Ora, convém começar por explicar o que é, afinal, uma equação diferencial.
Numa equação algébrica normal, temos uma incógnita que queremos determinar, isto é, queremos achar um número (normalmente real ou complexo) que satisfaça a equação. Numa equação diferencial também queremos determinar uma incógnita, só que neste caso essa incógnita não é um número, mas sim uma função.
Uma equação diferencial relaciona uma função com as suas derivadas (de qualquer ordem). Um exemplo de equação diferencial é:
.Uma função
que satisfaça aquela equação, isto é, uma função para a qual a equação acima seja verdadeira para todo o 
(ou para todo o no intervalo ![[a, b]](/phpBB3/latexrender/pictures/022022f289db140169cd9514f74ee648.gif "[a, b]")
, se quisermos uma função que apenas satisfaça a equação nesse intervalo) é solução da equação.Vejamos alguns tipos simples mas muito úteis de equações diferenciais.
Equações diferenciais ordinárias
Uma equação diferencial (de agora em diante, e.d.) ordinária é uma relação que contém funções de uma variável independente, e uma ou mais das suas derivadas. O exemplo acima é uma e.d. ordinária, porque
é função de uma só variável, . Neste post vou tratar apenas de e.d. ordinárias, uma vez que são as mais simples e as únicas que nos interessam por agora.Equações diferenciais lineares
Uma e.d. linear é uma e.d. em que só aparecem as primeiras potências da função e das suas derivadas, isto é:
é linear, porque nenhum dos termos é quadrático (ou de grau superior), ao passo que
é não linear, porque o termo de ordem zero é uma potência de grau diferente de 1.Equações diferenciais homogéneas
Se em todos os termos de uma e.d. aparece a função ou uma sua derivada, isto é, se a equação não tem termo independente, ela diz-se homogénea, isto é:
é homogénea, mas
não é, porque o termo independente não é zero (é quase 
, mas não exactamente 
).Notemos que os três tipos acima referidos não são mutuamente exclusivos, isto é, uma e.d. pode ser simultaneamente ordinária, linear e homogénea. Equações deste tipo são bastante fáceis de resolver. Vejamos porquê:
Suponhamos que temos a seguinte equação
Queremos achar uma solução desta equação que seja válida para todo o
. Como procedemos? Podemos começar por escrever a equação na formaAgora é fácil perceber o significado da equação: a função
é igual à sua derivada. Mas conhecemos bem esta função: é a exponencial 
!Tendo encontrado uma solução desta equação, podemos tentar uma ligeiramente mais complicada. Experimentemos resolver a equação seguinte:
Tal como anteriormente, escrevamo-la na forma
Inspirados no resultado anterior, facilmente intuimos que uma solução é a exponencial
.Bem, já que está a ser fácil achar soluções, vamos adicionar mais termos de ordens superiores à equação. Tentemos agora resolver esta:
Hm, esta já não é tão imediata... a solução parece ser uma espécie de exponencial, visto que temos uma relação bastante parecida com as equações que acabámos de resolver, mas não é tão fácil intuir qual a forma exacta da exponencial que satisfaz a condição. Bem, vamos então tentar uma da forma
, a ver o que conseguimos. Supondo que a solução é desta forma, substituamos na equação:
Reparemos que apareceu o factor
em todos os termos (no do membro direito também, porque 
). Dá mesmo vontade de dividir tudo pela exponencial para simplificar; mas temos de ter cuidado, não podemos dividir por zero. Ora, a exponencial nunca se anula, logo podemos sempre dividir por para simplificar a equação! Ficamos portanto com
Ficámos com uma equação polinomial do segundo grau em k (chamada equação característica), que sabemos ter sempre soluções que podemos achar trivialmente. As soluções são
e 
. Se há valores de 
que satisfazem a equação característica, então exponenciais da forma , sendo solução daquela, são soluções da equação diferencial que queríamos resolver.Generalizando, uma e.d. ordinária linear homogénea de ordem
(a ordem de uma e.d. é a ordem da derivada de maior ordem que aparece nela) da forma
tem uma equação característica polinomial de grau
com os mesmos coeficientes:
e as soluções da equação diferencial são da forma
, com solução da equação característica. Como esta última tem soluções distintas (não necessariamente reais), também a e.d. tem soluções distintas. Para quem sabe álgebra linear, estas funções-solução são linearmente independentes e formam uma base para o espaço das soluções da e.d.. Para quem não percebeu esta frase (é provável que os caloiros não a tenham percebido; não se preocupem, é perfeitamente normal):Uma função da forma
, sendo 
as soluções encontradas através da equação característica, é também solução da e.d., e é chamada solução geral da equação diferencial. É geralmente a solução geral que queremos achar em problemas de Física, para depois determinarmos os coeficientes 
através das condições iniciais.NOTA: Se as exponenciais encontradas forem complexas, não há problema nenhum, basta notar que
(ver o post do Diogo sobre isto). Normalmente "deita-se fora" a parte imaginária, 
, no fim dos cálculos, por não ter significado físico.ODEs lineares não homogéneas
O método dos polinómios característicos descrito acima só funciona, como podem verificar, para ODEs lineares homogéneas. Se tivermos uma ODE linear não homogénea cujo termo independente seja uma constante, isto é, uma ODE da forma
com
constante em relação ao , podemos transformá-la numa ODE homogénea com uma simples substituição de variável. Vejamos como:Imaginemos que queremos resolver a ODE seguinte
Passemos a constante para o lado esquerdo, ficando assim com
Escrita nesta forma, a equação já tem aspecto de homogénea... mas ainda não é realmente homogénea, porque o termo independente não desapareceu. Façamos então a seguinte substituição:
Como
é constante, é 
, logo a equação fica
Esta ODE já é homogénea, agora podemos resolvê-la pelo método do polinómio característico para achar a forma geral de
e depois fazer a substituição na ordem inversa para achar a forma geral de 
.Claro que as coisas se complicam ligeiramente se houver coeficientes envolvidos, mas não há nenhuma ideia nova em jogo, basta fazer uma substituição e depois tentar achar as derivadas de
em função das derivadas de .Exemplo:
Resolver a seguinte ODE:
Passemos a constante para a esquerda:
Fazendo a substituição
, e notando que é 
, ficamos com:
que podemos agora resolver pelo polinómio característico, fazendo a substituição inversa no fim para achar
.NOTA: Este método não funciona se o termo "independente" for uma função de
, isto é, não funciona para ODEs da forma
sendo
uma função de conhecida (por exemplo, 
).
, vou ter de a "meter" no computador" 
