Bolas de sabão com hélio

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Bolas de sabão com hélio

Mensagempor jap em Terça Nov 14, 2006 11:30 pm

Aqui vai a primeira questão:

É divertido fazer bolas de sabão com hélio, deixando borbulhar o gás de uma garrafa de hélio em água com sabão (mas o gás hélio é muito caro; convém não abusar!).

Por vezes produzem-se bolas que flutuam no ar, em perfeito equilíbrio.

O que tem maior massa: a película de sabão que contém o gás, ou a massa de gás no interior da bola de sabão? :roll:
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Mensagempor manuelmarque em Sábado Nov 18, 2006 10:12 pm

Sem fazer contas nenhumas, sem pensar muito... eu ia para a película. Isto porque o hélio é muito pouco denso (é por isso que podemos fazer aquela voz de "rato mickey" quando falamos mergulhados em hélio :D), e, para o volume da bolha, eu acho que a película tem mais massa.

Mas isto sou só eu a conjecturar... não pensei muito sobre o assunto, apenas vi aqui esta pergunta quase como que "esquecida" e pensei ressuscitá-la :D
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Mensagempor jap em Sábado Nov 18, 2006 10:30 pm

manuelmarque Escreveu:Sem fazer contas nenhumas, sem pensar muito... eu ia para a película. Isto porque o hélio é muito pouco denso (é por isso que podemos fazer aquela voz de "rato mickey" quando falamos mergulhados em hélio :D), e, para o volume da bolha, eu acho que a película tem mais massa.

Mas isto sou só eu a conjecturar... não pensei muito sobre o assunto, apenas vi aqui esta pergunta quase como que "esquecida" e pensei ressuscitá-la :D



A tua intuição está certa, agora vamos lá a demonstar que é assim - é muito fácil! :wink:
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Mensagempor Zé Teixeira em Sábado Nov 18, 2006 10:46 pm

As bolhas ficam paradas no ar ou sobem? Se ficarem paradas, o problema é fácil: basta achar o peso da bolha em função do volume (é igual à impulsão), depois achar o peso do gás de hélio no seu interior (pela densidade do gás e pela massa atómica). Se o gás pesar mais de metade, é mais pesado que a película, caso contrário é menos pesado.

Se as bolhas subirem, não estou a ver como se determina qual pesa mais. Vou pensar um bocado a ver se chego a alguma conclusão.
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Mensagempor jap em Sábado Nov 18, 2006 10:52 pm

Zé Teixeira Escreveu:As bolhas ficam paradas no ar ou sobem? Se ficarem paradas, o problema é fácil: basta achar o peso da bolha em função do volume (é igual à impulsão), depois achar o peso do gás de hélio no seu interior (pela densidade do gás e pela massa atómica). Se o gás pesar mais de metade, é mais pesado que a película, caso contrário é menos pesado.

Se as bolhas subirem, não estou a ver como se determina qual pesa mais. Vou pensar um bocado a ver se chego a alguma conclusão.


No enunciado do problema digo "em quilíbrio perfeito", ou seja as bolãs estão paradas, ou quanto muito a subir ou a descer em movimento uniforme, o que para o efeito vai dar ao mesmo... :wink: Vamos lá a completar o raciocínio e a demonstrar o que o Manel intuiu. Super fácil. :lol:
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Mensagempor jmgb em Domingo Nov 19, 2006 2:11 am

Tirei conclusões, sabendo que a densidade do hélio é cerca de 7 vezes menor que a densidade do ar atmosférico...


Dado que o volume ocupado pela película (e consequente impulsão) é muito (mas mesmo muito!) pequeno, é perfeitamente desprezável quando comparado ao relativamente "gigante" volume ocupado pelo hélio, sendo a densidade da bolha dada (com muito boa aproximação) por:

densidade = \frac{m_{pelicula}+ m_{helio}}{V_{helio}}


Se m_{pelicula}\le{m_{helio}}, a densidade ficaria igual ou inferior a duas vezes a densidade do hélio, e a bolha subiria pelos ares fora rumo ao "infinito". Se m_{pelicula}>{m_{helio}}, a densidade da bolha ficaria maior que duas vezes a densidade do hélio, sendo então possíveis os três cenários: o da bolha a cair, o da bolha a ficar em equilíbrio no ar e o da bolha a subir.

Como só na segunda situação é possível o caso do equilíbrio, fica provado que a para que a bolha possa ficar parada no ar é necessário que a massa da película seja maior que a massa do volume de hélio no interior. QED
última vez editado por jmgb s Domingo Nov 19, 2006 2:44 am, editado 3 vezes no total
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Mensagempor jap em Domingo Nov 19, 2006 2:26 am

Certo! :D

Ou, em linguagem matemática, e supondo a bola em equilíbrio:

seja m_p a massa da película;
m_{\rm He} a massa de hélio dentro da bola
V o volume da bola

g a aceleração da gravidade

\rho_{\rm He} = densidade do hélio
\rho_{\rm ar} = densidade do ar

Na situação de equiíbrio temos,

m_p g + \rho_{\rm He} V g = \rho_{\rm ar} V g

ou seja (m_{\rm He}= \rho_{\rm He} V )

m_p =   m_{\rm He} (\frac{\rho_{\rm ar}}{\rho_{\rm He}} - 1)

Como \frac{\rho_{\rm ar}}{\rho_{\rm He}} \sim 7 ( é mais próximo de 7 do que de 6, João :wink: ),

vem que m_p \sim 6 m_{\rm He}
última vez editado por jap s Domingo Nov 19, 2006 2:37 am, editado 3 vezes no total
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Mensagempor jmgb em Domingo Nov 19, 2006 2:34 am

OK! O primeiro edit foi para meter as fórmulas em latex, o segundo para substituir o 6 pelo 7 e o terceiro para meter o símbolo de "menor ou igual":)

Obrigado por ter implementado esta função fantástica no fórum, professor!


Abraço.
João Gama
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Re: Bolas de sabão com hélio

Mensagempor SkyWalker em Segunda Jul 27, 2009 7:24 pm

Desculpem por ressuscitar um tópico tão antigo, mas a semelhança com a regional deste ano da pergunta é curiosa :shock:
-
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Re: Bolas de sabão com hélio

Mensagempor jap em Quarta Jul 29, 2009 1:04 pm

SkyWalker Escreveu:Desculpem por ressuscitar um tópico tão antigo, mas a semelhança com a regional deste ano da pergunta é curiosa :shock:
>
Me not guilty! :mock:
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