Uma questão de tempo

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Uma questão de tempo

Mensagempor jap em Terça Abr 22, 2008 8:10 pm

Este é um problema que nem é assim tão tricky, mas que tem uma subtileza escondida e um resultado algo surpreendente. Aqui vai.

Lança-se um projéctil do nível do solo (horizontal) com velocidade v e ângulo \theta com a horizontal. Encontrar a função t_m(\theta), onde t_m é o tempo que o projéctil leva até alcançar o ponto da sua trajectória que está mais afastado da origem do lançamento. Desprezar a resistência do ar - sim, é mesmo um problema standard de projécteis! :D
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Mensagempor RicardoCampos em Terça Abr 22, 2008 8:17 pm

Tendo a expressão do movimento em x e em y, sem problemas dado que é um problema de projecteis, podemos fazer uma coisa mesmo feia que é derivar \sqrt {x^2 + y^2} para achar o máximo não?
\emph{Ricardo Campos}\in \delta \bigcap q\overline{q}
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Mensagempor jap em Terça Abr 22, 2008 8:32 pm

RicardoCampos Escreveu:Tendo a expressão do movimento em x e em y, sem problemas dado que é um problema de projecteis, podemos fazer uma coisa mesmo feia que é derivar \sqrt {x^2 + y^2} para achar o máximo não?


Podes fazer as "coisas feias" que te apetecer! :lol:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Terça Abr 22, 2008 8:58 pm

Não havia uma questão paecida que tinha que ver com o ângulo máximo? :roll:
Acho que se chamava: "Afasta-te de mim, projéctil"
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Mensagempor jap em Terça Abr 22, 2008 9:00 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Não havia uma questão paecida que tinha que ver com o ângulo máximo? :roll:
Acho que se chamava: "Afasta-te de mim, projéctil"


Sim, exactamente. :D E ajuda rever esse problema, claro. :wink:
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Mensagempor hexphreak em Terça Abr 22, 2008 9:01 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Não havia uma questão paecida que tinha que ver com o ângulo máximo? :roll:
Acho que se chamava: "Afasta-te de mim, projéctil"

Sim, bastante mais complicada :lol:

Ao derivar o quadrado da distância, obtemos uma quadrática que apenas tem solução para \theta > 70.5º aproximadamente :shock: Acho que não é o melhor método...


P.S.: Fazendo \vec r \cdot \vec v = 0 leva exactamente à mesma equação :roll: Estou a ficar sem ideias...
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Mensagempor Bruno Oliveira em Terça Abr 22, 2008 9:15 pm

Era no que eu estava a trabalhar agora, reler essa thread.

Off-Topic: O Prof. já sabe do encontro nacionnal de Matemática, em Coimbra, no dia 25 de Junho acho eu? É que a minha mãe que é professora de matemática vai a esse encontro e eu e calhar vou-me colar... :lol: . O Prof. estará pela UC nessa data?
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Mensagempor hexphreak em Terça Abr 22, 2008 9:16 pm

hexphreak Escreveu:
Bruno Oliveira Escreveu:Não havia uma questão paecida que tinha que ver com o ângulo máximo? :roll:
Acho que se chamava: "Afasta-te de mim, projéctil"

Sim, bastante mais complicada :lol:

Ao derivar o quadrado da distância, obtemos uma quadrática que apenas tem solução para \theta > 70.5º aproximadamente :shock: Acho que não é o melhor método...


P.S.: Fazendo \vec r \cdot \vec v = 0 leva exactamente à mesma equação :roll: Estou a ficar sem ideias...

Claro, para um valor de \theta > 70.5º o projéctil afasta-se sempre, logo não há máximo! :D

A minha função é então:

t_m(\theta) = \dfrac{3}{2} \dfrac{v_0}{g} \sin \theta \sqrt{9\sin^2 \theta - 8}
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Mensagempor jap em Terça Abr 22, 2008 9:18 pm

hexphreak Escreveu:Claro, para um valor de \theta > 70.5º o projéctil afasta-se sempre! :D


Sempre é como quem diz, sempre até atingir o solo :lol:, pelo que ainda assim existe um t_m, não é? :P
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Mensagempor jap em Terça Abr 22, 2008 9:19 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Era no que eu estava a trabalhar agora, reler essa thread.

Off-Topic: O Prof. já sabe do encontro nacionnal de Matemática, em Coimbra, no dia 25 de Junho acho eu? É que a minha mãe que é professora de matemática vai a esse encontro e eu e calhar vou-me colar... :lol: . O Prof. estará pela UC nessa data?


Sim, possivelmente estarei cá. Ficarei muito contente em ter a tua visita, Bruno! :D
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Mensagempor hexphreak em Terça Abr 22, 2008 9:21 pm

jap Escreveu:
hexphreak Escreveu:Claro, para um valor de \theta > 70.5º o projéctil afasta-se sempre! :D


Sempre é como quem diz, sempre até atingir o solo :lol:, pelo que ainda assim existe um t_m, não é? :P

Bem, sim, mas nesse caso não temos que definir a função por ramos? :roll:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Terça Abr 22, 2008 9:23 pm

Ok Prof. é que tanto a minha mãe como o meu pai, sabem que estou entusiasmado com o fórum e o meu pai dá bastante importância á fisica e matemática :D , só considera mais importante que isto a natação :P , e a minha mãe depois falaria consigo para saber o que é preciso para eu ir mesmo ás sessões presenciais, se não for incómodo
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Mensagempor jap em Terça Abr 22, 2008 9:31 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Ok Prof. é que tanto a minha mãe como o meu pai, sabem que estou entusiasmado com o fórum e o meu pai dá bastante importância á fisica e matemática :D , só considera mais importante que isto a natação :P , e a minha mãe depois falaria consigo para saber o que é preciso para eu ir mesmo ás sessões presenciais, se não for incómodo


Podes vir às sessões presenciais sempre que quiseres - és mais do que bem vindo. :wink: O único problema consiste no pagamento das viagens e do alojamento - uma vez que não fazes parte da lista dos seleccionados pelo júri que fez a selecção dos candidatos em janeiro, a agência financiadora não aceitará as tuas despesas. E não estamos autorizados a aceitar candidatos a meio do ano, de acordo com o regulamento. Mas quanto ao alojamento, talvez possas ocupar o lugar de um membro faltoso, tem havido sempre algum elemento em falta nas sessões.
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Mensagempor jap em Terça Abr 22, 2008 9:34 pm

hexphreak Escreveu:
jap Escreveu:
hexphreak Escreveu:Claro, para um valor de \theta > 70.5º o projéctil afasta-se sempre! :D


Sempre é como quem diz, sempre até atingir o solo :lol:, pelo que ainda assim existe um t_m, não é? :P

Bem, sim, mas nesse caso não temos que definir a função por ramos? :roll:


Pois, já começam a vislumbrar uma das duas subtilezas... e já agora, verifica a expressão acima para t_m, parece-me que qualquer coisa não estará correcta. :P
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Mensagempor MiguelReisOrcinha em Terça Abr 22, 2008 9:35 pm

que derivada FEIA!!! :shock: tenho que ir domar esta besta selvagem... lol
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