o termo independente não desapareceu. Façamos então a seguinte substituição:

Como



Esta ODE já é homogénea, agora podemos resolvê-la pelo método do polinómio característico para achar a forma geral de


Claro que as coisas se complicam ligeiramente se houver coeficientes envolvidos, mas não há nenhuma ideia nova em jogo, basta fazer uma substituição e depois tentar achar as derivadas de


Exemplo:
Resolver a seguinte ODE:

Passemos a constante para a esquerda:

Fazendo a substituição



que podemos agora resolver pelo polinómio característico, fazendo a substituição inversa no fim para achar

NOTA: Este método não funciona se o termo "independente" for uma função de


sendo


