Equilíbrio estático surpreendente

por **jap** em Segunda Out 12, 2009 9:54 pm

Considerem a situação da figura, onde uma corda de comprimento

e massa desprezável se encontra fixa em dois pontos A e B, estando B deslocado horizontalmente de A por uma distância w < L

e verticalmente de uma distância $h< \sqrt{L^2-w^2}$ . Uma massa

é pendurada na corda usando uma roldana móvel de massa desprezável. A roldana não tem atrito e pode deslocar-se livremente ao longo da corda, até que "encontra" a posição de equilíbrio, na qual a roldana se encontra a uma distância horizontal

, do ponto A, e a uma distância vertical

, desse mesmo ponto.

Imagem

Pergunto:

a) Quais são os ângulos de equilíbrio $\theta_1$ e $\theta_2$ ?
b) Quais são os valores de

,

e

no equilíbrio?

O resultado é surpreendente!

por **Bibs** em Quinta Out 29, 2009 10:19 pm

Ao fim de alguns cálculos obtive os resultados:

$\sin {\theta_1}=\sin{\theta_2}=\frac{w}{L}$

$y=\frac{L^2-w^2-h^2}{2\sqrt{L^2-w^2}-2h}$

$L_1=L\frac{L^2-w^2-h^2}{2L^2-2w^2-2h\sqrt{L^2-w^2}}$

$x=w\frac{L^2-w^2-h^2}{2L^2-2w^2-2h\sqrt{L^2-w^2}}$

L_2=L-L_1

Será isto?

Aborreceu-me fazer as contas para L_2

, mas também pode-se chegar ao valor através da semelhança de triângulos, já que $\theta_1=\theta_2$ .

por **jap** em Quinta Out 29, 2009 11:03 pm

Obrigado pela resolução.

A primeira equação, pelo menos, parece-me correcta (fiz os cálculos mas não os encontro, terei de os repetir). O que é que achas que há de extraordinário (surpreendente) nos resultados que encontraste?

por **Bruno Oliveira** em Quinta Out 29, 2009 11:29 pm

Eu não fiz as contas... :roll:

Mas olhando para os resultados do Bruno, vê-se que ${L_1 \over L} = {x \over w}.$

Se calhar, estou-me a aproveitar demasiado dos resultados obtidos pelo Bruno :oops:

, mas podemos concluir que:
$L_2= L\,\left(1 - {L^2 - w^2 - h^2 \over 2L^2 - 2w^2 -2h\,\times \, \sqrt{L^2 - w^2}} \right)$

Com mais umas manipulaçoes algébricas (se calhar, redundantes) obtém-se:

$1- {L_1 \over L} = \left(1 - {L^2 - w^2 - h^2 \over 2L^2 - 2w^2 -2h\,\times \, \sqrt{L^2 - w^2}} \right)$

por **jap** em Quinta Out 29, 2009 11:50 pm

Bibs Escreveu:Ao fim de alguns cálculos obtive os resultados:

$\sin {\theta_1}=\sin{\theta_2}=\frac{w}{L}$

$y=\frac{L^2-w^2-h^2}{2\sqrt{L^2-w^2}-2h}$

$L_1=L\frac{L^2-w^2-h^2}{2L^2-2w^2-2h\sqrt{L^2-w^2}}$

$x=w\frac{L^2-w^2-h^2}{2L^2-2w^2-2h\sqrt{L^2-w^2}}$

Destas equações, acho a 1ª a mais interessante... :lol:

O que é que ela significa? :roll:

por **Bruno Oliveira** em Quinta Out 29, 2009 11:57 pm

Amanhã verei melhor as implicações disto!

por **Tharis** em Sexta Out 30, 2009 12:30 am

jap Escreveu:Destas equações, acho a 1ª a mais interessante... O que é que ela significa?

Que $\theta_1 = \theta_2$ .... :mock:

por **Bibs** em Sexta Out 30, 2009 3:42 pm

Acho que o mais importante do facto de $\sin{\theta_1}=\sin{\theta_2}=\frac{w}{L}$ é que os triângulos formados por esses ângulos são semelhantes, assim como são semelhantes com o triângulo formado pela vertical do ponto B, por

, e pela corda

, se não houvesse nenhum peso pendurado nesta.
Okay, talvez não seja nada disto

por **Bruno Oliveira** em Sexta Out 30, 2009 3:53 pm

Parece-me que é de facto isso, não deixei de achar curioso quando vi, a relação ${L_1 \over L} = {w \over x}$ , que, me parece ser bastante surpreendente dado o facto do sistema estar em equilibrio estático :wink:

por **jap** em Sexta Out 30, 2009 11:46 pm

O que eu acho surpreendente é que o àngulo $\theta_1$ (que é igual a $\theta_2$ ) seja apenas dependente da distância vertical

para um dado comprimento de fio

. Isto é, se vocês deslocarem o ponto de apoio B na horizontal, mantendo o ponto A fixo, a massa muda de posição, naturalmente, mas o equilíbrio é atingido para o mesmo ângulo. Muito contraintuitivo, IMHO!

Podem experimentar em casa, não precisam de roldana, apenas de um fio, uma massa para pendurar atada a um clip que faça de argola (em vez da roldana). É muito interessante ver a massa a mudar de posiçao e o ângulo invariante.

Já agora, alguém consegue demonstrar este resultado, sem utilizar forças, a partir de um princípio muito simples: a massa vai para a posição que minimiza a energia potencial do sistema (sujeito às restrições impostas pelo fio, claro). Fico à espera da vossa demonstração de que o mínimo da energia implica $\theta_1 = \theta_2 = w/L$ ! :wink:

por **Bibs** em Quarta Nov 04, 2009 8:51 pm

Na verdade foi assim que resolvi inicialmente o problema

Resolvendo

em função de $\theta_1$ , por exemplo, a partir de

$\sin{\theta_1}=\frac{x}{L_1}$
$\sin{\theta_2}=\frac{w-x}{L_2}$
$\cos{\theta_1}=\frac{y}{L_1}$
$\cos{\theta_2}=\frac{y-h}{L_2}$
L_1+L_2=L

Chega-se a uma equação do género:

$y=\frac{w^2+h^2-L^2}{2w\tan{\theta_1}+\frac{2L}{\cos{\theta_1}}+2h}$

Como para minimizar a energia potencial do sistema basta minimizar a altura, derivando e igualando a zero obtém-se o resultado demonstrado :wink:

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