Água em rotação

[Ivo_Timóteo]

Este problema foi-me proposto pelo Diogo há mais ou menos dois aninhos... Na altura nem tinha ideia de como abordar, e mesmo hoje continuo mais ou menos em branco.

Existe um recipiente paralelipipédico cheio de água. A base, no centro, tem uma hélice (desloca a água para baixo). O problema é provar que a deformação na superficie da água é parabólica.

Não sei se devia ser "tricky" ou "trivia", mas acho que é um problema interessante, que eu gostava de ver resolvido!

Saudaçoes!

[jap]

Esta é uma questão clássica mas não é propriamente "trivia" porque a solução mais elegante é relativamente "tricky"

A hélice não tem, aqui, um papel fundamental. A superfície de um líquido em rotação, na situação de "equilíbrio", é um parabolóide de revolução.
Se tirarmos um instantâneo de um copo com água em rotação em cima de um velho giradiscos, por exemplo, podemos digitalizar a foto e obter os pontos da interface água/ar e verificar que ela se ajusta perfeitamente a uma parábola

Aqui fica lançado o desafio: mostrar que é uma parábola e determinar a equação dessa parábola!

PS - É claro que a aceleração da gravidade entra na equação! Com a experiência que acima descrevi (copo com água a rodar no prato de um gira-discos) é possível determinar a aceleração da gravidade!
PS2 - Como habitual, se até lá ninguém conseguir resolver este desafio (com uma solução elegante!) eu darei a solução de hoje a 8 dias.

[Real]

Aqui vai uma dica:

Analiza as forças que actuam numa partícula à superfície do líquido em rotação.

Abraço

PS: quando tiveres datas para nos encontrarmos na FCUP diz-me alguma coisa!

[jap]

Este vídeo ilustra a questão e é (acho ) inspirador de uma boa solução!

http://algol.fis.uc.pt/movies/RotationWater.mov

(Limonada Rosa? )

PS - O peso no fundo do tanque é só para "estabilizar" a montagem...

[pmp]

Bom, aqui vai a minha proposta de solução. Perdi um bom bocado do dia, mas acho que valeu a pena.

http://www.4shared.com/file/6065172/502b9253/Solu

Peço desculpa pela condição da solução e pela falta de um esquema, mas como não tenho muito tempo e existe a possibilidade de estar errado decidi não fazê-lo, mas acho que ninguém terá dificuldades em representá-lo.

Pelo menos parece haver coerência na solução, já que a altura máxima da água aumenta com o aumento da velocidade angular do recipiente (como se observa no video) e intuitivamente sabemos que é inversamente proporcional a g.

Este vídeo ilustra a questão e é (acho Laughing ) inspirador de uma boa solução!

Espero que sim!

[Real]

É exactamente essa a solução!! Muito bem!!
Como se mostra no video, a resultante das forças que actuam na partícula é apenas a componente centrípeta, que faz com que a bola rode (ela não sobe nem desce!).
Chamo só a atenção aos leitores que na resolução n representa a força de reacção exercida pelo líquido na partícula, que é perpendicular à tangente no ponto!

[pmp]

Isso mesmo.
Obrigado Real!!!!

Nunca pensei chegar à solução, mas depois segui o tua sugestão de representar as forças, arranjar um ângulo e depois foi-se tudo encaminhando para a solução.

[jap]

Parabéns Pedro!

Encontraste a solução

Mas a questão ainda não está fechada ; desafio os outros olímpicos a encontrar uma solução radicalmente alternativa, quiçás mais elegante

Any ideas?

Abraço,

[Nuno_Monteiro]

pmp,
Tive agora a analisar a tua resposta. E só tenho duas coisas a dizer-te:
1. a dedução final que fazes, relaccionando a tangente nesse ponto com a derivada da função é realmente formidavel (a mim não me passou tal ideia pela cabeça)
2. na resolução que fizes-te em pdf cometes um pequeno erro por distracção pois, quando mandas substituir (1) em (2) o seno fica em cima e o coseno fica em baixo(colocas-te ao contrário), porque se fosse como tens seria co-tangente e não tangente.
Mas de qualquer forma tenho que te dar os parabéns pela resolução

[jap]

Ainda sobre o desafio que lancei da solução elegante alternativa à encontrada pelo pedro (boa!), aqui vai uma dica:

é possível encontrar a equação da parábola com uma expressão que cabe numa linha e nem sequer envolve vectores, nem projecções dos ditos

eh,eh
Alguém tem uma ?

[Real]

Hmmm. Com essa dica só pode ser conservação da energia! E de facto funciona! (façam as contas, é fácil!)
Contudo, gosto mais da solução do Pedro! É preciso haver um certo grau de "iluminação" ao relacionar a tangente do ângulo com o declive e a derivada!

Deixo só aqui uma reflexão: (geralmente) todos os problemas de mecânica podem ser resolvidos atrás da conservação da energia e (geralmente) é mais fácil por esse modo! [os osciladores são uma das excepções!] Basta reparar que quando se usa F=ma, a aceleração é a segunda derivada da posição e, por isso, temos uma equação diferencial de segunda ordem pela frente! Por outro lado, na energia aparece o quadrado da velocidade na energia cinética, fazendo com que a equação diferencial seja de primeira ordem (geralmente mais fácil de resolver).
Para complementar estas ideias, aconselho vivamente (a quem já tenha alguns conhecimentos de matemática) a leitura do primeiro capítulo da Mecânica, do Landau. Lá demonstra-se que a conservação da energia é consequência da homogeneidade do tempo e que a conservação do momento angular é consequência da isotropia do espaço! (é lindo de morrer!) Por outro lado, também demonstra que a conservação da energia é intrínseca a toda a mecânica Newtoniana (e daí o meu comentário anterior). Se não encontrarem o Landau, falem comigo que eu posso arranjar um link com o pdf.

[pmp]

pmp,
Tive agora a analisar a tua resposta. E só tenho duas coisas a dizer-te:
1. a dedução final que fazes, relaccionando a tangente nesse ponto com a derivada da função é realmente formidavel (a mim não me passou tal ideia pela cabeça)
2. na resolução que fizes-te em pdf cometes um pequeno erro por distracção pois, quando mandas substituir (1) em (2) o seno fica em cima e o coseno fica em baixo(colocas-te ao contrário), porque se fosse como tens seria co-tangente e não tangente.
Mas de qualquer forma tenho que te dar os parabéns pela resolução

Acredita que foi daqueles momentos em que se faz luz, em que sentimos um friozinho. Porque fiquei um bom bocado a pensar como sair dali.
Obrigado pelo teu alerta para o erro, mas como resolvi no papel e depois passei no mathtype, o traço de fracção deve ter-me tramado.

Hmmm. Com essa dica só pode ser conservação da energia! E de facto funciona! (façam as contas, é fácil!)

De facto, sinto-me ridiculo quando perdi uma tarde quando havia essa forma mais simples. E acho que as soluções mais simples são as mais belas.

Durante a noite pensei num método semelhante ao da conservação da energia, pois relacionei a forma da superfície parabólica com um lançamento de projécteis, mas não consigo fundamentá-lo segundo os princípios físicos. É o seguinte:

Consideremos uma particula que se encontre no plano horizontal que contem o vértice da parábola. Ela é projectada na vertical com uma velocidade v. Essa velocidade v é igual a w*x. A altura máxima atingida seria v^2/(2g) (a demonstração é simples pela cinemática ou pela conservação da energia (acabo de perceber que foi o mesmo método )) = w^2*x^2/(2g). A equação da nossa parábola. O que não compreendo é como a velocidade ascensional da particula está relacionada com a velocidade angular. Isto é, a particula devia ter uma velocidade tangencial num movimento circular e não ascencional num movimento vertical. Certo?

[manuelmarque]

pmp,
Tive agora a analisar a tua resposta. E só tenho duas coisas a dizer-te:
1. a dedução final que fazes, relaccionando a tangente nesse ponto com a derivada da função é realmente formidavel (a mim não me passou tal ideia pela cabeça)
2. na resolução que fizes-te em pdf cometes um pequeno erro por distracção pois, quando mandas substituir (1) em (2) o seno fica em cima e o coseno fica em baixo(colocas-te ao contrário), porque se fosse como tens seria co-tangente e não tangente.
Mas de qualquer forma tenho que te dar os parabéns pela resolução

Acredita que foi daqueles momentos em que se faz luz, em que sentimos um friozinho. Porque fiquei um bom bocado a pensar como sair dali.
Obrigado pelo teu alerta para o erro, mas como resolvi no papel e depois passei no mathtype, o traço de fracção deve ter-me tramado.

Hmmm. Com essa dica só pode ser conservação da energia! E de facto funciona! (façam as contas, é fácil!)

De facto, sinto-me ridiculo quando perdi uma tarde quando havia essa forma mais simples. E acho que as soluções mais simples são as mais belas.

Durante a noite pensei num método semelhante ao da conservação da energia, pois relacionei a forma da superfície parabólica com um lançamento de projécteis, mas não consigo fundamentá-lo segundo os princípios físicos. É o seguinte:

Consideremos uma particula que se encontre no plano horizontal que contem o vértice da parábola. Ela é projectada na vertical com uma velocidade v. Essa velocidade v é igual a w*x. A altura máxima atingida seria v^2/(2g) (a demonstração é simples pela cinemática ou pela conservação da energia (acabo de perceber que foi o mesmo método )) = w^2*x^2/(2g). A equação da nossa parábola. O que não compreendo é como a velocidade ascensional da particula está relacionada com a velocidade angular. Isto é, a particula devia ter uma velocidade tangencial num movimento circular e não ascencional num movimento vertical. Certo?

Sim, mas estamos a falar da água... temos de entrar com princípios da mecânica de fluidos, acho eu...

Não creio conseguir explicar-te, dado que ainda nem abordei essa temática... mas à partida se fosse uma partícula sólida (ie um berlinde dentro do recipiente) deveria demonstrar esse tipo de comportamento. Agora a água... como estão todas ligadas, há uma viscosidade associada... o comportamento conjunto deve ser esse. Atenção que isto são apenas conjecturas! Eu não investiguei nada!

[jap]

Stay tuned

A minha explicação elegante envolve energia (obviamente, não é Diogo? ) , e está (um pouco) baseada num princípio básico da Relatividade Geral que faz parte do programa do 12º ano

Prometo "postar" essa solução amanhã, se ninguém a encontrar até lá (suspeito que haverá quem consiga lá chegar...estão muito perto...e então se consultarem o Landau...).

Abraço

[manuelmarque]

Tentei fazer a resolução pelas leis da conservação de energia - penso que consegui, apesar de ter cometido um erro pelo caminho que não consegui explicar, e por isso a parábola ficou virada de "cabeça para baixo"

Deu-me o resultado do pmp, mas com um menos atrás... anexo a minha resolução (que está um pouco confusa, é certo, mas eu já dediquei demasiado tempo à Física, tenho teste de Biologia esta semana e ainda não estudei nada... ) aqui.

No final percebi que r era o x... pelo que substitui, isso não está evidente na resolução.