Aqui vai a minha proposta de solução alternativa à que encontrou o Pedro. A explicação é longa, mas tudo se resume a uma equação escalar, como prometi...
Primeiro ponto:
a superfície de um líquido (em movimento uniforme, ou em repouso) é uma superfície equipotencial do campo gravítico. Isto significa que, se forem num avião, por exemplo, e tiverem na mão um copo de água (ou martini
) meio-cheio, se o avião se inclinar um pouco, podem confiar que a superfície do líquido é a horizontal do lugar.
Assim, numa pequena região do espaço próxima da terra, a superfície do líquido é o conjunto de pontos que satisfazem a equação
, ou seja,
, o que mostra que a superfície do líquido é horizontal (já a superfície dos oceanos é esférica, pois
equivale a
)
Voltemos ao problema.
Vejamos o ponto de vista de um observador minúsculo que se encontre sobre a superfície do líquido em rotação – por exemplo uma pequena mosca que poisou na pequena bola de madeira que o vídeo mostra. Para este observador a superfície da água está em repouso (ele não se move em relação à água); no entanto, ele vê que a superfície do líquido está inclinada de um ângulo em relação à horizontal! E pensa a mosca: caramba, o campo gravítico mudou de direcção!
Bom, agora vem a parte interessante.
O princípio da equivalência de Einstein diz que
um campo gravítico e um campo de acelerações são a mesma coisa. Ou seja: é impossível a um observador distinguir entre um referencial acelerado e um campo de gravitação...
O exemplo clássico que ilustra isto é o seguinte:
Imaginem um foguetão que se desloca no espaço longínquo com velocidade constante, longe de qualquer objecto estelar. Um astronauta que largue uma bola no ar, dentro do foguetão, verá a bola a flutuar. Mas imaginem agora que, de repente, ele vâ a bola estatelar-se no chão e ele sente de repente que ficou “pesado” (estava antes imponderável).
O que pensará o astronauta:
1 – Ena pá, o comandante do foguetão acelerou a nave!
ou então
2- Caramba, passou aqui perto um grande asteróide!
Ora só há uma maneira (segundo Einstein) de distinguir entre as duas situações: observar a nave de fora (sair do referencial acelerado) ou perguntar a um observador privilegiado - neste caso o observador externo ou o comandante da nave!. Ainda segundo Einstein:
Uma aceleração 
do referencial equivale a um campo gravítico 
. ( vejam porquê!)
Voltemos ao nosso problema.
O que pensa a mosca? Que o campo gravítico mudou. Mas na realidade, esse campo gravítico é “fictício”, e simétrico da aceleração centrípeta, ou seja
(faço
, no sistema de coordenadas usual XOY, onde OY é o eixo de simetria da parábola).
Como a cada campo gravítico está associado, como sabemos uma energia potencial gravítica, também a este campo gravítico fictício está associada a energia potencial
.
Como se sabe isto? Pois bem, a força que está associada a uma energia potencial que varia com a coordenada
é sempre
; se fizerem as contas vêm que a a aceleração provocada por este “campo gravítico fictício” é
, tal como manda o princípio da equivalência. (claro que o mesmo se aplica à coordenada y, por exemplo
, )
Ora vamos então resolver o problema.
Do ponto de vista da mosca a energia de uma pequena massa de fluido à superfície do líquido, de coordenadas, x e y, é
.
Como a superfície de um líquido em repouso é uma superfície equipotencial, então a superfície é o conjunto de pontos que obedece à equação
,
Onde
é uma constante que se pode determinar facilmente, pois para
,
(vértice da parábola)
A equação da parábola é pois
,
tal como o Pedro encontrou usando as leis de Newton!
) aqui.
