OK, então aqui vão umas dicas...juntamente com um ponto da situação.
Já sabemos que a função que nos dá a fracção dos fragmentos da granada que ficam colodos no hemisfério superior do bunker é

.
Precisamos apenas de encontrar

e

.
A equação do projéctil (sistema de eixos centrado na esfera) é

sendo que

quando o projéctil intersecta a esfera no hemisfério superior. Reparem que devido à simetria esférica do problema, basta tratar do caso do lançamento do projéctil num plano arbitrário XOY que passa pela origem e a minha análise pode limitar-se ao quadrante superior se estiver interessado em encontrar os ângulos

max e min relevantes para o problema (intersecção com o hemisfério superior).
As abcissas dos pontos de intersecção, são portanto as raízes da equação

com
![x \in \left[0,R\right] x \in \left[0,R\right]](/phpBB3/latexrender/pictures/0229ca5be051bfc24e61b775f0dc0d5d.gif)
e
![y = \sqrt{R^2 - x^2} \in \left[0,R\right] y = \sqrt{R^2 - x^2} \in \left[0,R\right]](/phpBB3/latexrender/pictures/83f272a29ccd3d98c162194052af4a99.gif)
.
Sugiro que trabalhemos com unidades adimensionais,

,

A equação acima fica assim

onde

Precisamos de encontrar os ângulos

max e min para um dado

tais que a equação acima tenha solução para

no intervalo
![\left[ 0,1\right ] \left[ 0,1\right ]](/phpBB3/latexrender/pictures/883d14865739bbbe0746fb4b878ddda6.gif)
. Claro que podem quadrar a equação e lidar com a equação quártica que daí resulta, mas também podem tentar resolver aquela equação numericamente...e talvez seja mais fácil!
De qualquer forma já sabemos que (e estes pontos são todos importantes, e vocês já os descobriram!):
a) Se

não há intersecções dos fragmentos da granada com o hemisfério superior e, portanto,

.
b) Para

todos os ângulos de lançamento superiores a

atingem o hemisfério superior. Nesta situação

.
c) Para
![\beta \in \left [0.5,1\right] \beta \in \left [0.5,1\right]](/phpBB3/latexrender/pictures/da7aa25f58d79c3e462847b4f74f84f5.gif)
parece, à primeira vista, que

. Mas isto só é correcto (asseguro-vos e cabe a vocês verificar) no intervalo
d) Há portanto um pequenino intervalo "patológico" de

s (velocidades) para os quais
não é o complementar de

, mas sim um outro valor. Este pequenino intervalo é
![\beta \in \left [0.50, 0.55\right] \beta \in \left [0.50, 0.55\right]](/phpBB3/latexrender/pictures/1af1fde2b75d6fbd260585caa64e0136.gif)
(Nota: 0.55 não é um número decimal exacto!

)
Ora haja quem verifique isto!
O Bruno pode, por exemplo, simular o caso em que

e peço-lhe para encontrar, a partir da simulação, o ângulo

para verificarmos que difere, de facto, de

(=90-16.003º=73.997º, de acordo com a expressão acima)
(em construção).