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Distância mínima

MensagemEnviado: Quarta Nov 14, 2007 10:13 pm
por jap
São lançados simultaneamente dois projécteis de dois pontos A e B situados no plano horizontal, à distância d. A velocidade inicial (em módulo) dos dois projécteis é idêntica, mas os ângulos de lançamento são distintos (um dos quais é maior do que 45º). O projéctil lançado de A aterra em B e o lançado de B aterra em A.

Qual é a distância mínima de aproximação dos dois projécteis durante o vôo? :roll:

MensagemEnviado: Quarta Nov 14, 2007 11:49 pm
por hexphreak
Obtive:

\delta &=& d \sqrt{\frac{1 - \sin{2\alpha}}{2}}

Em que \delta é a distância mínima e \alpha um dos ângulos de lançamento (são complementares, já é uma dica :wink:). Se a resposta estiver correcta posto o meu raciocínio amanhã :)

MensagemEnviado: Quinta Nov 15, 2007 12:11 am
por jap
Parabéns,

Henrique!

Encontraste a resposta correcta! :hands:


Ficamos então à espera da tua resolução, amanhã!

:wink:

MensagemEnviado: Quinta Nov 15, 2007 5:25 pm
por hexphreak
Então aqui vai :) As equações paramétricas para os dois projécteis são:

\left\{\begin{array}{ll} x_A = v_0 \cos \alpha} t \\
y_A = v_0 t \sin \alpha - \frac{1}{2} gt^2\end{array}\right.\hspace{0.5cm} \mbox{e} \hspace{0.5cm}\left\{\begin{array}{l} x_B = d - v_0 \cos \beta t \\
y_B = v_0 t \sin \beta - \frac{1}{2} gt^2\end{array}\right.\hspace{0.2cm}\mbox{,}

onde \alpha e \beta são os ângulos de lançamento de A e B, respectivamente. Agora, para determinar o tempo de vôo, t_v, dos dois projécteis, resolvemos as equações das ordenadas, ignorando a solução trivial t_v=0:

0 = v_0t_v \sin \alpha - \frac{1}{2} gt_v^2 \Leftrightarrow t_v = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}

e analogamente para B. Como a distância percorrida é d em ambos os casos, temos:

x_A(t_v) = d - x_B(t_v) \Leftrightarrow  \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2 \beta}{g } \Leftrightarrow  \sin{2\alpha} = \sin{2\beta}

o que facilmente se resolve (com \alpha \ne \beta e \alpha \mbox{, } \beta < \frac{\pi}{2}), mostrando que \alpha e \beta são complementares! :D (Este passo foi na verdade intuitivo, só fui à procura da demonstração depois de me aperceber dele)

A distância entre os projécteis é, em qualquer momento, \delta = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}, ou \delta^2 = \delta_x^2 + \delta_y^2:

\delta_x^2 + \delta_y^2 = 2t^2v_0^2 - 2dtv_0(\sin\alpha + \cos\alpha) + d^2 (façam as contas e não se enganem!)

\delta é mínimo quando esta soma é mínima. Mas o que temos é apenas uma função quadrática de t, e, como já sabemos, o mínimo de uma quadrática - ou, equivalentemente, a ordenada do vértice da parábola - é:

\delta_{min}^2 = -\frac{b^2}{4a} + c \Leftrightarrow \delta_{min} = d\sqrt{\frac{1-\sin{2\alpha}}{2}}

Et voilá! :D A constatação da complementaridade é crucial, e realizada em primeiro lugar simplifica enormemente os cálculos, como se pode ver.

Espero que tenha sido suficientemente claro :)

MensagemEnviado: Quinta Nov 15, 2007 8:00 pm
por jap
Henrique,

Obrigado pela tua resolução que deve ter dado um bom trabalho a "\TeX\rm ar", mas já vi que (também! :P ) és um ás do \LaTeX. :hands:

Gostei muito (mesmo!) da tua resolução! :D Mas se me deres licença, vou editar a tua resposta (depois do jantar!) para esclarecer um ou outro passo da tua resolução para que fique mais claro, pode ser? :roll:

Abraço e mais uma vez obrigado! :D

MensagemEnviado: Quinta Nov 15, 2007 8:02 pm
por hexphreak
jap Escreveu:Miguel,

Henrique :wink: Eu sou o mais alto, o Miguel é mais baixo :lol:

Oh não deu assim tanto trabalho, foi mais pensar no que havia de manter para não tornar o post muito grande... acho que exagerei :oops: Edite à vontade Prof.!

MensagemEnviado: Quinta Nov 15, 2007 8:05 pm
por jap
hexphreak Escreveu:
jap Escreveu:Miguel,

Henrique :wink: Eu sou o mais alto, o Miguel é mais baixo :lol:

Oh não deu assim tanto trabalho, foi mais pensar no que havia de manter para não tornar o post muito grande... acho que exagerei :oops: Edite à vontade Prof.!


Desculpa :oops: , eu sei que és o Henrique e por acaso saiu Miguel porque estava a pensar num outro Miguel, o Miguel Pais (vbmaster), e na nova edição da Programar! :oops:

É o que dá o processamente paralelo de informação :?