Momento De inércia de um Fratal

[duarte.magano]

Eu achei este problema tricky, mas digam a vossa opinião.

Considerem um triângulo equilátero de lado .
Remove um triângulo com 1/4 da área inicial do meio da figura, e depois remove-se a cada um dos triângulos que sobram outro triângulo com 1/4 dessas áreas do meio deles, e assim até ao infinito, como mostra a figura.

Screen Shot 2014-03-21 at 7.53.06 PM.png (11.2 KiB) Visualizado 5346 vezes

Seja a massa da figura final .
Qual é o momento de inércia da figura final à volta do eixo perpendicular que passa no centro?

[joaofrme]

Bem ainda não cheguei à solução, mas tenho algumas ideias que poderão ajudar. Aquilo tem uma simetria tripla, de maneira que existe uma massa igual de todos os lados. Mas a sua distribuição é que não consigo perceber porque é um fractal.

[duarte.magano]

Mas a sua distribuição é que não consigo perceber porque é um fractal.

É por ser um fractal que tem piada.

[Tharis]

Esse problema já foi postado e resolvido aqui. Obviamente que não invalida que o tentem resolver.

[duarte.magano]

Esse problema já foi postado e resolvido aqui. Obviamente que não invalida que o tentem resolver.

Ups…
Não tinha reparado, desculpem. Eu tinha-o resolvido sem ter conhecimento desse post e achei interessante pôr aqui o problema.

No entanto, continuam a se bem-vindos todos que o quiserem ainda resolver (sem consultar o outro post ). Pode ser até que se gere uma discussão interessante na mesma.

[joaofrme]

Bem acho que descobri como se faz, esta é a minha resolução.

Primeiro vemos que podemos ver que cada figura é repetida três vezes em cada iteração, a simetria tripla que eu já tinha falado. Logo

sendo a distância entre o centro de massa da figura pequena e do total.

Vendo que as distância entre a figura pequena são metade da figura total e que a sua massa é um terço da total, percebe-se que:
, e

E, sabendo que o centro de massa de um triângulo equilátero está a uma distância de da sua base, vai ser igual a:

Logo,

Acho que é isto, se virem algum erro nos cálculo ou no raciocínio digam

[duarte.magano]

Bem acho que descobri como se faz

Descobriste como se faz , mas enganaste-te nas contas…

Na verdade, tens que:




Foi um errozito de contas, sem importância nenhuma.
Definitivamente, a vitória é tua. Parabéns!

[joaofrme]

Sim, eu enganei-me ao passar para o outro lado da equação. São sempre estes pequenos erros que escapam ao meu escrutínio.