Super-granada

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Mensagempor jap em Quinta Maio 29, 2008 9:48 pm

Pessoal,

Vou dar uma dica. :wink:

O raciocínio do João estaria correcto se todos os ângulos de lançamento \theta superiores a \theta_{\rm min} garantissem que o projéctil atinge o hemisfério superior.

Ora aqui é que está o problema. Se é certo que para ângulos inferiores a \theta_{min} o projéctil não atinge o hemisfério superior, também há a considerar um valor \theta_{\rm max} acima do qual o projéctil pode também não atingir o hemisfério superior... :shock:

A solução geral, seguindo o raciocínio do João, e admitindo que existe um \theta_{\rm min} e um \theta_{\rm max}, é (verifiquem):


\eta = 1 - \frac{\sin \theta_{\rm max} -\sin \theta_{\rm min}}{2}


Reparem que substituindo na expressão acima a hipótese (que não é correcta) do João,

\theta_{\rm max} = {\pi/2},


se obtém a expressão (incorrecta) para \eta do João:

\eta = \frac{1-\sin \theta_{\rm min}}{2}.


Ou seja, o João já apontou o caminho certo, agora é só achar \theta_{\rm max}... :lol:
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Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Maio 29, 2008 10:29 pm

jap Escreveu:Se é certo que para ângulos inferiores a \theta_{min} o projéctil não atinge o hemisfério superior, também há a considerar um valor \theta_{\rm max} acima do qual o projéctil pode também não atingir o hemisfério superior... :shock:


Foi isto que pensei, mas não tenho tido muito tempo para me debruçar sobre este problema.
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Mensagempor hexphreak em Sexta Maio 30, 2008 4:29 pm

Se bem me lembro, \theta_{\rm max} é o complementar de \theta_{\rm min} :roll: O raciocínio de João é interessante, realmente também estava a esquecer-me de que os fragmentos não se deslocam todos no mesmo plano vertical :)
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Mensagempor sagardipak em Sexta Maio 30, 2008 5:35 pm

hexphreak Escreveu:realmente também estava a esquecer-me de que os fragmentos não se deslocam todos no mesmo plano vertical :)


Eu ainda não percebi bem isto... :oops:

A distribuição inicial das partículas não é uniforme? Um plano vertical que passe pelo centro da esfera não é representativo dos outros todos?
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Maio 30, 2008 5:36 pm

Também estou com dúvidas nessa parte :oops:
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Mensagempor hexphreak em Sexta Maio 30, 2008 6:06 pm

sagardipak Escreveu:
hexphreak Escreveu:realmente também estava a esquecer-me de que os fragmentos não se deslocam todos no mesmo plano vertical :)


Eu ainda não percebi bem isto... :oops:

A distribuição inicial das partículas não é uniforme? Um plano vertical que passe pelo centro da esfera não é representativo dos outros todos?

É, mas o que eu (e assumo que também o João) tinha feito era calcular a razão com os ângulos a variar apenas em relação à vertical, e não também a toda a volta da esfera.
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Maio 30, 2008 6:08 pm

Então temos de considerar a esfera toda para calcular a razão... :shock: que coisa mais tricky!
:roll:
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Mensagempor Joao Guerreiro em Sexta Maio 30, 2008 7:32 pm

sagardipak Escreveu:
hexphreak Escreveu:realmente também estava a esquecer-me de que os fragmentos não se deslocam todos no mesmo plano vertical :)


Eu ainda não percebi bem isto... :oops:

A distribuição inicial das partículas não é uniforme? Um plano vertical que passe pelo centro da esfera não é representativo dos outros todos?


Também foi o que pensei no início mas depois reparei que não podia ser assim. Considera a quantidade de partículas que partem aproximademente na vertical e os que partem partem quase horizontais. De acordo com o modelo do corte vertical haveria um número idêntico de partículas em ambas as situações, mas se pensarmos nas três dimensões há muito menos partículas a saírem verticalmente (só correpondem a 2 pontos) que horizontalmente (corresponde a todo o equador). Há portanto uma distorção quando se considera o plano vertical.
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Mensagempor sagardipak em Sexta Maio 30, 2008 7:35 pm

Bem visto! Foi muito subtil para mim... :?

Obrigado :wink:
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Mensagempor jap em Sexta Maio 30, 2008 10:05 pm

sagardipak Escreveu:Bem visto! Foi muito subtil para mim... :?

Obrigado :wink:


Tem tudo a ver com a noção de "ângulo sólido". Já ouviram falar? :roll:
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Mensagempor hexphreak em Sexta Maio 30, 2008 10:32 pm

jap Escreveu:Tem tudo a ver com a noção de "ângulo sólido". Já ouviram falar? :roll:

Sim, é o ângulo tridimensional formado pelo cone que "circunscreve" um corpo, visto de um determinado ponto :)
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Mensagempor sagardipak em Sexta Maio 30, 2008 10:38 pm

Já ouvi falar do conceito de "esterorradiano". Tem alguma coisa a ver? (Estero - Stereo... talvez tenha relação...)
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Mensagempor jap em Sexta Maio 30, 2008 10:42 pm

sagardipak Escreveu:Já ouvi falar do conceito de "esterorradiano". Tem alguma coisa a ver? (Estero - Stereo... talvez tenha relação...)


Sim, tem tudo a ver - um ângulo sólido mede-se em "esteroradianos". :wink:
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Mensagempor sagardipak em Sexta Maio 30, 2008 10:44 pm

Ah, então sei por alto o que é. O meu pai explicou-me uma vez. (Deu para ver que estive muito atento! :lol:)
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Mensagempor jap em Sexta Maio 30, 2008 11:10 pm

hexphreak Escreveu:Se bem me lembro, \theta_{\rm max} é o complementar de \theta_{\rm min} :roll :)


É o que parece à primeira vista, né? :wink:

Mas este problema é tricky, por isso convém verificar se isto é mesmo assim em todas as situações... :P
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