Propulsão de um carro

por **hexphreak** em Sexta Mar 07, 2008 10:02 pm

Este é trivia conceptualmente, mas tive que fazer três integrais por isso quem quiser ajuda, poste aqui ou então peça-me no Messenger

Aqui vai:

Por alguma estranha razão (afinal são quarkianos...), decidem atirar bolas de ténis a um carro de massa

, que se move sem atrito no chão horizontal. Atiram então as bolas à mala aberta do carro com velocidade

, a uma taxa de massa de $\sigma\mbox{ kg\,s^{-1}}$ (assumimos uma taxa contínua por questão de simplicidade, mas depois podemos estudar o caso discreto).

Se o carro partir do repouso, encontra a sua velocidade e posição como função do tempo, assumindo claro que todas as bolas ficam dentro da mala :wink:

por **jap** em Sexta Mar 07, 2008 10:08 pm

Oh não, o Henrique é telepata! :shock:

por **hexphreak** em Sexta Mar 07, 2008 10:11 pm

jap Escreveu:Oh não, o Henrique é telepata!

Oh sheep, my cover was blown! :lol:

O Prof. já ia postar este problema?

por **jap** em Sexta Mar 07, 2008 10:15 pm

Imaginem a seguinte situação: um carro de massa M_c

que pode deslizar sem atrito e que transporte no seu interior um quarkiano de massa M_q

e que atira, de dentro do carro, bolas de ténis - o que propulsiona o carro. As bolas são atiradas uma a uma, com velocidade

em relação ao carro. Como o condutor não se quer cansar, e tem de retemperar forças, há um tempo razoável entre cada atiradela.

Sabe-se que o condutor dispõe no início de um saco com

bolas de ténis, cada uma de massa

.

Encontrar a expressão da velocidade do carro em função do número de bolas,

, que restam no saco... :lol:

PS: garanto-te que ia mesmo postar hoje este problema! :shock:

Não é exactamente igual ao teu, mas quase, quase...

por **hexphreak** em Sábado Mar 08, 2008 12:47 pm

Será esta a solução para o problema do Prof.?

$v = \frac{m(N - n)}{M - m(N - n)} u$

(

é o número de bolas no saco)

por **jap** em Sábado Mar 08, 2008 6:52 pm

hexphreak Escreveu:Será esta a solução para o problema do Prof.?

$v = \frac{m(N - n)}{M - m(N - n)} u$

( é o número de bolas no saco)

Não me parece que esteja correcto... :no

Suponho que usaste a notação

M = M_c + M_q

e

para o número de bolas que restam no saco...

É isso? :roll:

por **hexphreak** em Sábado Mar 08, 2008 9:44 pm

Sim, esqueci-me de "traduzir" a notação que usei aqui no papel

Fui pela conservação da quantidade de movimento, mas devo ter errado alguma coisa... vou verificar.

por **hexphreak** em Domingo Mar 09, 2008 3:21 am

Já que estou sem dormir e estou, aproveitei para repensar a minha resposta. Será (utilizando a notação anterior):

$v = \frac{n - N}{M+nm}mu$

a solução correcta? :roll:

Pelo menos funciona para os casos limite n = 0

e

.

por **jap** em Quarta Mar 12, 2008 1:11 am

Não, ainda não é a solução correcta! :no

Se comparares com o problema dos foguetões, verás que deverá aparecer, pelo menos "tendencialmente" um logaritmo algures :lol:

por **jap** em Segunda Mar 17, 2008 10:17 pm

jap Escreveu:Não, ainda não é a solução correcta!

Se comparares com o problema dos foguetões, verás que deverá aparecer, pelo menos "tendencialmente" um logaritmo algures

Vamos voltar a pegar neste problema?

Só temos que somar os vários "piparotes" que o carro sofre sempre que é batida uma bola de ténis...

por **jap** em Segunda Mar 17, 2008 10:29 pm

Vou dar uma ajuda!

Seja

a massa do carro e seu ocupante quarkiano, e v_n

a velocidade do carro quando há

das

bolas dentro do carro (as restantes já foram lançadas!).

Vamos ainda definir $\Delta v_n = v_{n-1} -v_n$
(notem que n tende para zero há medida que lançamos as bolas, pelo que $v_{n-1} > v_n$ !)

Assim, $\Delta v_n$ é o incremento da velocidade do carro quando é lançada uma das

bolas que restam no carro.

Vamos lá aplicar a lei da conservação da quantidade de movimento (ou do momento linear, como preferirem!) para obter $\Delta v_n$ .

Mostrem, aplicando esta lei, que

$\Delta v_n = \frac{u}{a+n}$ ,

onde a é o parâmetro adimensional definido da seguinte forma:

$a = \frac{M}{m}-1$ :wink:

por **hexphreak** em Segunda Mar 17, 2008 10:34 pm

Pois, eu cheguei a algum lado, mas as séries e eu... :lol:

Não é difícil obter a expressão para a variação de velocidade conseguida com cada bola:

$(M + nm)v + mu = (M + (n-1)m)(v + \Delta v)$

Logo

$\Delta v = \frac{m}{M + (n-1)m} u$

E agora a variação total de velocidade obtém-se calculando o somatório:

$v = \sum_N^0 \Delta v = \sum_N^0 \frac{m}{M + nm} u$

Mas eu só consigo chegar até:

$v = mu \frac{\sum_N^0 M + nm}{\prod_N^0 M + nm}$

Alguém com mais experiência que queira ajudar? :roll:

P.S.: Ah, o Prof. já se adiantou um bocado :lol:

por **sagardipak** em Segunda Mar 17, 2008 11:18 pm

Bem, o somatório é trivial de calcular... Não tem assim uma grande dificuldade. Agora o produtório é que dá cabo da cabeça. Podíamos usar o teorema binomial, se o

não mudasse...

por **jap** em Segunda Mar 17, 2008 11:18 pm

Henrique,

A equação

$(M + nm)v + mu = (M + (n-1)m)(v + \Delta v)$

deveria ser

$(M + (nm))v + m(u-v) = (M + (n-1)m)(v + \Delta v)$ ,

ou seja,

$(M + (n-1)m)\Delta v = mu$ .

Para a bola, temos de usar a velocidade absoluta em relação ao solo ( u-v

e não

) quando aplicamos a lei da conservação da quantidade de movimento.
Concordas? :roll:

por **hexphreak** em Segunda Mar 17, 2008 11:23 pm

Claro, deixei escapar esse termo dos parêntesis ao fazer a transcrição

Obrigado pela correcção.

Eu tentei enquadrar o somatório entre dois integrais, para ver se pelo menos davam igual, mas no such luck

Propulsão de um carro

Propulsão de um carro

Propulsão de um carro II

Quem está ligado