O repuxo do jardim

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

O repuxo do jardim

Mensagempor jap em Sexta Dez 01, 2006 10:57 pm

Outro de classe tricky--, bom para os caloiros, que nesta altura do campeonato já devem saber tudo sobre projécteis, não é verdade :wink:

O pai do Xavier comprou um repuxo para um tanque do jardim lá de casa. Mas antes de o montar, ficou preocupado:

- Ó Xavier, diz aqui que o repuxo lança jactos de água em várias direcções e que, na vertical, o jacto atinge uma altura de dois metros! Será que os jactos não vão transbordar do nosso tanque e alagar o jardim? Já que andas a aprender Física, calcula lá o raio mínimo do tanque para que não haja problemas!

Responde pronto o Xavier:

Ó pai, essa é fácil, dou-te já a resposta. Até consigo calcular algo muito mais difícil: a equação matemática que delimita a região do espaço tridimensional, à volta do repuxo, que nunca será molhada pelo repuxo.

Qual é a equação do Xavier? E o raio mínimo do tanque? :roll:
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Mensagempor pmp em Sexta Dez 01, 2006 11:33 pm

Bom, o raio tem 4 m. Etapas de dedução:
- Conservação de energia mecânica para determinar a velocidade inicial sabendo a altura que água atinge na vertical.
- Dedução do alcance máximo e sua determinação.

Agora esse paraboloide... :D
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Mensagempor jap em Sexta Dez 01, 2006 11:37 pm

pmp Escreveu:Bom, o raio tem 4 m. Etapas de dedução:
- Conservação de energia mecânica para determinar a velocidade inicial sabendo a altura que água atinge na vertical.
- Dedução do alcance máximo e sua determinação.

Agora esse paraboloide... :D


Certo!

E também é verdade que a equação do Xavier é a de um parabolóide... :wink:
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Mensagempor Zé Teixeira em Sexta Dez 01, 2006 11:38 pm

O alcance horizontal máximo do jacto dá-se para o caso em que a velocidade inicial da água faz 45º de ângulo com o plano do chão (é fácil provar isto, tentem), portanto o raio mínimo do tanque é fácil de achar. A equação que delimita a região espacial é que já é mais tricky.
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Mensagempor pmp em Sexta Dez 01, 2006 11:59 pm

Deduzi que a equação do paraboloíde é:

x^2+y^2+16z=32

A partir da equação de duas parábolas que podem ser conhecidas dado que temos os zeros e um ponto, no caso o vértice, podemos determinar o paraboloíde somando-as.

Parábola envolvendo as variáveis z e y:

z=a(y+s)(y+r)

s e r são os zeros da parábola que são o 4 e o -4.

z=a(y-4)(y+4)

Substituindo y e z, respectivamente por 0 e 2, coordenadas do vértice, achamos o a que é -1/8, então:

z=-\frac{1}{8}(y-4)(y+4) (1)

A parábola envolvendo z e x pode ser determinada exactamente da mesma forma e é:

z=-\frac{1}{8}(x-4)(x+4) (2)

Somando (1) e (2) temos o tal parabolóide de equação:

x^2+y^2+16z=32
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 12:26 am

Pedro,
Boa tentativa :lol: , mas há um pequeno problema no teu raciocício. :cry:
Senão repara no resultado final: se y=0, ez = 0, vem x =\pm \sqrt 32 e nãox=\pm 4 como devia ser. Consegues ver onde está o gato? :roll: É um pequenino erro subtil...
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Mensagempor pmp em Sábado Dez 02, 2006 3:46 am

Acho que vejo o gato e está a rir-se de mim a esta hora. Não devia ter somado sem pensar no que fazia. Então, o meu parabolóide será:

z=-\frac{x^2}{8} -\frac{y^2}{8} +2

Porque é o único que verifica a parábola com z e y, quando x=0, e verifica a parábola com z e x, quando y=0.

Relembrando:
A parábola envolvendo as variáveis z e y é:

z=-\frac{y^2}{8}+2

A parábola envolvendo as variáveis z e x é:

z=-\frac{x^2}{8}+2
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 11:24 am

Certíssimo :D

Não deixaste fugir o gato, depois da sua traquinice... :lol: E resolveste o problema num ápice, tal como o Xavier! Boa! :P

Mas ainda há uma questão que queria colocar, relativamente a este problema.

A tua resolução assume que a forma da envolvente das trajectrórias dos jactos é um parabolóide de revolução - o que é "natural", atendendo à própria forma das trajectórias...e porque eu disse que assim era!:wink:
Assumindo que é um parabolóide que separa a zona seca da molhada, a tua resolução está perfeita. :D
Mas...e se não fosse um parabolóide? :shock: É que não provámos ainda que é um parabolóide, apenas que um parabolóide pode passar por aqueles três pontos (vértices e dois pontos de colisão com o solo, para o alcance máximo).

Vamos tentar demonstrar que o parabolóide não só é compatível com aqueles três pontos, mas que, de facto, a envolvente das trajectórias de todos os jactos que saem do repuxo é mesmo um parabolóide de revolução? :roll:
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 6:52 pm

E enquanto pensam no paraboloide...continua a saga do Xavier (quem me conhece, sabe que gosto de ordenar os problemas em "sagas" :lol:)

O vizinho do Xavier

O Sr. Raul, vizinho do Xavier, que é agricultor, veio pedir-lhe ajuda.

- Xavier, o teu pai contou-me que és um "ás" a Física e que sabes calcular trajectórias de jactos de água!
Tenho um problema, em que talvez me possas ajudar.
O meu sistema de regra por aspersão tem um alcance de 2m. É um sistema que lança água a 45 graus, regulável. Tenho usado o sistema rente ao solo, mas o fabricante assegurou-me que é possível duplicar o alcance do jacto de água se colocar o aspersor a 3m de altura do solo. Já fiz a experiência e não consegui que a água alcance 4m, como prometido pelo fabricante. Será que fui enganado, ou não estarei a proceder bem?

O Xavier pediu algum tempo para reflectir no assunto, e não tardou a bater à porta do vizinho:
- Senhor Raul, acho que encontrei a causa do problema! O fabricante tem razão, não foi enganado, mas parece-me que temos de ir fazer uma alteração no seu sistema de rega...


O que terá descoberto o Xavier? :roll:
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Mensagempor manuelmarque em Sábado Dez 02, 2006 7:21 pm

jap Escreveu:E enquanto pensam no paraboloide...continua a saga do Xavier (quem me conhece, sabe que gosto de ordenar os problemas em "sagas" :lol:)

O vizinho do Xavier

O Sr. Raul, vizinho do Xavier, que é agricultor, veio pedir-lhe ajuda.

- Xavier, o teu pai contou-me que és um "ás" a Física e que sabes calcular trajectórias de jactos de água!
Tenho um problema, em que talvez me possas ajudar.
O meu sistema de regra por aspersão tem um alcance de 2m. É um sistema que lança água a 45 graus, regulável. Tenho usado o sistema rente ao solo, mas o fabricante assegurou-me que é possível duplicar o alcance do jacto de água se colocar o aspersor a 3m de altura do solo. Já fiz a experiência e não consegui que a água alcance 4m, como prometido pelo fabricante. Será que fui enganado, ou não estarei a proceder bem?

O Xavier pediu algum tempo para reflectir no assunto, e não tardou a bater à porta do vizinho:
- Senhor Raul, acho que encontrei a causa do problema! O fabricante tem razão, não foi enganado, mas parece-me que temos de ir fazer uma alteração no seu sistema de rega...


O que terá descoberto o Xavier? :roll:


Assim, sem mostrar aqui o meu raciocínio (que está muito confuso... :(), eu diria que aquilo que ele descobriu é que teria de ajustar o repuxo para \theta = 73,22 º. Não sei se está correcto...
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 7:24 pm

manuelmarque Escreveu:
jap Escreveu:(...)
O que terá descoberto o Xavier? :roll:


Assim, sem mostrar aqui o meu raciocínio (que está muito confuso... :(), eu diria que \theta = 73,22 º. Não sei se está correcto...


Manuel,
Se reflectires um pouco, verás que será lógico que o ângulo seja inferior a 45º e não superior... :roll:
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Mensagempor manuelmarque em Sábado Dez 02, 2006 7:35 pm

jap Escreveu:
manuelmarque Escreveu:
jap Escreveu:(...)
O que terá descoberto o Xavier? :roll:


Assim, sem mostrar aqui o meu raciocínio (que está muito confuso... :(), eu diria que \theta = 73,22 º. Não sei se está correcto...


Manuel,
Se reflectires um pouco, verás que será lógico que o ângulo seja inferior a 45º e não superior... :roll:


Realmente... (/me slaps in my head). Não sei onde estava com a cabeça -- vou tentar refazer os cálculos...
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Mensagempor pmp em Sábado Dez 02, 2006 7:55 pm

Será que o Xavier descobriu que o repuxo devia ser reajustado para \theta =26,6^\circ? :D

Mas aquele parabolóide... assumi que seria um parabolóide porque era mesmo o que me parecia que fosse, agora como demonstrar que, de facto, o é, isso já é mais "tricky" :P.
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 7:57 pm

pmp Escreveu:Será que o Xavier descobriu que o repuxo devia ser reajustado para \theta =26,6^\circ? :D

Mas aquele parabolóide... assumi que seria um parabolóide porque era mesmo o que me parecia que fosse, agora como demonstrar que, de facto, o é, isso já é mais "tricky" :P.


Certo!!! :D

Será que o Pedro é um alias do Xavier? :roll:

Começo a desconfiar que são a mesma pessoa! :lol:

Explica aqui, for the record, como chegaste a essa conclusão!
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Mensagempor pmp em Sábado Dez 02, 2006 8:32 pm

jap Escreveu:
pmp Escreveu:Será que o Xavier descobriu que o repuxo devia ser reajustado para \theta =26,6^\circ? :D

Mas aquele parabolóide... assumi que seria um parabolóide porque era mesmo o que me parecia que fosse, agora como demonstrar que, de facto, o é, isso já é mais "tricky" :P.


Certo!!! :D

Será que o Pedro é um alias do Xavier? :roll:

Começo a desconfiar que são a mesma pessoa! :lol:

Who knows? :D :D

Quanto à minha solução, não é bonita e é longa, porque tem muitos cálculos e é daqueles exercícios em que a atenção tem que estar no máximo, porque deixar um número atrás é fatal e nem sempre nos apercebemos disso.

O primeiro passo será determinar a velocidade com que o jacto de água é lançado do repuxo, a partir da fórmula do alcance e sabendo que o ângulo de lançamento é de 45^\circ. E descobre-se que v_{0}^2=2g.

O segundo passo será escrever a equação do movimento segundo y:

y(t)=h + v_0 \sin \theta t -1/2gt^2

Daqui, , através da fórmula resolvente, tiramos o tempo que o jacto leva a atingir o solo para substituir depois na equação do movimento segundo x. Deverão obter:

t= \frac{v_0\sin \theta}{g}+\sqrt{\frac{v_0^2\sin^2 \theta}{g^2}+\frac{2h}{g}}

Nota: O outro t que será negativo não tem significado. Se houver dúvidas ou se acham que algo está mal não exitem em comunicá-las.

A equação do movimento segundo x é:

x(t)=v_0\cos\theta t

Sunstituímos lá o t e igualamos o x a 4 e após a maratona de simplificar a expressão e depois substituir o h e o v_{0}^2, por 3 e 2g, respectivamente, chegamos à seguinte expressão:

3\cos^2 \theta+4\cos\theta \sin\theta -4=0

Temos agora duas hipóteses: ou vamos à calculadora determinar \theta :D ou resolvemos analíticamente.
Forma analítica:

Substituímos \sin \theta por \sqrt{1-\cos^2 \theta}

3\cos^2 \theta+4\cos\theta \sqrt{1-\cos^2 \theta} -4=0

Agora se nos livrarmos do radical elevando os membros ao quadrado, claro que dispondo os termos como nos for mais fácil, chegaremos à equação:

25\cos^4 \theta -40cos^2 \theta+16=0

Definimos uma nova variável:

a=\cos^2\theta

A equação anterior vem:

25a^2-40a+16=0

Essa é fácil de resolver, a=4/5.

E como definimos:

a=\cos^2\theta=4/5

Então:

\cos\theta=\sqrt{4/5}

\theta=26,6^\circ

:D

Qualquer dúvida, questionem.
última vez editado por pmp s Domingo Dez 03, 2006 1:32 am, editado 2 vezes no total
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