Altura máxima de um balão de hélio

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Mensagempor jap em Domingo Abr 27, 2008 8:30 pm

hexphreak Escreveu:Acho que o Prof. quer dizer:

\rho(z) = \rho_0 \frac{T_0}{P_0} \frac{P}{T} :)

Utilizando então esta relação, obtenho:

\eta = \frac{\rho_0 z_0}{P_0} g


Oops :oops: Obrigado, já corrigi! :wink:

hexphreak Escreveu:
Utilizando então esta relação, obtenho:

\eta = \frac{\rho_0 z_0}{P_0} g


e, substituindo valores, obtemos

\eta = 5.52
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Mensagempor jap em Domingo Abr 27, 2008 8:50 pm

Vamos lá então continuar...o objectivo, relembro, é encontrar a altura máxima a que sobe um balão de hélio... :lol:

Como é sabido, é necessário realizar trabalho para esticar uma película de borracha - essa energia fica armazenada sob a forma de energia potencial elástica (da borracha).

A expressão para a energia potencial elástica de um balão à temperatura T com raio r = \lambda r_0, onde r_0 é o raio "normal" do balão com a película sem estar esticada, é dada pela seguinte expressão:

U = 4\pi r_0^2\kappa RT \left(2\lambda^2+\dfrac{1}{\lambda^4}-3\right). :shock:

A constante \kappa é característica do balão.

Com base nesta expressão, obtenham uma expressão para o excesso de pressão \Delta P no interior do balão (em relação à pressão exterior), em função apenas das variáveis que aparecem na expressão da energia elástica do balão:

\lambda , que nos dá o tamanho do balão em unidades de r_0,
\kappa que caracteriza a elasticidade da membrana de borracha
T, a temperatura do balão
r_0, o raio "natural" do balão, "não esticado"

e a constante R .
última vez editado por jap s Segunda Abr 28, 2008 9:40 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor hexphreak em Segunda Abr 28, 2008 5:11 pm

Será que:

\Delta P = \frac{\Delta E}{\Delta V}

é uma relação válida? :roll:
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Mensagempor jap em Segunda Abr 28, 2008 6:33 pm

hexphreak Escreveu:Será que:

\Delta P = \frac{\Delta E}{\Delta V}

é uma relação válida? :roll:


:yes
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Mensagempor hexphreak em Segunda Abr 28, 2008 6:58 pm

Utilizando então essa relação, obtenho:

\Delta P = \dfrac{\Delta E}{\Delta V} = \dfrac{3 \kappa RT}{r_0} \dfrac{2\lambda^8 - 3\lambda^4 + 1}{\lambda^4(\lambda^3 - 1)}

Embora provavelmente me tenha enganado nos cálculos, com estes lambdas todos :lol:
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Mensagempor jap em Segunda Abr 28, 2008 9:37 pm

hexphreak Escreveu:Utilizando então essa relação, obtenho:

\Delta P = \dfrac{\Delta E}{\Delta V} = \dfrac{3 \kappa RT}{r_0} \dfrac{2\lambda^8 - 3\lambda^4 + 1}{\lambda^4(\lambda^3 - 1)}

Embora provavelmente me tenha enganado nos cálculos, com estes lambdas todos :lol:


Hum? :roll:

Obtenho

\Delta P = \dfrac{4\kappa RT}{r_0} \left ( \dfrac{1}{\lambda} - \dfrac{1}{\lambda^7}\right )

Verifica as contas...
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Mensagempor hexphreak em Segunda Abr 28, 2008 9:54 pm

Humm, não estou a conseguir encontrar o erro, embora tenha a certeza que há um :?

\Delta E = 4\pi r_0^2 \kappa RT (2\lambda^2 + 1/\lambda^4 - 3)

\Delta V = \frac{4}{3}\pi (\lambda r_0)^3 - \frac{4}{3}\pi r_0^3 = \frac{4}{3} \pi (\lambda^3 - 1)r_0^3

Estas duas equações estão correctas?
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Mensagempor jap em Segunda Abr 28, 2008 10:11 pm

hexphreak Escreveu:Humm, não estou a conseguir encontrar o erro, embora tenha a certeza que há um :?

\Delta E = 4\pi r_0^2 \kappa RT (2\lambda^2 + 1/\lambda^4 - 3)

\Delta V = \frac{4}{3}\pi (\lambda r_0)^3 - \frac{4}{3}\pi r_0^3 = \frac{4}{3} \pi (\lambda^3 - 1)r_0^3

Estas duas equações estão correctas?


Ah, já estou a ver de onde vem a confusão... :D

Não é

\Delta E = 4\pi r_0^2 \kappa RT (2\lambda^2 + 1/\lambda^4 - 3)

mas sim

E = 4\pi r_0^2 \kappa RT (2\lambda^2 + 1/\lambda^4 - 3) :lol:

Tens de diferenciar a expressão da energia para obter \Delta E!

Sugiro a sequinte aproximação ao problema; considerar a expansão

r_0 \to r_0 + dr

Da conservação da energia,

dE = dW = \Delta P dV = \Delta P 4\pi r_0^2 dr

e por outro lado

dE = \dfrac{dE}{dr}dr = (...)

É só igualar as expressões...

Confirma que chegas à expressão que eu obtive para \Delta P :wink:
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Mensagempor hexphreak em Segunda Abr 28, 2008 10:31 pm

Claro, que distracção :oops: Assim confirmo a expressão do Prof. :)
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Mensagempor jap em Segunda Abr 28, 2008 10:43 pm

Então aqui fica a próxima tarefa (para resolver amanhã! :lol:)

Esboçar o gráfico da função \Delta P(\lambda) e encontrar para que valor de \lambda a função \Delta P toma o valor máximo. :wink:
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Mensagempor hexphreak em Segunda Abr 28, 2008 10:48 pm

jap Escreveu:Então aqui fica a próxima tarefa (para resolver amanhã! :lol:)

Esboçar o gráfico da função \Delta P(\lambda) e encontrar para que valor de \lambda a função \Delta P toma o valor máximo. :wink:

Derivando rapidamente a expressão, obtive que \Delta P é máxima para \lambda = \sqrt[6]{7} \approx 1.38 :)

Gráfico:

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Mensagempor jap em Terça Abr 29, 2008 9:51 pm

Obrigado, Henrique! :D

Ora vamos lá recapitular o que já sabemos:

1) A pressão no interior e no exterior do balão diferem de um valor \Delta P devido à tensão da borracha; a expressão para \Delta P é

\Delta P = \dfrac{4\kappa RT}{r_0} \left ( \dfrac{1}{\lambda} - \dfrac{1}{\lambda^7}\right )

onde \lambda = r/r_0 (r_0 é o raio do balão quando a película de borracha não está sob tensão)

A elasticidade do balão é dada pela constante \kappa (que tem as dimensões de ...:P)

2) Vimos também que \Delta P tem um máximo quando \lambda =1,38, independente do valor de \kappa. Mas para conhecermos em concreto o valor de \Delta P, para um dado balão num certo estado de enchimento \lambda, temos mesmo de conhecer o valor de \kappa.

Vejamos agora como determinar \kappa. Não conhecendo as características dos balões usados pelo "padre voador", deixo-vos estes dados (hipotéticos, mas realistas) que permitem determinar \kappa:

Dados experimentais: para obter um \lambda= 1,5 é preciso colocar dentro do balão 3,6 vezes mais moles de He do que quando \lambda = 1 (Considerar T_0 =\rm  303~Ke P_0 =\rm  1~atm).

Ora determinem lá \kappa em unidades de \kappa_0, sendo

\kappa_0 = \dfrac{r_0P_0}{4RT_0},

ou seja, determinem, a partir dos dados, o valor (com duas casas decimais de precisão) de

a = \dfrac{\kappa}{\kappa_0}.
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Mensagempor hexphreak em Quarta Abr 30, 2008 2:26 pm

O valor que obtive foi a = 0.11, mas é demasiado pequeno :? Para além disso, só precisei de \lambda para o calcular... vou ver se encontro algum erro.
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Mensagempor jap em Quarta Abr 30, 2008 3:22 pm

hexphreak Escreveu:O valor que obtive foi a = 0.11, mas é demasiado pequeno :? Para além disso, só precisei de \lambda para o calcular... vou ver se encontro algum erro.


O valor que encontraste para a está correcto :D - mas deves ter utilizado \lambda = 1.5 e também \frac{n}{n_0}=3.6, não? :roll:
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Mensagempor hexphreak em Quarta Abr 30, 2008 3:31 pm

Sim, isso mesmo! :D Pareceu-me uma redução tão grande de valor que não pensei que estivesse correcto... Os valores a utilizar eram esses, certo? :roll:
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