Choques em cadeia

por **spmatos_174** em Quinta Dez 13, 2007 11:49 am

Oh, Obriagada Manel!

Espero bem que os posts dos quarkianos cativem não só quem nos "visite" através do google... Podemos ser mais ambiciosos!

por **hexphreak** em Quinta Dez 13, 2007 5:18 pm

Qualquer dia estamos a editar o "Manual de Física Quarkiana", ou o "Física Quarkiana 101" :wink:

Reunindo todas as explicações e curiosidades que por aqui andam... precisávamos era de mais que um volume!

por **manuelmarque** em Quinta Dez 13, 2007 7:42 pm

hexphreak Escreveu:Qualquer dia estamos a editar o "Manual de Física Quarkiana", ou o "Física Quarkiana 101" Reunindo todas as explicações e curiosidades que por aqui andam... precisávamos era de mais que um volume!

Hehe... nisso tens razão ;-)

Podíamos, até era uma coisa engraçada. E depois o dinheiro da venda dos livros revertia para os prémios das próximas olimpíadas. Pode ser que, com prémios mais "cativantes" (leia-se: como os das olimpíadas de Matemática :twisted:

), aumente o número de participantes nas olimpíadas, quem sabe? :roll:

(estou a apresentar os piores argumentos para se participar nas Olimpíadas, mas já que os outros não resultam...

)

BTW Henrique: já estás inscrito nas olimpíadas, não? Não sei qual é o prazo limite... eu no meu ano ia-o passando por pouco :roll:

por **hexphreak** em Quinta Dez 13, 2007 7:46 pm

manuelmarque Escreveu:Podíamos, até era uma coisa engraçada. E depois o dinheiro da venda dos livros revertia para os prémios das próximas olimpíadas. Pode ser que, com prémios mais "cativantes" (leia-se: como os das olimpíadas de Matemática ), aumente o número de participantes nas olimpíadas, quem sabe? (estou a apresentar os piores argumentos para se participar nas Olimpíadas, mas já que os outros não resultam... )

Excelente ideia

Já que os matemáticos têm os bancos por trás, os físicos têm que se ajustar :twisted:

manuelmarque Escreveu:BTW Henrique: já estás inscrito nas olimpíadas, não? Não sei qual é o prazo limite... eu no meu ano ia-o passando por pouco

Bem, o prazo de inscrição das escolas é até 31 de Janeiro, não sei se a minha já está inscrita :roll:

Tenho de perguntar amanhã ao professor.

por **jap** em Sexta Dez 14, 2007 12:38 am

Bem, e há mais novidades sobre este problema?

Alguém avançou um pouco mais? :roll:

Acho que já têm nesta thread tudo o que é necessário para encontrar a resolução...

por **hexphreak** em Sexta Dez 14, 2007 9:31 pm

Não avancei absolutamente nada

O meu grande problema parece ser a descontinuidade das colisões: as velocidades modificam-se em passos discretos, em vez de se portarem bem... :roll:

O que eu queria fazer era determinar o ponto em que a velocidade do bloco maior seria zero, mas não há sequer a garantia de que isso aconteça - e chegamos a uma desigualdade.

por **jap** em Domingo Dez 16, 2007 7:04 pm

Vou então resolver este problema, uma vez que parece que ninguém conseguiu chegar à solução

.

Na realidade, vou propor dois métodos de resolução:!:, o primeiro mais simples mas usando um pequeno truque, o segundo mais trabalhoso, considerando uma a uma a sequência das colisões...

Vejamos então o primeiro método.

Se aplicarem as leis da conservação da energia e do momento linear ao choque do bloco com a partícula (vou chamar "partícula" ao corpo de menor massa) poderão obter a velocidade do bloco e da partícula depois da colisão, em função das velocidades antes da colisão.

A solução geral está na Wikipedia, que podem verificar resolvendo o sistema das 2 equações (energia e momento), o que conduz a:

$\vec V^\prime = \frac{M-m}{M+m}\vec V + \frac{2m}{M+m}\vec v$

$\vec v^\prime = \frac{2M}{M+m}\vec V + \frac{m-M}{M+m}\vec v$

Resultam destas equações duas conclusões importantes. Se subtraírem a segunda equação da primeira, obterão:

$\vec V^\prime-\vec v = - (\vec V - \vec v)$ ,

o que significa que uma colisão elástica inverte, simplesmente, as velocidades relativas dos dois corpos.

A outra conclusão é que, para o caso em que M >> m

, obtemos, desprezando pequenos termos em

M ,que

$\vec v^\prime \sim 2\vec V -\vec v$

ou seja, a velocidade da partícula depois de uma colisão elástica é aproximadamente o dobro da velocidade do bloco menos o vector velocidade da partícula antes da colisão. Notem que estas relações são vectoriais. Se designarmos o módulo da velocidade da partícula antes de uma colisão por

(ela está a deslocar-se para a esquerda) e o módulo depois da colisão por

(depois da colisão desloca-se para a direita), então

$\vec v^\prime \sim 2\vec V -\vec v$

significa, na realidade, e em termos dos módulos das velocidades, que

$v^\prime \sim 2 V - (-v) \sim 2V + v$

ou seja:

em cada colisão, a partícula soma ao módulo da velocidade que tinha antes da colisão o dobro do módulo da velocidade do bloco. Estão a perceber até aqui?

:roll:

por **hexphreak** em Domingo Dez 16, 2007 7:08 pm

Sim, aliás já tinha feito praticamente tudo o que está aí :roll:

por **jap** em Domingo Dez 16, 2007 7:11 pm

hexphreak Escreveu:Sim, aliás já tinha feito praticamente tudo o que está aí

Certo, por isso mesmo é que eu disse que tinhas praticamente achado a solução! Fizeste a parte mais difícil, só faltou juntar tudo para chegar ao resultado final!

por **jap** em Domingo Dez 16, 2007 7:24 pm

Vamos então prosseguir. Vou começar pelo método mais trabalhoso, aquele que não usa o "truque".

Vou indexar cada uma das sucessivas colisões do bloco com a partícula por um índice $k = 1,2,3,\dots$ , onde k = 1

representa a primeira colisão do bloco com a patícula em repouso. Vou ainda designar de v_k

o módulo da velocidade da partícula antes da colisão

e $v^\prime_k$ o módulo da velocidade da partícula depois da colisão

Temos assim que v_1 = 0

e, depois da 1ª colisão, o módulo da velocidade da partícula é

$v^\prime_1 \sim v_1 + 2V_0 \sim 2V_0$ .

A que distância da parede vai ocorrer a 2ª colisão? Não é difícil calculá-la. Seja t o tempo que medeia entre a 1ª e a 2ª colisão. O bloco move-se, após a colisão, com praticamente a mesma velocidade que tinha antes, V_0

. Seja

a distância a que ocorre a 2ª colisão. É fácil ver que

L - x_2 = V_0 t

de onde se conclui que x_2 = L/3

.

Então, podemos dizer que x_1 = L

e

. Podemos continuar a fazer as contas assim, colisão após colisão, e completar a seguinte tabela.

$\begin{tabular}{c|c|c|c|c}\hline k & x_k & v_k & v^\prime_k & x_{k+1}\\ \hline 1 & L & 0 & 2V_0 & L/3 \\ 2 & L/3 & 2V_0 & 4V_0 & L/5\\ 3 & L/5 & 4V_0 & 6V_0 & L/7\\ \ldots & \ldots & \ldots \ldots & \ldots \\ k & L/(2k-1) & 2(k-1)V_0 & 2kV_0 & L/(2k+1) \\ \hline \end{tabular}$

Vamos agora considerar a situação em que ocorreram muitas colisões e, portanto, a distância

atingiu o valor mínimo.

Nesta situação, olhando para a tabela, temos que

$v^\prime_{\rm min}\,x_{\rm min} = \lim_{k \to \infty} v^\prime_k\,x_k \sim \lim_{k \to \infty} 2kV_0 \times \frac{L}{2k-1} \sim V_0 L$

Mas a velocidade da partícula na posição em que o bloco está à distância mínima da parede é fácil de calcular! Basta usar a nossa intuição física. O bloco atinge a posição mais próxima da parede quando transfere para a partícula toda a sua energia cinética inicial:

$\frac{1}{2}MV_0^2 = \frac{1}{2}mv^\prime^2_{\rm min}$ ,

ou seja
$v^\prime_{\rm min} = V_0 \sqrt{\frac{M}{m}}$ .

Subsituindo acima vem, finalmente, a resposta procurada:

$x_{\rm min} \sim \frac{V_0 L}{v_{\rm min}}\sim L \sqrt{\frac{m}{M}}$
:wink:

por **hexphreak** em Domingo Dez 16, 2007 7:38 pm

So painfully obvious... :cry:

O meu problema foi não ver as relações L - x = V_0 t

e

...

P.S.: A última "casa" da tabela devia ser L/(2k+1)

por **jap** em Domingo Dez 16, 2007 7:45 pm

hexphreak Escreveu:So painfully obvious... O meu problema foi não ver as relações e ...

P.S.: A última "casa" da tabela devia ser

Obrigado, já corrigi. :wink:

É claro que se pode chegar mais facilmente ao resultado, usando um truque que
tu, aliás, já tinhas também apontado:

numa colisão elástica os dois corpos trocam de velocidades relativas!

Este truque permite justificar (vá lá, façam as contas!) que o produto da distância x_k

a que ocorre a colisão

pela diferença dos módulos das velocidades da partícula e do bloco após essa colisão é uma constante.

$x_k (v^\prime - V^\prime) = \rm const$ .

É trivial calcular o valor da constante. Basta considerar a 1ª colisão, onde x_1 = L

, $v^\prime_1 \sim 2V_0$ e $V \sim V_0$ :

L (2V_0 - V_0) = LV_0

.

então

$x_k (v^\prime - V^\prime) = LV_0$ .

Como $v^\prime_{\rm min} = V_0\sqrt{\frac{M}{m}}$ e $V^\prime_{\rm min}= 0$ (ver acima), conclui-se imediatamente que

$x_{\rm min} \sim L \sqrt{\frac{m}{M}}$ .

Ora aí está!

por **miguel_amaral** em Sexta Out 22, 2010 9:32 am

Nas últimas deduções não é v'_max que se pretende?

por **jap** em Segunda Nov 15, 2010 11:28 pm

miguel_amaral Escreveu:Nas últimas deduções não é v'_max que se pretende?

Na minha notação v'_min significa a velocidade a que corresponde a distância mínima, não significa a velocidade mínima (antes pelo contrário!).

OK, a minha escolha de notação não é a mais feliz...

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