Em queda!

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Mensagempor jap em Quarta Abr 23, 2008 9:04 pm

E que tal tentar um cálculo (semi)analítico? Para uma atmosfera exponencial, não é assim tão difícil calcular a perda de energia do satélite em cada revolução, a variação do raio da sua órbita, a variação do seu período e a variação (positiva! :shock: ) da sua velocidade devido ao efeito do atrito com a atmosfera rarefeita!

Disse bem: aumento da velocidade devido ao atrito. Este é o famoso "parodoxo dos satélites"! :lol:

Alguém consegue demonstrar que devido ao atrito com a atmosfera a velocidade do satélie aumenta em cada órbita, em aparente contradição com a segunda lei de Newton? :roll:
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Mensagempor hexphreak em Quarta Abr 23, 2008 9:25 pm

jap Escreveu:E que tal tentar um cálculo (semi)analítico? Para uma atmosfera exponencial, não é assim tão difícil calcular a perda de energia do satélite em cada revolução, a variação do raio da sua órbita, a variação do seu período e a variação (positiva! :shock: ) da sua velocidade devido ao efeito do atrito com a atmosfera rarefeita!

Disse bem: aumento da velocidade devido ao atrito. Este é o famoso "parodoxo dos satélites"! :lol:

Alguém consegue demonstrar que devido ao atrito com a atmosfera a velocidade do satélie aumenta em cada órbita, em aparente contradição com a segunda lei de Newton? :roll:

Uau :shock: A explicação qualitativa, sem cálculos, parece-me ser que o atrito, ao diminuir a velocidade em módulo, provoca a diminuição do ângulo entre a velocidade do satélite e a força gravítica, por acção desta, o que faz com que seja mais "eficaz" a aumentar o módulo da velocidade, o que por sua vez aumenta a força de resistência do ar, etc. :roll:

Agora tenho é de fazer os cálculos...
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Mensagempor jap em Quarta Abr 23, 2008 10:25 pm

Então aqui vai o primeiro exercício de cálculo (bastante simples!): :D

Provar que a variação \Delta h da altura do satélite, numa volta completa à Terra, devido ao atrito com o ar, é


\Delta h = -\frac{2\pi (R_T+h)^2}{\alpha}\rho(h)


onde \alpha = \frac{m}{CA} é o denominado "coeficiente balístico" do satélite e \rho(h) a densidade da atmosfera à altura h.
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Mensagempor jap em Quinta Abr 24, 2008 2:41 pm

Ah, e já agora, convém verificar o modelo da atmosfera que estás a usar. É importante, para este tipo de problemas, usar o melhor modelo disponível para a atmosfera - o melhor modelo nesta altura é o MSIS (modelo semiempírico usado pela NASA, incorporando dados experimentais de satélites) cujo gráfico é o seguinte:

Imagem

Repara na mudança drástica de regime por volta dos 120 km! :P
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Mensagempor hexphreak em Quinta Abr 24, 2008 3:58 pm

Ah, eu não tinha incorporada essa variação ainda :) Mas não devo ter problemas a implementar o modelo, encontrei a descrição e código-fonte em C :D

Já agora, consigo provar essa relação se \Delta h \ll h, mas não estou a ver a maneira sem usar essa aproximação... :roll:
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Mensagempor jap em Quinta Abr 24, 2008 7:43 pm

Já implementei o modelo atmosférico MSIS-E-90 e obtive um excelente resultado para o tempo de vida do satélite espião KH-11! :D
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Mensagempor hexphreak em Quinta Abr 24, 2008 8:08 pm

jap Escreveu:Já implementei o modelo atmosférico MSIS-E-90 e obtive um excelente resultado para o tempo de vida do satélite espião KH-11! :D

Por acaso o Prof. não se importaria de disponibilizar as informações do MSISE-90? É que é um modelo tão detalhado que estou com alguns problemas a ler o código, tanto C como FORTRAN... dava-me jeito a versão simplificada (consigo ler Python) :)
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Mensagempor jap em Quinta Abr 24, 2008 9:02 pm

Estão aqui:


http://algol.fis.uc.pt/forum/rockets/msis.py

http://algol.fis.uc.pt/forum/rockets/msis.dat

Nota: implementei os dados do modelo (por interpolação linear) para o dia 1 Junho de 2000, não o modelo completo com todos os detalhes.... (o modelo tem em conta o ciclo solar, por isso depende da data!)
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Mensagempor jap em Quinta Abr 24, 2008 11:45 pm

Eu obtive para o KH-11 e a atmosfera MSIS-E-90 o seguinte resultado:

Imagem


Código: Seleccionar Todos
>>>
Satellite fate:
Expected number of revolutions before falling on earth 69058
Lifetime: 4369.00 days or 11.97 years
>>>


Da wikipedia:

KH-11s generally operated for 2-3 years, although it is believed that at least one, KH-11/6, was operational for 11 years


Too good to be true! :P

Vê se consegues comprovar estes resultados com o teu programa. :wink:

Physics is beautiful!
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Mensagempor hexphreak em Quinta Abr 24, 2008 11:46 pm

Muito bom :D Tenho de acabar então o meu programa para verificar também os resultados :)
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Mensagempor jap em Sexta Abr 25, 2008 6:25 pm

Aqui vai o meu super-simples programa para o estudo da queda dos satélites que usa a expressão analítica para a perda de altura \Delta h (ver acima) por cada volta à Terra. :wink:

É giro ver como a velocidade e a energia do satélite variam à medida que o satélite cai. E também estudar o tempo de queda em função da altura! :D


http://algol.fis.uc.pt/forum/rockets/sat2.py
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Mensagempor hexphreak em Sexta Abr 25, 2008 9:26 pm

Mas então a fórmula é válida independentemente da grandeza de \Delta h? :roll:
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Mensagempor jap em Sábado Abr 26, 2008 1:00 pm

hexphreak Escreveu:Mas então a fórmula é válida independentemente da grandeza de \Delta h? :roll:


Não, a fórmula

dh = -\frac{2\pi\left(R_T+h\right)^2}{\alpha}\rho(h)

só é rigorosamente válida para pequenas (infinitesimais) variações de altura do satélite, mas como a altas altitudes (onde o satélite passa a maior parte do tempo na queda) a variação de altura por órbita é mesmo muito pequena comparada com a altura do satélite, a expressão acima pode ser usada sem erro significativo.

Alias, não é necessário fazer a aproximação de dh << Rna simulação, como te vou mostrar. A única aproximação que vamos manter é a de que o satélite cai em órbitas aproximadamente circulares (na realidade ele espirala); o cálculo da perda de energia é feito por cada revolução circular e não na porção de espiral, mas o erro introduzido aqui também é pequeno.

Vou mostrar então as duas formas de fazer os cálculos, recorrendo a uma diferenciação da energia total do satélite, e outra que evita fazer essa diferenciação.

Método 1:

Como é fácil demonstrar, a energia total de um satélite em órbita circular em torno da terra à altura h é

E = -\frac{GMm}{R_T +h}

diferenciando esta expressão em ordem à altura h vem


dE = \frac{GMm}{R^2}dh.

onde R = R_T + h

Calculemos a perda de energia do satélite numa volta em torno da terra devido à resistência do ar:

dE = \oint \vec F\cdot d\vec r = -\frac{1}{2}CA\rho(h)v^22\pi R

Supondo que esta perda de energia é pequena, podemos substituir na expressão acima, obtendo-se:

dh = -\frac{2\pi\left(R_T+h\right)^2}{\alpha}\rho(h)

onde\alpha = \frac{m}{CA} é o coeficiente balístico do satélite.

Mas, na realidade, podemos proceder de outra forma na simulação computacional, evitando utilizar a expressão que relaciona dh com dE obtida a partir do diferencial da energia.

De facto, como

E = -\frac{GMm}{R_T +h}

em qualquer altura temos que

h = -\frac{GMm}{E} - R_T

Portando, podemos fazer a simulação da seguinte forma.

Método 2:

1) Calcula-se a energia à altura h_0
2) Calcula-se a perda de energia na primeira revolução

\Delta E = -\frac{CAMm}{\alpha}\rho = -\beta \rho(h_0),

onde \beta é a constante \frac{CAMm}{\alpha}.

Subtrai-se \Delta E à energia inicial e usa-se

h = -\frac{GMm}{E} - R_T

para calcular a nova altura e repete-se, sucessivamente, até a altura dar zero.

Os resultados são idênticos (a menos de uma revolução!) do resultado obtido no método usando a relação entre dh e o diferencial da energia.

Já experimentei este método e confirmei que dava o mesmo resultado do primeiro.

O programa está aqui:

Nova versão, sem diferencial
última vez editado por jap s Sábado Abr 26, 2008 3:17 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor hexphreak em Sábado Abr 26, 2008 1:38 pm

Muito inteligente de facto :D Eu tinha chegado à expressão de \Delta h exactamente a partir da perda de energia pelo atrito, mas não sabia qual seria o erro introduzido... O segundo método também é muito interessante. Parece que em simulação, como nas resoluções de problemas, os argumentos energéticos dão as melhores estratégias! :wink:
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Mensagempor jap em Sábado Abr 26, 2008 1:43 pm

É giro simular o tempo de vida do satélie KH-11 em função da altura inicial :D

O resultado do meu programa está aqui, e percebe-se porque é que os satélites são lançados para órbitas para lá dos 300 km de altura : :lol: (reparem na escala logarítmica do eixo dos yy!)

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