Tabuleiro esburacado

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Tabuleiro esburacado

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Nov 13, 2008 3:40 pm

Este vem das Tips on Physics by Richard P. Feynman :lol:

Considerem o tabuleiro da figura abaixo que tem um buraco de diâmetro 10 cm, que é ao mesmo tempo o raio do tabuleiro:

Imagem

Determinem o centro de massa deste tabuleiro esburacado... :lol:

PS: A figura ficou mal scanneada e está um pouco torta, mas acho que se percebe bem... :roll:
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor jap em Quinta Nov 13, 2008 9:35 pm

Um clássico! :D
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Nov 13, 2008 10:20 pm

Fizemos um parecido na nossa aula, há dois dias! :lol:

E fizemos outro bastante interessante que servirá para lançar uma boa questão...mas primeiro falta este :lol:
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor sagardipak em Quinta Nov 13, 2008 10:28 pm

Fica em (x,y)=(5,0)?

Não fica. Mas vou deixar isto aqui só porque sim.
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor hexphreak em Quinta Nov 13, 2008 10:30 pm

A mim deu-me que fica a um sexto do semi-eixo positivo das abcissas conforme desenhado na figura, mas como fiz os cálculos mentalmente é possível que me tenha enganado :roll:
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor sagardipak em Quinta Nov 13, 2008 10:48 pm

Obviamente, o valor em y é 0 cm, devido à simetria da figura.

O valor de x dá-me

x = \frac{r^3}{2(R^2-r^2)}, onde R é o raio da circunferência maior e r o da pequena.

Substituindo temos

x = \frac{5}{6} \mbox{cm} = 0,83 \mbox{cm}
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor hexphreak em Quinta Nov 13, 2008 10:55 pm

sagardipak Escreveu:Obviamente, o valor em x é 0 cm, devido à simetria da figura.

(...)

Em x não, em y! O corpo é simétrico em torno do eixo dos xx, logo y=0.

Eu considerei o centro de massa de um sistema de duas partículas, em que uma delas tem massa negativa. Ou seja:

\vec R = \dfrac{\sum m_i \vec r_i}{\sum m_i} = \dfrac{M\vec 0 + (-M/4)(-5,0)}{M-M/4} = (5/3,0)
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor sagardipak em Quinta Nov 13, 2008 10:57 pm

hexphreak Escreveu:
sagardipak Escreveu:Obviamente, o valor em x é 0 cm, devido à simetria da figura.

(...)

Em x não, em y! O corpo é simétrico em torno do eixo dos xx, logo y=0.


Isso, problema de letras... Ainda bem que estou em ciências!
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Nov 13, 2008 11:21 pm

Henrique, estás lá quase, deve faltar um factor de 10, algures nos teus cálculos, ou algo do género, pois a resposta correcta é 1,7 cm, 1/6 é 0,166666 cm logo o teu raciocinio mental deve estar certo, podem usar centimetros, escusam de trabalhar no SI.
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor hexphreak em Quinta Nov 13, 2008 11:26 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Henrique, estás lá quase, deve faltar um factor de 10, algures nos teus cálculos, ou algo do género, pois a resposta correcta é 1,7 cm, 1/6 é 0,166666 cm logo o teu raciocinio mental deve estar certo, podem usar centimetros, escusam de trabalhar no SI.

Vê o meu post seguinte, a minha resposta é 5/3 cm = 1.7 cm, ou seja um sexto de 10 cm :)
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Nov 13, 2008 11:28 pm

Está certo! :hands:

Já tinha visto, mas a conta estava-me a dar diferente na calculadora, mas o raciocinio é mesmo esse
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor sagardipak em Quinta Nov 13, 2008 11:32 pm

Já agora, posto aqui a maneira como eu fiz (enganei-me numas contas).

O centro de massa do círculo de raio R = 20 cm é (0,0). Vou considerar que o tabuleiro tem uma altura l e uma densidade \rho.

O volume do tabuleiro é \l \pi (R^2-r^2) e o da circunferência menor é \l \pi r^2.

Assim, temos

\frac{x \rho \l \pi (R^2-r^2)- r \rho l \pi r^2}{\rho l \pi R^2}=0 \Leftrightarrow

x = \frac{r^3}{R^2-r^2}

E substituindo temos a resposta do Henrique.
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Nov 13, 2008 11:33 pm

E agora, como já resolveram, este, considerem agora a parte II, que consiste, não num tabuleiro, mas numa laranja esburacada, com as mesmas dimensões, considerada esférica, façam as contas e tirem conclusões, sobre o que é que "faz mais falta" á partícula, ou seja o que desvia mais o seu CM do seu centro (como sabem, em figuras regulares, o CM está no centro da figura, mas o que o desvia mais, um buraco circular ou um buraco esférico? :roll:
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor hexphreak em Quinta Nov 13, 2008 11:37 pm

Sem fazer contas, parece-me que será o buraco circular, uma vez que o buraco esférico representa apenas um oitavo da massa da esfera, enquanto que o buraco circular representa um quarto da massa do disco.
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Re: Tabuleiro esburacado

Mensagempor sagardipak em Quinta Nov 13, 2008 11:41 pm

Seguindo um raciocínio análogo, o valor de x será

x = \frac{r^4}{R^3-r^3} \Leftrightarrow
x = r\frac{1}{(\frac{R}{r})^3-1} \Leftrightarrow

Comparando com

x = r\frac{1}{(\frac{R}{r})^2-1} \Leftrightarrow

Vemos que o desvio é maior no segundo caso, o dos círculos.

Basta ver que

R>r \Rightarrow \frac{R}{r}>1 \Rightarrow (\frac{R}{r})^3>(\frac{R}{r})^2 \Rightarrow (\frac{R}{r})^3-1>(\frac{R}{r})^2-1 \Rightarrow
\Rightarrow \frac{1}{(\frac{R}{r})^3-1} < \frac{1}{(\frac{R}{r})^2-1}
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