Resistência e sólidos platónicos

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Resistência e sólidos platónicos

Mensagempor JCaldeira em Quinta Out 11, 2007 10:41 am

Isto é quase mais matemática que física, mas...

There are 5 platonic solids, the tetrahedron (4 vertices, 4 triangular faces, 6 edges), the cube (8 vertices, 6 square faces, 12 edges), the octahedron (6 vertices, 8 triangular faces, 12 edges), the dodecahedron (20 vertices, 12 pentagonal faces, 30 edges) and the icosahedron (12 vertices, 20 triangular faces, 30 edges). Consider open models of these solids with wire edges connecting the vertices. Suppose each wire has unit resistance. For each case find the total resistance between a pair of adjacent vertices. Express each answer as a rational number.

Hint: The answers can be found by brute force but there is a way to use symmetry.

De Ponder This

Se alguém não perceber em inglês eu já traduzo.
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Mensagempor jap em Quinta Out 11, 2007 1:52 pm

Muito giro e um clássico do género! :D

Vamos lá responder ao desafio! :P
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Mensagempor MiguelReisOrcinha em Quinta Out 11, 2007 8:07 pm

uma pergunta... é para calcular a força necessária para partir se eu pegar numa ponta e noutra e puxar certo? 2 vértices seguidos

ou é para calcular a força necessária para partir a planificação do sólido?
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Mensagempor MiguelReisOrcinha em Quinta Out 11, 2007 8:28 pm

opção 1?

Imagem

opção 2?

Imagem

ou tou completamente a leste?
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Mensagempor jap em Quinta Out 11, 2007 8:41 pm

Hum, penso que o problema se refere a resistência eléctrica. :P

Isto é, supor que há um fio eléctrico ligando dois vértices adjacentes com a resistência eléctrica de 1 Ohm. :wink: Pede-se para calcular a resistência equivalente entre dois vértices adjacentes - não é 1 Ohm porque estão ligadas várias resistências a cada vértice...

É isto, não é, João? :roll:
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Mensagempor MiguelReisOrcinha em Quinta Out 11, 2007 9:07 pm

hummmm... claramente a minha ignorância dá-me o prazer da sua companhia novamente para me fazer passar por estupido... algo que espero não ser em demasia...

offtopic: hoje encontrei uma coisa engraçada... quando li um artigo sobre a milipeia vi que um dos criadores do projecto é Carlos Fiolhais e vi que o nome me era familiar... fui ver o meu livro de física e vi que era estava lá o nome dele... por entre os outros três nomes vi um 2º que tambem me foi familiar João António Paixão... como é pequeno este mundo onde vivemos... :roll:
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Mensagempor jap em Quinta Out 11, 2007 9:09 pm

MiguelReisOrcinha Escreveu:(...) tambem me foi familiar João António Paixão... como é pequeno este mundo onde vivemos... :roll:


José António Paixão, aka jap :P
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Mensagempor MiguelReisOrcinha em Quinta Out 11, 2007 9:16 pm

jap Escreveu:
MiguelReisOrcinha Escreveu:(...) tambem me foi familiar João António Paixão... como é pequeno este mundo onde vivemos... :roll:


José António Paixão, aka jap :P


oops...

antes de avançar para o problema só tenho uma perguntinha... as resistências podem ser estudadas como vectores ou algum sistema que me esteja acessível? quero subir (ou descer) a minha auto-estima tentando resolver o problema (ou empancar nele e andar uma semana com dores de cabeça). se não for eu vou ler um capítulo a frente da minha biblia... :lol:
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Mensagempor jap em Quinta Out 11, 2007 9:46 pm

A resistência eléctrica é uma grandeza escalar, não é um vector. Para resolver o problema precisas de rever (aprender?) o conceito de resistência eléctrica, as leis de associação de reistências em série e em paralelo e o conceito de resistência equivalente. É tudo muito, mesmo muito simples! :D Podes consulatar o nosso manual, no capítulo da electricidade... :P
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Mensagempor MiguelReisOrcinha em Quinta Out 11, 2007 9:59 pm

ok... é o que vou fazer... vai ser mesmo aprender porque no 9º nao dei isso no 10º tambem nao e muito menos no 11º... eu nao percebo nada de electricidade só que sempre gostei... sou um autodidata mas que não percebe nada de nada... sei conceitos básicos como voltagem, amperagem e o resto é tudo por tentativa e erro... a quantidade de lampas, fusíveis e motores que já rebentei são incontáveis... então quando recebi o ferrinho de soldar =] regabofe total... nem o quadro do prédio está a salvo... já foi ao ar algumas vezes já... :lol:

vou ver se estudo isso e posto a resposta em breve... vou pegar no caderninho e brincar cos nºs... :D
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Mensagempor JCaldeira em Sexta Out 12, 2007 4:36 pm

jap Escreveu:É isto, não é, João? :roll:


Tudo o que eu sei do problema é o que postei acima, mas sim, penso que é isso que faz sentido. :)
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Mensagempor jap em Sexta Out 12, 2007 9:26 pm

Talvez ajude... :roll:

Sólidos platónicos
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Mensagempor hexphreak em Terça Dez 18, 2007 3:57 pm

O valor que obtive para o tetraedro - após uma transformação estrela-triângulo numa das faces - foi de 2\,\mbox{\Omega}, mas como não tive de fazer nada tricky não deve estar muito certo :xrool: No entanto, só podemos falar em resistência equivalente do circuito vista de dois determinados pontos, e o problema é omisso. Será indiferente por simetria?
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Mensagempor jap em Terça Dez 18, 2007 8:59 pm

Hum, acho que a resposta não está correcta, Henrique...:x?:

Vou dar aqui a resposta genérica para a resistência equivalente entre dois vértices adjacentes num poliedro genérico com V vértices e onde confluem n arestas em cada vértice, sendo que entre cada dois vértices há uma resistência de \rm 1 ~\Omega:

R_{\rm e} = 2\frac{V-1}{nV}~\rm \Omega


Assim, para um tetraedro:

V = 4, n = 3, R_{\rm e} = 2\times \frac{4-1}{4\times 3} = \frac{1}{2}\rm~\Omega


Para um cubo de resistências, V =8, n = 3 pelo que

R_{\rm e} = 2\times \frac{8-1}{8\times 3} = \frac{7}{12}\rm~\Omega

Para um dodecaedro, V =20, n = 3 pelo que

R_{\rm e} = 2\times \frac{20-1}{20\times 3} = \frac{19}{30}\rm~\Omega

Conseguem justificar a expressão geral? :xrool:
última vez editado por jap s Terça Dez 18, 2007 9:09 pm, editado 2 vezes no total
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Mensagempor hexphreak em Terça Dez 18, 2007 9:07 pm

Temos de calcular o potencial de cada vértice e a corrente? :x?:
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