Voltímetro de condensador e mola

por **Bruno Oliveira** em Sábado Jul 19, 2008 7:35 pm

Só vi agora :oops:

Não

, eu não estava a fazer confusão com o

, estava era a acabar de sustituir na minha expressão algumas variáveis para chegar á expressão do prof.

, mas ao substituir o

, pela sua expressão com a diferença de potencial e as expressões $C_{final}$ e $C_{inicial}$ , estamos quase lá, depois será entrar em conta com o equilibrio da mola e resolver em ordem a

, certo?

por **Bruno Oliveira** em Sábado Jul 19, 2008 8:11 pm

Pronto, consegui finalmente chegar á expressão do prof. a partir da minha, estava a obter o quociente $\frac{1}{C_{final}}$ e $\frac{1}{C_{inicial}}$ multiplicados por um factor de $\frac{1}{2}$ , que me esqueci de eliminar quando pus em evidência :roll:

.

Agora e substituindo na expressão para Fdx

, obtém-se então que:

$Fdx=-\frac{1}{2}Q^2\left(\epsilon_0\frac{d-\Delta x}{S}-\epsilon_0\frac{d}{S}\right)$ , mas se considerarmos um $\Delta x$ , muito pequeno ( $\Delta x \sim 0$ ), vamos ter que:

$F\Delta x=-\frac{1}{2}Q^2\left(\epsilon_0\frac{d}{S}-\epsilon_0\frac{d}{S}\right)$ , o que significa que a variação da força é nula e temos uma força constante

, certo?

por **Pedro Melo** em Sábado Jul 19, 2008 10:35 pm

Não conheces a relação entre uma força conservativa e energia potencial a ela associada? $\vec F=-gradE_{p}$ . Como é um probelma unidimensional, tens que $gradE_{p}=\frac{dE_{p}}{dx}\vec i$ . $gradE_{p}$ significa gradiente de $E_{p}$ . Podes ver mais em http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient.

por **Bruno Oliveira** em Sábado Jul 19, 2008 10:39 pm

Obrigado pelo link Pedro, não por acaso não conhecia :roll:

, tenho de ler quando tiver mais calma :wink:

.

Isso ainda é muita matemática para mim, ainda não aprendi derivadas parciais :evil:

por **Pedro Melo** em Sábado Jul 19, 2008 10:57 pm

É bastante útil. Por exemplo, sendo $E_{p}=\frac{1}{2}\frac{Q^2(d\pm x)}{S\epsilon_{0}}$ obténs por derivação que $F=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{S\epsilon_{0}}$ (nota que

é o módulo da força).

E as derivadas parciais são faceis. Na maioria dos casos uma derivada parcial faz-se da mesma forma do que uma derivada das que já sabes fazer. Por exemplo, para calculares a derivada parcial de $f(x,y,z)=\sin(xÂ²+yÂ²)-\ln(z)$ , num ponto qualquer pertencente ao interior do domínio de

, em ordem a x, consideras que o que não é x (ou não tem x no argumento) é constante. Fica $\frac{{\partial}f}{{\partial}x}=2x\cos(xÂ²+yÂ²)$ .

por **Bruno Oliveira** em Sábado Jul 19, 2008 10:59 pm

Pois apercebi-me disso ao ler o post do Zé Teixeira, obrigado pela explicação Pedro :wink:

por **jap** em Domingo Jul 20, 2008 12:20 am

Bruno Oliveira Escreveu:Pronto, consegui finalmente chegar á expressão do prof. a partir da minha, estava a obter o quociente $\frac{1}{C_{final}}$ e $\frac{1}{C_{inicial}}$ multiplicados por um factor de $\frac{1}{2}$ , que me esqueci de eliminar quando pus em evidência .

Agora e substituindo na expressão para , obtém-se então que:

$Fdx=-\frac{1}{2}Q^2\left(\epsilon_0\frac{d-\Delta x}{S}-\epsilon_0\frac{d}{S}\right)$ , mas se considerarmos um $\Delta x$ , muito pequeno ( $\Delta x \sim 0$ ), vamos ter que:

$F\Delta x=-\frac{1}{2}Q^2\left(\epsilon_0\frac{d}{S}-\epsilon_0\frac{d}{S}\right)$ , o que significa que a variação da força é nula e temos uma força constante , certo?

Deverás proceder assim: partindo da tua expressão para $F\Delta x$ e fazendo as contas dentro do parêntises,

$F\Delta x=-\frac{1}{2}Q^2\left(\epsilon_0\frac{d-\Delta x}{S}-\epsilon_0\frac{d}{S}\right) = \frac{Q^2}{2\epsilon_0 S} \Delta x$

donde, sendo esta igualdade válida para qualquer pequeno $\Delta x.$ , podermos concluir que:

$F = \frac{Q^2}{2\epsilon_0 S}$

Simples, não? :wink:

por **Bruno Oliveira** em Domingo Jul 20, 2008 9:58 am

Claro mesmo simples, era tão óbvio que nem vi :shock:

Era de facto um resultado incoerente a força estar a dar 0, até tinha anotado a expressão do Pedro aqui num papel, mas entusiasmei-me e nem vi o erro :roll:

Bom, com os erros é que se aprende :roll:

, e agora para saber, a posição em que a Força de atracção entre as placas equilibra a força da mola, podemos escrever a igualdade:

$\frac{Q^2}{2\epsilon_0S}=kx$ , e ao resolver em ordem á posição,

, obtém-se:

$x=\frac{Q^2}{k2\epsilon_0S}$

por **jap** em Domingo Jul 20, 2008 11:38 am

Bruno Oliveira Escreveu:
$\frac{Q^2}{2\epsilon_0S}=-kx$ , e ao resolver em ordem á posição, , obtém-se:

$x=\frac{Q^2}{-k2\epsilon_0S}$

Agora é só substituir $Q = C_{inicial}V$ para obter a expressão final em função de V...

por **Bruno Oliveira** em Domingo Jul 20, 2008 11:45 am

Claro, agora é simples, estava era á espera de confirmação da expressão para a distância

.

Agora, após substituição e resolvendo em ordem ao

, vem então:

$V=\sqrt{\frac{2x\epsilon_0kS}{C^2_{inicial}}$

por **jap** em Domingo Jul 20, 2008 11:47 am

jap Escreveu:
Bruno Oliveira Escreveu:
$\frac{Q^2}{2\epsilon_0S}=-kx$ , e ao resolver em ordem á posição, , obtém-se:

$x=\frac{Q^2}{-k2\epsilon_0S}$

Agora é só substituir $Q = C_{inicial}V$ para obter a expressão final em função de V...

E cuidado com o sinal

!

por **Bruno Oliveira** em Domingo Jul 20, 2008 11:57 am

Obrigado pelo aviso prof. já editei a fórmula, a nível matemático vem sempre F=kx

, a nível vectorial: $\vec F=-k\vec x$ , o que significa que o vector força possui sentido opsto ao vector deformação

por **Serodio** em Terça Ago 26, 2008 2:21 pm

Tenho uma dúvida neste problema. A capacidade do condensador não vai variando ao longo do deslocamentpo.

É que eu, ao tentar resollver só a primeira parte, nunca consegui chegar ao mesmo resultado pois assumi que $C = \epsilon\frac{S}{d-x}$

por **Bruno Oliveira** em Terça Ago 26, 2008 3:06 pm

Tens razão, a capacitância do condensador, não varia com o deslocamento, apenas varia com a distância, por isso tens de assumir que: $C=\epsilon_r\epsilon_0\frac{S}{d}$ , mas podes tirar da expressão o $\epsilon_r$ , pois no ar $\epsilon_r \sim 1$ , e como a capacitância não varia com o deslocamento este não pode estar na fórmula. :wink:

por **Serodio** em Terça Ago 26, 2008 4:10 pm

Não é bem isso que quiz dizer. Repara que depois de o condensador se deslocar ele possui uma capacidade diferente já que a distância a que as duas placas se encontram é diferente. Não se pode escrever apenas em função de d, penso eu.

Voltímetro de condensador e mola

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