Para completar com um certo formalismo...
Considere-se para estudo uma função

de período

( tal que

) ou, em alternativa, dada
![f:[-l, l]\rightarrow \mathbb{R} f:[-l, l]\rightarrow \mathbb{R}](/phpBB3/latexrender/pictures/d27a3ceda0d8afd776bd21ffef8febe3.gif)
a sua
extensão periódica a

de período

( ainda designada por

).
Impondo a

algumas condições, veremos que pode ser escrita na seguinte forma:

onde

e

são coeficientes apropriados. Esta é a
série de Fourier de f.
Por exemplo, sendo
![f:[-\pi, \pi]\rightarrow\mathbb{R} f:[-\pi, \pi]\rightarrow\mathbb{R}](/phpBB3/latexrender/pictures/403469cd75ec24f3bcf361332249e387.gif)
definida por

,

já se encontra expandida em série de Fourier. Os coeficientes não nulos da expansão são

e
Qual o significado de desenvolver f em série de Fourier?
Desenvolver

em série de Fourier é uma operação análoga a escrever um vector

na base canónica de

,

. Desenvolver

em série de Fourier é escrever

na seguinte base:

Mas esta é uma base de que espaço de funções? Prova-se que

é a base do espaço das funções mensuráveis cujo quadrado é integrável em [-l, l]:
![\displaystyle L^2([-l,l]) := \left\{ f: [-l,l] \rightarrow \mathbb{R}: \int_{-l}^l |f(x)|^2 \,\mathrm{d}x < \infty \right\} \displaystyle L^2([-l,l]) := \left\{ f: [-l,l] \rightarrow \mathbb{R}: \int_{-l}^l |f(x)|^2 \,\mathrm{d}x < \infty \right\}](/phpBB3/latexrender/pictures/01fdcd0871f5bbed05841ce5b0822512.gif)
O requisito de f ser mensurável é necessário para garantir que o integral do quadrado de f está definido. Todas as funções de que falarei daqui para a frente assume-se pertencerem a este espaço.
Representam-se em seguida os cinco primeiros elementos de

acima explicitados:

Como determinar os coeficientes
e
?Relembramos em primeiro lugar qual o procedimento em

para determinar as coordenadas de um vector

na base canónica. Por exemplo, o coeficiente

é

pois


Neste cálculo usaram-se dois factos acerca da base canónica de

, a saber, os elementos da base têm norma 1 e são ortogonais.
Se os elementos da base fossem ortogonais mas não tivessem norma 1 (não fossem ortonormais), então o coeficiente

seria

.
Para encontrar os coeficientes de Fourier, procede-se de maneira idêntica. Mas, antes de mais, é necessário definir uma operação produto interno no espaço
![L^2([-l,l]) L^2([-l,l])](/phpBB3/latexrender/pictures/d0934c18386d125c7d45f1d61a7e1b0b.gif)
. Neste espaço, define-se o produto interno

Podem verificar que esta operação é de facto um
produto interno. A norma de

induzida pelo produto interno é

Definam-se agora


Deixo como exercício mostrar que


e que os elementos de

são ortogonais, isto é,



Enuncio, finalmente, o teorema essencial já mencionado atrás que está na base de todos os cálculos e raciocínios elaborados:
O conjunto
é uma base de ![L^2([-l,l]) L^2([-l,l])](/phpBB3/latexrender/pictures/d0934c18386d125c7d45f1d61a7e1b0b.gif)
Em termos pouco precisos, dada uma função

podemos escrevê-la como uma combinação linear finita ou infinita de senos e cosenos com frequências múltiplas de uma frequência fundamental. Este teorema permite-nos afirmar que, de facto,

pode ser escrita na forma
![\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} [a_nu_n+b_nv_n] \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} [a_nu_n+b_nv_n]](/phpBB3/latexrender/pictures/84ef512337c737a8b326f3d4f1a975e1.gif)
, com

.
Finalmente, se procedermos como em

para determinar os coeficientes

e

, vemos que
![\int_{-l}^{l}f(x)dx=(\sum_{n=0}^{\infty}[a_nu_n+b_nv_n], u_0) \int_{-l}^{l}f(x)dx=(\sum_{n=0}^{\infty}[a_nu_n+b_nv_n], u_0)](/phpBB3/latexrender/pictures/a20d8799137d37e3f997d7451db3a00a.gif)

![\int_{-l}^{l}f(x)\cos\left(\frac{m\pi x}{l}\right)dx=(\sum_{n=0}^{\infty}[a_nu_n+b_nv_n], u_m) \int_{-l}^{l}f(x)\cos\left(\frac{m\pi x}{l}\right)dx=(\sum_{n=0}^{\infty}[a_nu_n+b_nv_n], u_m)](/phpBB3/latexrender/pictures/80f1fe799b28703cabac526671105414.gif)

![\int_{-l}^{l}f(x)\sin\left(\frac{m\pi x}{l}\right)dx=(\sum_{n=0}^{\infty}[a_nu_n+b_nv_n], v_m) \int_{-l}^{l}f(x)\sin\left(\frac{m\pi x}{l}\right)dx=(\sum_{n=0}^{\infty}[a_nu_n+b_nv_n], v_m)](/phpBB3/latexrender/pictures/23d0934bd1aa4675f173a82953afe3bf.gif)

Logo, obtemos as expressões explicitas para os coeficientes da expansão em série de Fourier de f:

( média de

em
![[-l,l] [-l,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/a448289cf74552cc38ece37cece61c1c.gif)
! )

Extensões pares e ímparesAs séries de Fourier são particularmente úteis na determinação de soluções de equações diferenciais parciais(EDP's). Em conjunto com o método de separação de variáveis, obtemos um método para a resolução de problemas de valores na fronteira extremamente útil.
Neste tipo de aplicações, é frequente ter-se uma função

definida apenas num intervalo
![[0,l] [0,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/8cf0b3e021d63d93fc5d3146f86cd5c4.gif)
e ser-nos útil estender

a

de forma a obtermos uma função periódica e tão diferenciável quanto possível; extensões periódicas porque as séries de Fourier são funções periódicas; tão regulares quanto possível porque isso traduz-se positivamente na convergência( possibilidade de convergência uniforme ) das séries de Fourier e na possibilidade de derivar termo a termo( derivada formal = derivada ). Estes critérios permitem que a extensão de

esteja relacionada de forma intima com a função original

.
Seja então

definida em
![[0,l] [0,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/8cf0b3e021d63d93fc5d3146f86cd5c4.gif)
. Devemos analisar a regularidade das extensões ímpar,

, e par,

, de

.
Na figura seguinte pode ver-se que a extensão ímpar de uma função de classe

em
![[0,l] [0,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/8cf0b3e021d63d93fc5d3146f86cd5c4.gif)
é ainda de classe

em
![[-l,l] [-l,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/a448289cf74552cc38ece37cece61c1c.gif)
, enquanto que a extensão par de

não é diferenciável na origem:

enquanto que na seguinte figura a extensão par de f é mais conveniente( mais regular ) que a ímpar:

- Regularidade da extensão par
- extension.png (11.66 KiB) Visualizado 11334 vezes
Existem resultados sobre a regularidade das extensões pares e impares de f, mas penso que uma análise visual da função é suficiente para a escolha mais adequada da extensão a considerar.
Um resultado importante que facilita em muito o trabalho da determinação do desenvolvimento em série de Fourier de uma função

definida em
![[-l,l] [-l,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/a448289cf74552cc38ece37cece61c1c.gif)
( se

não estiver definida em
![[-l,l] [-l,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/a448289cf74552cc38ece37cece61c1c.gif)
mas apenas em
![[0,l] [0,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/8cf0b3e021d63d93fc5d3146f86cd5c4.gif)
, podemos estender

a
![[-l,l] [-l,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/a448289cf74552cc38ece37cece61c1c.gif)
) é o seguinte:
Dada uma função

, então verifica-se que:
se

for ímpar

;
se

for par,

.
Assim, para funções pares e ímpares em
![[-l,l] [-l,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/a448289cf74552cc38ece37cece61c1c.gif)
o cálculo da série de Fourier de

é bastante simplificado.
Este resultado pode ser encarado de forma intuitiva pois se

é uma função par espera-se que a sua série de Fourier seja a soma apenas de funções pares( cosenos ) e se

for ímpar a sua série de Fourier será a soma de funções ímpares apenas( senos ).
Alguns ExemplosOnda rectangularUma onda rectangular representada na figura seguinte

- Onda quadrada
- squareWave.png (10.57 KiB) Visualizado 11321 vezes
é um sinal periódico de período

e pode ser descrito, em
![[-T/2, T/2] [-T/2, T/2]](/phpBB3/latexrender/pictures/96405f4b965bd554b53c0d2783eb1c20.gif)
, analiticamente pela fórmula

Vamos determinar a sua série de Fourier e analisar a convergência da série para a função, em particular, o efeito da descontinuidade na origem.
Como a onda é uma função ímpar em torno da origem, a sua série de Fourier será a soma de senos( funções ímpares ):

,
com


( pois

e

são ímpares; logo

é par)




Logo, a série de Fourier desta onda quadrada é


O resultado obtido é interessante pois a série trigonométrica de Fourier que descreve a onda rectangular só apresenta harmónicas ímpares(

) decaindo a amplitude das mesmas com a ordem da harmónica

.
Na figura seguinte, estão representadas as somas parciais

,

,

e

(

é o somatório das

primeiras harmónicas da série ) da série de Fourier de uma onda quadrada com

e

. Na vizinhança da descontinuidade em

, as somas parcias parecem não convergir. Este fenómeno, muitas vezes observado em osciloscópios e dispositivos de análise de sinais é conhecido por fenómeno de Gibbs.

- Fenómeno de Gibbs
- gibbs.png (33.66 KiB) Visualizado 11240 vezes
Para os interessados, isto deve-se à não
convergência uniforme da série de Fourier em
![[-l,l] [-l,l]](/phpBB3/latexrender/pictures/a448289cf74552cc38ece37cece61c1c.gif)
. Não se trata de erros numéricos! É mesmo defeito do modelo matemático usado.
Onda triangular...Consideremos agora uma onda triangular representada na figura seguinte

descrita analiticamente pela fórmula

Procedendo como na alínea anterior, obtemos

, onde

Neste caso, verificamos então que:
- só existem harmónicas ímpares como esperado( o sinal é ímpar em torno da origem );
- a amplitude das harmónicas cai com
em que
é a ordem da harmónica; - o termo
é positivo para
e negativo para 
Pode verificar-se que cerca de 4 harmónicas já descrevem razoavelmente a forma da onda, uma vez que a amplitude das harmónicas decai com


PS: Estão à vontade para alterar algo que achem estar desadequado
