Sejam

e

as frequências angulares de rotação do plano e da esfera, respectivamente, sendo a primeira constante. Seja ainda

o ângulo que o CM da esfera faz com o ponto de intersecção entre o eixo de rotação do plano e o próprio plano, correspondendo

à posição inicial da esfera, e

a sua distância a este ponto (i.e. coordenadas polares).
Assim, podemos facilmente verificar que a velocidade do ponto de contacto entre a mesa e a esfera tem as seguintes componentes:

Por outro lado, no referencial do plano, a velocidade da esfera no ponto de contacto é nula, pelo que:

(os sinais devem-se à convenção imposta pela regra da mão direita: uma rotação positiva em

corresponde a um movimento CCW, significando uma velocidade negativa em

.)
Vejamos agora as forças exercidas na esfera. Temos o peso, a reacção normal do plano e a força de atrito. As duas primeiras são exercidas no CM e anulam-se, enquanto que a última é exercida no ponto de contacto. Vemos ainda que a componente em

da força de atrito se opõe à translação da esfera, mas favorece a rotação (i.e. tem o mesmo sinal que

; ver nota acima); a componente em

opõe-se à translação e à rotação. Aplicando então a segunda lei de Newton para a translação e para a rotação, temos dois sistemas:

Para uma esfera temos

. Podemos agora eliminar as forças de atrito desconhecidas juntando os dois sistemas:

Mas já conhecemos outra relação entre as velocidades angulares e de translação, a que é dada pelos dois primeiros sistemas. Igualando as componentes respectivas e derivando em ordem ao tempo (sabendo que

e

, claro), obtemos:

Podemos finalmente juntar estes dois últimos sistemas para eliminar as velocidades de rotação da esfera, ficando apenas com as de translação. Após alguma manipulação, ficamos com:

Tecnicamente, temos aquilo a que se chama um sistema de equações diferenciais de primeira ordem acopladas, de coeficientes constantes. Embora pareça assustador, é bastante simples resolvê-lo: como num sistema de equações lineares, temos apenas que isolar uma das variáveis (que neste caso são funções do tempo) e substituir na segunda equação, levando as contas até ao fim até obtermos a solução. Neste caso, se optarmos por isolar

, temos:

Mas conhecemos bem a segunda equação: é a equação que descreve um MHS! Sendo assim, sabemos que a sua solução geral é da forma

. Substituindo também na equação para

, acabamos com:

Resta-nos apenas integrar estas equações e aplicar as condições iniciais, e temos (finalmente!) o problema resolvido. Deixo-vos as contas, mas para quem reconheceu as duas últimas equações, é tentador prosseguir mais um pouco para encontrar:

Pelo que, finalmente descobrimos todas as trajectórias possíveis de uma assentada: são circunferências centradas em

e de raio

. Como um aparte interessante, note-se que quando

obtemos uma "circunferência" de raio infinito - uma linha recta, conforme seria de esperar.