Bolas de sabão

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Bolas de sabão

Mensagempor jap em Sábado Abr 12, 2008 2:26 pm

Como sabem, a pressão do ar no interior de uma bola de sabão é superior à atmosférica, devido à tensão superficial \sigma da película da bola de sabão.


Considerem agora duas bolas de sabão de raios r_1 e r_2 que flutuam no ar. As bolas colidem, aderem uma à outra e acabam for fundir-se numa só bola de raio r (já observaram este fenómeno, não é verdade?).

Ora obtenham uma expressão para \sigma em função da pressão atmosférica no local, P_0, e dos raios das bolas!
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Mensagempor hexphreak em Sábado Abr 12, 2008 3:57 pm

Assumindo que a massa se conserva, obtive:

\sigma = \frac{P_0}{4} \frac{r_1^3 + r_2^3 - r^3}{r^2 - r_1^2 - r_2^2}
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Mensagempor jap em Sábado Abr 12, 2008 4:34 pm

Certo! :hands:

Ora explica aí. :wink:
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Mensagempor hexphreak em Sábado Abr 12, 2008 8:22 pm

Comecemos por definir a tensão superficial: a tensão superficial é uma força por unidade de comprimento, uma "força linear". Em termos de uma bolha, é a força exercida numa linha imaginária (um círculo equatorial, geometricamente) pela membrana, perpendicular à linha mas paralela à superfície. Para perceberem melhor, vejam o exemplo da Wikipedia :)

Passemos então ao nosso problema (podíamos utilizar directamente a equação de Young-Laplace, mas parece-me mais esclarecedor ver como obter o resultado a partir dos princípios básicos). Para termos uma bolha em equilíbrio (ignorando a gravidade), é necessário que a diferença de pressão equilibre a tensão superficial. Designando por P a pressão no interior da bolha, obtemos:

(P - P_0)\pi r^2 = 2\sigma (2\pi r) \Leftrightarrow P = P_0 + \frac{4\sigma}{r}

(Porquê? Lembrem-se da direcção da tensão superficial...) Desprezamos aqui a espessura da bolha, senão teríamos de utilizar a equação completa de Young-Laplace.

Para além deste equilíbrio, podemos utilizar a lei dos gases ideais*:

PV = nRT

Se repararmos que há conservação da quantidade de substância na formação da nova bolha (equivalente à conservação da massa), podemos então escrever:

(P_0 + \frac{4\sigma}{r}) r^3 = (P_0 + \frac{4\sigma}{r_1}) r_1^3 + (P_0 + \frac{4\sigma}{r_2}) r_2^3

(Com os termos constantes já eliminados) Resolvendo agora em ordem a \sigma, ficamos com:

\sigma = \frac{P_0}{4} \frac{r_1^3 + r_2^3 - r^3}{r^2 - r_1^2 - r_2^2}

Digam se não perceberem algum dos passos :)


* Em geral, quando temos pelo menos duas quantidades presentes na lei dos gases ideais (neste caso a pressão e, indirectamente, o volume), é boa ideia usá-la :wink:
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Mensagempor jap em Sábado Abr 12, 2008 8:30 pm

Obrigado, Henrique! :D

Podem encontrar um pouco mais de discussão sobre o conceito de "tensão superficial" no final desta thread:

Vai ao fundo?

Este texto também não está mal. :wink:
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