Altura máxima de um balão de hélio

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Altura máxima de um balão de hélio

Mensagempor jap em Quarta Mar 19, 2008 7:59 pm

A propósito de balões de hélio :lol:...

... lembrei-me deste problema.

Se largarmos em Coimbra um balão de He, qual é a altitude máxima que ele pode (teoricamente) atingir? :roll:

Imagem

É bem mais tricky to que parece. Darei alguns dados para um balão em concreto mais logo. Mas podem ir pensando no assunto... :P

Stay tuned.
última vez editado por jap s Quarta Mar 19, 2008 8:27 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor hexphreak em Quarta Mar 19, 2008 8:02 pm

Humm, assim de repente os factores que me parece poderem influenciar a altura máxima são a densidade dos gases, a resistência e a pressão do ar e a força gravítica :roll: Sinto-me tentado a dizer que o balão fica em MHS, mas nada de conclusões precipitadas - os balões de hélio podem não fazer parte de uns certos 90% da Física :lol:
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Mensagempor jap em Quinta Mar 20, 2008 12:14 am

Ok, aqui vai um conjunto de dados realistas para um grande balão de He como os que se usam em publicidade - vamos assumir que se trata de um balão esférico. :D

Em primeiro lugar, saberão que a pressão no interior de um balão é superior à pressão atmosférica devido à tensão superficial da membrana elástica (de borracha). É por isso que é preciso fazer força para encher um balão, não é? :lol:

Por isso, se a pressão no exterior do balão for P, no seu interior será P + \Delta P.

Vou dividir o problema por alíneas (contrariamente ao que é hábito e não se vai tornar hábito!) para se tornar um pouco mais fácil...


a) Comecem por calcular a força de impulsão que actua no balão em função de P, \Delta P, g, do número de moles n do gás aprisionado e da "massa molar do ar",M_A =\rm  28,9\times 10^{-3}~kg/mol

b) De seguida, tenham em conta que a temperatura do ar varia com a altitude seguindo de forma aproximada a expressão

T(z) = T_0 (1-z/z0),

onde T_0 =\rm 303~K e z_0 =\rm 49~km

(esta expressão só é válida até z =\rm~15 km, mas é suficiente...)

A pressão por seu lado, varia da forma

P(z) = P_0 (1-z/z0)^\eta

onde P_0 é \rm 1~atm =1,01\times 10^5~Pa.


A constante \eta pode ser determinada em função de z_0, \rho_0=\rm 1,16\times 10^3~kg/m^3, P_0 e g (que se considera que não varia de forma significativa com a altura).

Ora determinem lá \eta! :wink:

Fico à espera que resolvam estas alíneas para prosseguirmos... :D
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Mensagempor Raquelinha em Quinta Mar 20, 2008 12:48 am

Uma pergunta... está-se a ter em conta o facto do balão provavelmente "rebentar" a uma dada altitude devido ao facto
->da pressão do ar diminuir com a altitude;
->o que provoca uma "expansão do balão ;
->chegando-se a um ponto em que a borracha passa a ter um comportamento plástico, atingindo, por fim, o seu ponto de fractura (não sei se é assim que se diz :oops: )
???
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Mensagempor jap em Quinta Mar 20, 2008 12:52 am

Raquelinha Escreveu:Uma pergunta... está-se a ter em conta o facto do balão provavelmente "rebentar" a uma dada altitude devido ao facto
->da pressão do ar diminuir com a altitude;
->o que provoca uma "expansão do balão ;
->chegando-se a um ponto em que a borracha passa a ter um comportamento plástico, atingindo, por fim, o seu ponto de fractura (não sei se é assim que se diz :oops: )
???


Não, antes de ocorrer qualquer desses acidentes (supondo que a borracha é de boa qualidade e o balão não parte muito cheio) o balão atinge uma altura onde o peso vai igualar a impulsão - não porque o peso do balão varie, mas porque a impulsão sobre ele vai diminuir substancialmente... :lol:

Repara: a pressão diminui, é certo, e concluis que o balão expande - mas será sempre assim? Não te esqueças de que a temperatura também diminiui com a altitude... :lol:
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Mensagempor jap em Terça Abr 22, 2008 11:08 pm

:omg:

Esta notícia

Padre pendurado em balões desaparece no ar!

fez-me lembrar esta thread adormecida... :lol:
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Mensagempor RicardoCampos em Quarta Abr 23, 2008 10:31 am

:omg:
Isto só pode ser a gozar suponho eu
\emph{Ricardo Campos}\in \delta \bigcap q\overline{q}
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Mensagempor jap em Quarta Abr 23, 2008 12:01 pm

RicardoCampos Escreveu::omg:
Isto só pode ser a gozar suponho eu


Não é não, é a sério.

Vamos lá a resolver o problema para sabermos a altitude máxima a que andará o Padre a pairar! :shock:
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Mensagempor hexphreak em Quarta Abr 23, 2008 12:52 pm

jap Escreveu::omg:

Esta notícia

Padre pendurado em balões desaparece no ar!

fez-me lembrar esta thread adormecida... :lol:

Hahaha :lol: Tenho de voltar ao problema, nem que seja só para procurar o padre no Google Earth :D
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Mensagempor jap em Domingo Abr 27, 2008 3:14 pm

Alguém sabe alguma novidade do padre? :roll:
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Mensagempor hexphreak em Domingo Abr 27, 2008 3:26 pm

jap Escreveu:Alguém sabe alguma novidade do padre? :roll:

Sim, encontraram os balões, mas nada de padre :roll:

Quanto ao problema, ambas as alíneas parecem fáceis, posto a resposta mais logo quando acabar de estudar Biologia :)


P.S.: Na alínea a), apenas em função de P, \Delta P e M_A?
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Mensagempor jap em Domingo Abr 27, 2008 3:46 pm

hexphreak Escreveu:
jap Escreveu:Alguém sabe alguma novidade do padre? :roll:

Sim, encontraram os balões, mas nada de padre :roll:

Quanto ao problema, ambas as alíneas parecem fáceis, posto a resposta mais logo quando acabar de estudar Biologia :)


P.S.: Na alínea a), apenas em função de P, \Delta P e M_A?


Obrigado pelo link - coitado do padre, depois da aventura, e de um ponto de vista optimista, estará encharcado nalgum ilhéu a sobreviver a barras de cereais... :?

Quanto aos dados da alínea a), alterei o enunciado, vê acima. :wink:
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Mensagempor hexphreak em Domingo Abr 27, 2008 5:16 pm

Estou a ter alguns problemas com \eta :? Os resultados que obtive são:

F_B = \frac{P}{P+\Delta P}M_A\,n\,g

e

\eta = \frac{\rho_0}{P_0} (z_0 - z) g + 1

Mas obviamente \eta não deveria depender de z! O que eu fiz foi igualar as duas expressões para a derivada dP/dz, uma a partir da pressão dada e outra obtida a partir da pressão hidrostática...
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Mensagempor jap em Domingo Abr 27, 2008 7:37 pm

A primeira expressão está correcta! :hands:

Relativamente à segunda, procede-se como dizes, ou seja partindo da expressão para a derivada da pressão em relação à altura,


\frac{dP}{dz}=-\rho(z)g

e sabendo que da lei dos gases perfeitos que

\rho(z) = M_A \frac{P}{RT},

ou seja, a densidade é directamente proporcional à pressãoe inversamente proporcional à temperatura, podemos escrever

\rho(z) =\rho_0\frac{P/P_0}{T/T_0}= \rho_0\frac{T_0}{P_0}\frac{P}{T}.

Mas por outro lado é dado que

T(z) = T_0 (1-\frac{z}{z_0})

e que

P(z) = P_0(1-\frac{z}{z_0})^\eta = P_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^\eta

de onde se conlcui que

\frac{dP}{dz}= -\frac{\eta}{z_0}P_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\eta-1}.

Substituindo esta derivada em


\frac{dP}{dz}=-\rho(z)g = -\rho_0g\frac{T_0}{P_0}\frac{P(z)}{T(z)} e substituindo P(z) e T(z) pelas expressões dadas obtemos uma expressão para \eta que não depende de z! :D

Ora verifica lá, e diz-me quanto vale \eta... :wink:
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Mensagempor hexphreak em Domingo Abr 27, 2008 8:01 pm

jap Escreveu:(...)

ou seja, a densidade é directamente proporcional à pressãoe inversamente proporcional à temperatura, podemos escrever

\rho(z) =\rho_0\frac{P/P_0}{T/T_0}= \rho_0\frac{T_0}{P_0}\frac{T}{P}.

Acho que o Prof. quer dizer:

\rho(z) = \rho_0 \frac{T_0}{P_0} \frac{P}{T} :)

Utilizando então esta relação, obtenho:

\eta = \frac{\rho_0 z_0}{P_0} g
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